2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-导数中函数的构造问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-导数中函数的构造问题（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了已知a＝ln 1等内容，欢迎下载使用。
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)－2x＞0，且f(1)＝3，则f(x)＞x2＋2的解集是( )
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(0，1)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
解析：选B.令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，
则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，g'(x)＝f'(x)－2x，
因为当x≥0时，g'(x)＝f'(x)－2x＞0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)＞x2＋2即为不等式g(x)＞2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)＞g(1)，
所以｜x｜＞1，解得x＞1或x＜－1，
所以f(x)＞x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
2.已知可导函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的x∈R，都有f'(x)－f(x)＜1，且f(0)＝2 024，则不等式f(x)＋1＞2 025ex的解集为( )
A.(－∞，0)B.(0，＋∞)
C.(－∞，1e)D.(－∞，1)
解析：选A.构造函数F(x)＝f(x)+1ex，则F'(x)＝f'(x)·ex−[f(x)+1]·exe2x＝f'(x)−f(x)-1ex，
因为f'(x)－f(x)＜1，所以F'(x)＜0恒成立，
故F(x)＝f(x)+1ex在R上单调递减，f(x)＋1＞2 025ex可变形为f(x)+1ex＞2 025，
又f(0)＝2 024，所以F(0)＝f(0)+1e0＝2 025，
所以F(x)＞F(0)，解得x＜0.
3.已知偶函数f(x)的定义域为(－π2，π2)，其导函数为f'(x)，当0＜x＜π2时，有f'(x)cs x＋f(x)sin x＜0成立，则关于x的不等式f(x)＜2f(π3)cs x的解集为( )
A.(－π2，－π3)∪(π3，π2)
B.(－π3，π3)
C.(－π2，－π3)
D.(π3，π2)
解析：选A.因为偶函数f(x)的定义域为(－π2，π2)，所以设g(x)＝f(x)csx，
则g(－x)＝f(−x)cs(−x)＝f(x)csx，即g(x)也是偶函数.
当0＜x＜π2时，根据题意g'(x)＝f'(x)csx+f(x)sinxcs2x＜0，
则g(x)在(0，π2)上单调递减，且为偶函数，则g(x)在(－π2，0)上单调递增.
所以f(x)＜2f(π3)cs x⇔f(x)csx＜f(π3)csπ3⇔g(x)＜g(π3)，所以｜x｜＞π3，－π2＜x＜π2，
解得x∈(－π2，－π3)∪(π3，π2).
4.(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf'(x)－1＞0，则下列结论正确的是( )
A.f(2)－ln 2＞f(1)
B.f(4)－f(2)＞ln 2
C.f(2)＋ln 2＞f(e)＋1
D.f(e2)－f(e)＞1
解析：选ABD.构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x＞0，则g'(x)＝f'(x)－1x＝xf'(x)－1x，
因为xf'(x)－1＞0，所以g'(x)＞0，故g(x)是增函数，由g(2)＞g(1)得，f(2)－ln 2＞f(1)－ln 1，即f(2)－ln 2＞f(1)，故A正确；
由g(4)＞g(2)得，f(4)－ln 4＞f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)＞ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；
由g(e)＞g(2)得，f(e)－ln e＞f(2)－ln 2，即f(e)＋ln 2＞f(2)＋1，故C错误；
由g(e2)＞g(e)得，f(e2)－ln e2＞f(e)－ln e，即f(e2)－2＞f(e)－1，即f(e2)－f(e)＞1，故D正确.
5.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意实数x，有f(x)＞f'(x)，且f(x)＋2 025为奇函数，则不等式f(x)＋2 025ex＜0的解集是( )
A.(－∞，0)B.(－∞，ln 2 025)
C.(0，＋∞)D.(2 025，＋∞)
解析：选C.设g(x)＝f(x)ex，则g'(x)＝f'(x)−f(x)ex，
因为f(x)＞f'(x)，所以g'(x)＜0，所以g(x)为定义在R上的减函数，
因为f(x)＋2 025为奇函数，所以f(0)＋2 025＝0，f(0)＝－2 025，
g(0)＝f(0)e0＝－2 025，f(x)＋2 025ex＜0，即f(x)ex＜－2 025，即g(x)＜g(0)，故x＞0.
6.已知函数y＝f(x)对任意的x∈(－π2，π2)满足f'(x)cs x－f(x)sin x＞0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A.f(－π3)＞2f(－π4)
B.f(π3)＜2f(π4)
C.2f(0)＜f(π3)
D.2f(0)＞f(π4)
解析：选C.构造函数g(x)＝f(x)cs x，x∈(－π2，π2)，
则g'(x)＝f'(x)cs x－f(x)sin x＞0，
所以g(x)在(－π2，π2)上单调递增，
则g(－π3)＜g(－π4)，所以f(－π3)cs(－π3)＜f(－π4)cs(－π4)，即f(－π3)＜2f(－π4)，故A不正确；
则g(π3)＞g(π4)，所以f(π3)csπ3＞f(π4)csπ4，即f(π3)＞2f(π4)，故B不正确；
则g(0)＜g(π3)，所以f(0)cs 0＜f(π3)csπ3，即2f(0)＜f(π3)，故C正确；
则g(0)＜g(π4)，所以f(0)cs 0＜f(π4)csπ4，即2f(0)＜f(π4)，故D不正确.
7.已知a＝ln 1.01，b＝1.01，c＝e0.01，则( )
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析：选A.易知a＝ln 1.01＜1，c＝e0.01＞1，构造函数f(x)＝ex－x+1，
求导得f'(x)＝ex－1，易知当x≥0时，f'(x)＝ex－1≥0，f(x)单调递增；
所以f0.01＝e0.01－0.01+1＞f0＝0，所以c＞b＞1，所以a＜b＜c.
8.设a＝1e，b＝ln 2＋12e(e为自然对数的底数)，c＝ln 3－23，则( )
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.b＜a＜cD.b＜c＜a
解析：选B.设f(x)＝x－ln x－1，x＞0，f'(x)＝1－1x＝x－1x＝0，得x＝1，
当x∈0，1时，f'(x)＜0，f(x)在0，1上单调递减，
当x∈1，＋∞时，f'(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
a＝f1e，b＝f12e＝12e－ln12e－1＝12e＋ln 2，c＝f13，
因为0＜12e＜13＜1e＜1，所以a＜c＜b.
9.设a＝521，b＝ln3121，c＝sin521，则( )
A.c＜b＜aB.a＜b＜c
C.c＜a＜bD.b＜c＜a
解析：选C.设f(x)＝x－sin x，x∈0，1，
f'(x)＝1－cs x≥0，所以f(x)单调递增，
则f521＞f0＝0，
所以521＞sin521，即a＞c，
设g(x)＝ln1+2x－x，x∈0，12，
g'x＝21+2x－1＝1−2x1+2x＞0，x∈0，12，
所以g(x)在0，12上单调递增，所以g521＞g0＝0，
所以ln1+1021＝ln3121＞521，则b＞a，所以b＞a＞c.
10.已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f'(x)sin x＋f(x)cs x＜0.若a＝22f(－π6)，b＝－f(π4)，则a与b的大小关系为 .(用“＜”连接)
解析：设φ(x)＝f(x)·sin x，则φ'(x)＝f'(x)sin x＋f(x)·cs x，
∴x∈(0，＋∞)时，φ'(x)＜0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，
∴φ(－π6)＝φ(π6)＞φ(π4)，即f(－π6)·sin(－π6)＞f(π4)·sinπ4，即－12f(－π6)＞22f(π4)，
即22f(－π6)＜－f(π4)，∴a＜b.
答案：a＜b