2026届高三数学二轮复习课件：板块二　数列　微专题7　等差数列与等比数列（含解析）

这是一份2026届高三数学二轮复习课件：板块二　数列　微专题7　等差数列与等比数列（含解析），共62页。PPT课件主要包含了真题体验，精准强化练，热点突破等内容，欢迎下载使用。
1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现; 2.数列的通项也是高考热点,难度中档以下.
1.(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=A.-20B.-15C.-10D.-5
由S3=3a2=6,S5=5a3=-5,得a2=2,a3=-1,所以{an}的公差d=a3-a2=-3,所以a6=a3+3d=-10,所以S6=S5+a6=-5-10=-15.
3.(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　. 
所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2,对n=1也适合,所以an=2d2n-d2,所以an+1-an=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2(常数),所以数列{an}是等差数列.
热点一　等差、等比数列的基本运算
热点二　等差、等比数列的性质
热点三　等差、等比数列的判定与证明
等差、等比数列的基本量问题的求解(1)抓住基本量:首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1(p,q≠0)形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
(1)(2025·蚌埠二模)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S15=5(a5+a7+ak),则正整数k的值为A.11B.12C.13D.14
(2)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=A.-20B.-18C.16D.18
(1)(2025·长春二模)已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 024是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2 025=A.10 B.104C.108D.1012
由题意可得lg a2,lg a2 024为方程3x2-12x+9=0的两个解,则lg a2+lg a2 024=4,解得a2a2 024=104,易知a1a2 025=a2a2 024=104.
(2)(多选)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题正确的是A.若d0C.若数列{Sn}是递减数列,则对任意的n∈N*,均有Sn0,则数列{Sn}是递增数列
当数列{Sn}有最小项,即Sn有最小值时,Sn对应的二次函数有最小值,对应的函数图象开口向上,d>0,B正确;对于C,取数列{an}为首项为1,公差为-2的等差数列,Sn=-n2+2n,Sn+1-Sn=-(n+1)2+2(n+1)-(-n2+2n)=-2n+10.故若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列,故D正确.
等差、等比数列性质问题的求解(1)抓关系,抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.(2)用性质,数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.
(1)(2025·贵阳调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12的值为A.0B.3C.6D.12
因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,又S3=S9=6,所以6,S6-6,6-S6,S12-6成等差数列,则6+S12-6=S6-6+6-S6,则S12=0.
(2025·佛山质检)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
∵an+2=3an+1-2an,∴an+2-an+1=2(an+1-an),∵a1=1,a2=3,∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式;
由(1)得an+1-an=2n(n∈N*),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n≥2),又a1=1符合上式,∴an=2n-1(n∈N*).
④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0,∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),∴{bn}是等差数列.
1.判断等差、等比数列的常用方法
2.证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
(2025·山东名校调研)已知数列{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,令cn=an+bn.(1)证明:数列{cn}不是等比数列.
(2)若an=2n,bn=3n,是否存在常数k,使得数列{cn+1+kcn}为等比数列?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
假设存在常数k,使得数列{cn+1+kcn}为等比数列,则有(cn+1+kcn)2=(cn+2+kcn+1)(cn+kcn-1),n≥2,将cn=2n+3n代入上式,得[2n+1+3n+1+k(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2+k(2n+1+3n+1)]·[2n+3n+k(2n-1+3n-1)],即[(2+k)2n+(3+k)3n]2=[(2+k)2n+1+(3+k)3n+1]·[(2+k)2n-1+(3+k)3n-1],整理得12(2+k)(3+k)=13(2+k)(3+k),解得k=-2或k=-3.
当k=-2时,cn+1+kcn=2n+1+3n+1+(-2)·(2n+3n)=3n,此时数列{cn+1+kcn}为等比数列;当k=-3时,cn+1+kcn=2n+1+3n+1+(-3)·(2n+3n)=-2n,数列{cn+1+kcn}为等比数列.所以存在常数k=-2或k=-3,使得数列{cn+1+kcn}为等比数列.
1.(2025·潍坊模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a3+a9=24,则S6=A.12B.14C.42D.84
3.(2025·天津红桥区模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a4=4,a2+a5=8,则S6=A.24B.28C.36D.48
4.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10=10,S20=30,则S40=A.60B.70C.80D.150
由题意得q≠-1,且{an}是等比数列,所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,又因为S10=10,S20=30,S20-S10=20,则S30-S20=40,S40-S30=80,所以S30=70,S40=150.
6.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a2>1,其前n项积为Tn,且T20=T10,则Tn取得最大值时,n的值为A.15B.16C.29D.30
A.41米B.40.5米C.39.5米D.38.7米
12.(2025·渭南模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,由S13=6.则3a9-2a10=　　　　. 
14.(2025·宜荆荆恩调研)已知数列{an}有30项,a1=2,且对任意n∈{2,3,…,30},都存在i∈{1,2,…,n-1},使得an=ai+3.(1)a5=　　　　　　;(写出所有可能的取值) 
当n=2时,a2=a1+3=5,当n=3时,a3=a1+3=5或a3=a2+3=8,当n=4时,a4=a1+3=5或a4=a2+3=8或a4=a3+3时有a4=8或a4=11,当n=5时,a5=a1+3=5或a5=a2+3=8或a5=a3+3时有a5=8或a5=11或a5=a4+3时有a5=8或a5=11或a5=14.综上所述,a5的所有可能取值为5,8,11,14.
15.(2025·金华质检)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
16.(2025·莆田二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知2a4=a3+14,S3=15.(1)求{an}的通项公式;
设公差为d,由题意得2a1+6d=a1+2d+14,S3=3a1+3d=15,解得d=3,a1=2,故an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.