2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-导数的几何意义及函数的单调性（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-导数的几何意义及函数的单调性（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2025·福建莆田二模)曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为( )
A.－1，－1B.－1，1－1e
C.1，e－1D.1，2e－1
解析：选B.y'＝x+1ex－1，令x+1ex－1＝－1，则x+1ex＝0，故x＝－1，
当x＝－1时，y＝－e－1－－1＝1－1e，即P的坐标为－1，1－1e.
2.函数y＝lnxx的单调递增区间是( )
A.－∞，1eB.(e，＋∞)
C.0，1eD.0，e
解析：选D.由题意，函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，则y'＝1−lnxx2，
当x∈(0，e)时y'＞0；当x∈(e，＋∞)时y'＜0，显然y＝lnxx的单调递增区间为(0，e).
3.已知函数f(x)＝ln(a＋x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，则a＝( )
A.1B.0
C.－1D.－2
解析：选A.∵f(x)＝ln(a＋x)，∴f'(x)＝1a+x，由题意得，f'(0)＝1a＝1，解得a＝1.
4.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)若函数hx＝ln x－12ax2－2x在1，4上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.－∞，－1B.－∞，－1
C.－∞，－716D.－∞，－716
解析：选A.因为函数hx＝ln x－12ax2－2x在1，4上单调递增，
所以h'x＝1x－ax－2≥0在1，4上恒成立，即a≤1x2－2x在1，4上恒成立，
令Gx＝1x2－2x，x∈1，4，变形得Gx＝(1x－1)2－1，因为x∈1，4，所以1x∈14，1，
所以当1x＝1，即x＝1时，G(x)min＝－1，所以a≤－1.
5.已知函数f(x)＝1＋ln1+x－1+2x，则下列正确的是( )
A.f－0.33＞f－0.44＞0
B.f－0.44＞f－0.33＞0
C.f－0.33＞0＞f－0.44
D.f－0.44＞0＞f－0.33
解析：选B.由1+x＞0，1+2x≥0可得函数f(x)的定义域为－12，＋∞，
由题意知f'(x)＝11+x－11+2x＝1+2x－1－x1+x1+2x，
令函数g(x)＝1+2x－1－x，
当－12＜x＜0时，g'x＝11+2x－1＞0，即g(x)在－12，0单调递增，所以g(x)＜g0＝0，
故f'(x)＜0在区间－12，0上恒成立，则f(x)在－12，0上单调递减，
所以f(x)＞f0＝0，由函数的单调性可知f－0.44＞f－0.33＞0.
二、多选题
6.已知函数f(x)＝x3＋sin x，x∈R，则( )
A.函数f(x)的图象关于原点对称
B.函数f(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)为单调减函数
D.曲线y＝f(x)在点π，fπ处的切线斜率为3π2－1
解析：选AD.定义域为R，关于原点对称，
又f(x)＝x3＋sin x，得f－x＝－x3＋sin－x＝－x3－sin x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，故A正确，B错误；
fπ2＝π38＋1＞f0＝0，故f(x)＝x3＋sin x，x∈R不是减函数，故C错误；
又f'(x)＝3x2＋cs x，所以f'π＝3π2＋cs π＝3π2－1，故D正确.
7.(2025·湖北武汉二模)已知函数f(x)＝sin x－ln x，f'(x)是其导函数.若存在x1，x2∈0，π且x1＜x2，满足f'x1＝f'x2，则( )
A.fx1＞fx2
B.x1x2＞1
C.fx1fx2＞1
D.fx1＋fx2＜2
解析：选ABD.f'(x)＝cs x－1x，数形结合，得到0，π内y＝cs x，y＝1x的大致图象如图所示，
故f'(x)＜0x∈0，π，fx1＞fx2，A正确.
由f'x1＝f'x2得cs x2－1x2＝cs x1－1x1，即x2−x1x2x1＝cs x1－cs x2＝cs(x2+x12－x2−x12)－cs(x2+x12＋x2−x12)＝2sinx2+x12sinx2−x12，
由题意x2−x12∈0，π2，则x2−x1x2x1＜2x2−x12sinx2+x12＜x2－x1，
∵x＞0，sin x＜x，则x1x2＞1，B正确.
又fx1＋fx2＝sin x1＋sin x2－ln x1x2＜sin x1＋sin x2＜2，D正确.
因为fx1fx2＜fx1+fx222＜1，从而C错误.
三、填空题
8.(2025·湖北鄂州一模)已知函数f(x)＝(x2+1)12－ax在[0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为 .
解析：函数f(x)＝(x2+1)12－ax，求导得f'(x)＝12(x2＋1)－12·2x－a＝xx2+1－a，
依题意，∀x∈[0，＋∞)，f'(x)≤0⇔a≥xx2+1，而当x≥0时，xx2+1＝1－1x2+1＜1，
则a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
9.(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f(x)＝2x－sin 2x，则不等式fx2＋f2x－3＜0的解集为 .
解析：f(x)＝2x－sin 2x的定义域为R，
∵f'(x)＝2－2cs 2x＝2(1－cs 2x)≥0，∴函数f(x)是R上的增函数，
∵f－x＝－2x－sin－2x＝－(2x－sin 2x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数，
∴由fx2＋f2x－3＜0得fx2＜－f(2x－3)＝f3－2x，
∴x2＜3－2x⇒x2＋2x－3＜0⇒(x－1)(x＋3)＜0⇒－3＜x＜1，
∴不等式fx2＋f2x－3＜0的解集为－3，1.
答案：－3，1
四、解答题
10.(2025·浙江绍兴二模)已知函数f(x)＝12x＋ln x－12.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)记f(x)的两个零点分别为x1，x2(x1＜x2)，求曲线y＝f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程.
解：(1)函数f(x)＝12x＋ln x－12的定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝－12x2＋1x＝2x−12x2，
当x∈(0，12)时，f'(x)＜0；当x∈(12，＋∞)时，f'(x)＞0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，12)，单调递增区间为(12，＋∞).
(2)由(1)知f(12)＝12－ln 2＜0，f(1e2)＝e22－52＞0，f(1)＝0，
因此函数f(x)有两个零点x1，x2，且0＜x1＜12＜x2，即x2＝1，
则所求切线的切点坐标为(1，0)，斜率k＝f'(1)＝12，切线方程为y＝12x－12，
所以曲线y＝f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程为y＝12x－12.
11.(2025·北京门头沟一模)已知函数f(x)＝xln x－a2x2＋a－1x.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点1，f1处的切线方程；
(2)设g(x)＝f'(x)，讨论函数g(x)的单调性；
(3)若f(x)在定义域上单调递减，求a的取值范围.
解：(1)当a＝2时可得f(x)＝xln x－x2＋x，
则f'(x)＝ln x－2x＋2，
此时f1＝0，f'1＝0，
因此切线方程为y－0＝0x－1，即y＝0.
(2)由f(x)＝xln x－a2x2＋a－1x可得其定义域为0，＋∞，
且f'(x)＝ln x－ax＋a，即g(x)＝ln x－ax＋a，
显然g'x＝1x－a＝1−axx，
当a≤0时，g'x＞0，此时g(x)在0，＋∞上单调递增；
当a＞0时，令g'x＝0可得x＝1a，
若x∈0，1a，g'x＞0，此时g(x)在0，1a上单调递增；
若x∈1a，＋∞，g'x＜0，此时g(x)在1a，＋∞上单调递减；
综上可得，当a≤0时，g(x)在0，＋∞上单调递增；
当a＞0时，g(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.
(3)若f(x)在定义域上单调递减，可得f'(x)＝ln x－ax＋a≤0在0，＋∞上恒成立，
由(2)可得当a≤0时，g(x)即f'(x)在0，＋∞上单调递增，
当x→＋∞，可得f'(x)→＋∞，显然不合题意；
当a＞0时，可得f'(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减；
即f'(x)在x＝1a处取得极大值，也是最大值；
即f'xmax＝f'1a＝ln1a－1＋a＝a－ln a－1≤0恒成立；
令ua＝a－ln a－1，a＞0；
则u'a＝1－1a＝a－1a，
显然当a∈0，1时，u'a＜0，此时ua在0，1上单调递减；
当a∈1，＋∞时，u'a＞0，此时ua在1，＋∞上单调递增；
因此ua≥u1＝0，即a－ln a－1≥0，
又a－ln a－1≤0恒成立，可得a－ln a－1＝0，即a＝1.
所以a的取值范围为a∈1.
[创新题]
12.(2025·河南新乡二模)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线y＝f(x)，其曲率K＝y″1+y'232(y'是y的导数，y″是y'的导数)，曲率半径ρ是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为v2ρ.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y＝x3－x2的光滑轨道运动，则其在点0，0处的向心加速度的大小为( )
A.12v02B.2v02C.22v02D.2v02
解析：选B.设f(x)＝x3－x2，则f'(x)＝3x2－2x，f″x＝6x－2，所以f'0＝0，f″0＝－2，
则曲线在点0，0处的曲率K＝−21+0232＝2，曲率半径ρ＝12，
故曲线y＝x3－x2在点0，0处的向心加速度的大小为v0212＝2v02.
13.(2024·河北邢台一模)如果方程F(x，y)＝0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x，y)＝0中，把y看成x的函数y＝yx，则方程可看成关于x的恒等式Fx，yx＝0，在等式两边同时对x求导，然后解出y'x即可.例如，求由方程x2＋y2＝1所确定的隐函数的导数y'，将方程x2＋y2＝1的两边同时对x求导，则2x＋2y·y'＝0(y＝y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y'＝－xy(y≠0).那么曲线xy＋ln y＝2在点2，1处的切线方程为( )
A.x－3y＋1＝0B.x＋3y－5＝0
C.3x－y－5＝0D.2x＋3y－7＝0
解析：选B.由给定定义得，对xy＋ln y＝2左右两侧同时求导，
可得y＋xy'＋1y×y'＝0，将点2，1代入，得1＋2y'＋y'＝0，
解得y'＝－13，故切线斜率为－13，得到切线方程为y－1＝－13x－2，
化简得方程为x＋3y－5＝0，故B正确.