2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-解三角形（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-解三角形（Word版解析版），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2025·陕西渭南二模)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ACB＝2π3，则△ABC的面积为( )
A.1534B.1532
C.152D.154
解析：选A.AB＝7，BC＝3，∠ACB＝2π3，
由余弦定理得cs∠ACB＝BC2+AC2−AB22BC×AC＝9+AC2−496×AC＝－12，
解得AC＝5，AC＝－8舍去，
则△ABC的面积为12AC×BCsin∠ACB＝12×5×3×32＝1534.
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs A＋bcsA＋C＝0，则△ABC为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
解析：选D.由acs A＋bcsA＋C＝0，得acs A－bcs B＝0，
由正弦定理得sin Acs A－sin Bcs B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，
因为0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
所以A＝B或A＋B＝π2.即△ABC是等腰或直角三角形.
3.(2025·河南鹤壁二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btan B＋btan A＝－2ctan B，则A＝( )
A.π3B.2π3
C.π6D.5π6
解析：选B.根据正弦定理，原等式可化为sin B×sinBcsB＋sin B×sinAcsA＝－2sin C×sinBcsB，
进一步化为cs Asin B＋sin Acs B＝－2sin Ccs A，则sinA＋B＝－2sin Ccs A，
所以sin C＝－2sin Ccs A，又0＜C＜π，所以sin C≠0，所以cs A＝－12，
又因为0＜A＜π，A＝2π3.
4.(2025·河北秦皇岛三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cs C＝－14，则ca＝( )
A.324B.54
C.233D.43
解析：选D.因为9sin2B＝4sin2A，所以sin2Asin2B＝94，根据正弦定理可得a2b2＝94，所以b＝2a3.
因为cs C＝－14，所以根据余弦定理cs C＝a2+b2−c22ab，可得a2+2a32−c22a×2a3＝－14，
化简可得c2＝16a29，所以ca2＝169.
因为a，c为△ABC的边，a＞0，c＞0，所以ca＝43.
5.(2025·江西景德镇三模)如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°tan36.9°≈34，夏至正午太阳高度角为θ，表高42 cm，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50 cm，则sinθ－36.9°的值为( )
A.12B.13
C.22D.33
解析：选C.如图，tan∠ABC＝tan 36.9°≈34，AC＝42，所以BC＝56.
又BD＝50，所以CD＝6，根据勾股定理AD＝302.
在△ABD中，根据正弦定理可知BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，
即50sinθ−36.9°＝30235，
解得sinθ－36.9°＝22.
二、多选题
6.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA·BC＝2，cs B＝13，b＝3，则( )
A.a＝3B.c＝2
C.cs C＝429D.csB－C＝2327
解析：选ABD.由BA·BC＝2得c·acs B＝2，又cs B＝13，所以ac＝6.
由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accs B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
由ac=6， a2＋c2=13得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a＞c，所以a＝3，c＝2，故A、B正确.
在△ABC中，sin B＝1－cs2B＝1－132＝223，
由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23×223＝429.
因为a＝b＞c，所以C是锐角，
因此cs C＝1－sin2C＝1－4292＝79，故C错误.
易知csB－C＝cs Bcs C＋sin Bsin C＝13×79＋223×429＝2327，故D正确.
7.(2025·山西临汾三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，则( )
A.A＝π6，B＝π3，C＝π2
B.当b＝2时，△ABC周长的最大值为6
C.当b＝2时，△ABC面积的最大值为3
D.当cs A＋2cs Bcs C＝1时，△ABC为等边三角形
解析：选BCD.∵角A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B，即A＋B＋C＝3B＝π，∴B＝π3，A，C不确定，故A错；
当b＝2时，b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac＝a＋c2－3ac，
即4＝a＋c2－3ac≥a＋c2－3a+c24＝a+c24，
2＜a＋c≤4，即△ABC周长的最大值为6，故B正确；
当b＝2时，b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
∴ac≤4，∴S△ABC＝12acsin B＝34ac≤3，即△ABC面积的最大值为3，故C正确；
当cs A＋2cs Bcs C＝1，cs A＋2cs Bcs C＝－cs(B＋C)＋2cs Bcs C＝－cs Bcs C＋sin Bsin C＋2cs Bcs C＝cs Bcs C＋sin Bsin C＝csB－C＝1，
∴B－C＝2kπ，k∈Z，即B＝2kπ＋C，k∈Z，
∵B，C∈0，π，∴B＝C＝π3，A＝π3，即△ABC为等边三角形，故D正确.
三、填空题
8.(2025·浙江绍兴二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝2bsin C，则A＝ .
解析：∵bsin B＋csin C－asin A＝2bsin C，由正弦定理可得，b2＋c2－a2＝2bc，又由余弦定理可得，cs A＝b2+c2−a22bc＝22，∵A∈0，π，∴A＝π4.
答案：π4
9.为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为103 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为 .
解析：∠CAD＝180°－120°－30°＝30°，所以∠CAD＝∠CDA，CA＝CD＝103，∠BCD＝120°－75°＝45°，
在△ACD中，AD＝2AC·cs 30°＝30，
在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，即BDsin45°＝103sin60°，得BD＝102，
在△ABD中，AB＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs45°＝302＋1022－2×30×102×22＝105.
答案：105
四、解答题
10.(2025·浙江温州三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs C(acs B＋bcs A)＝32c.
(1)求角C的大小；
(2)点D在边BC上，且CD＝2，BD＝AD＝1，求△ABC的周长.
解：(1)由cs CacsB＋bcsA＝32c及正弦定理得cs CsinAcsB＋sinBcsA＝32sin C，
所以cs CsinA＋B＝32sin C，所以cs Csin C＝32sin C，
因为sin C＞0，所以cs C＝32，C∈0，π，所以C＝π6.
(2)在△ADC中，32＝cs C＝b2+4−12·b·2，解得b＝3，
在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcs C＝9＋3－2×3×3csπ6＝3，所以c＝3，
所以周长为a＋b＋c＝3＋3＋3＝3＋23.
11.(2025·湖北宜昌二模)如图所示，在△ABC中，sin C＝3sin B，AD平分∠BAC，且AD＝kAC.
(1)若DC＝2，求BC的长度；
(2)求k的取值范围；
(3)若S△ABC＝32，求k为何值时，BC最短.
解：(1)因为sin C＝3sin B，由正弦定理得c＝3b，
在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，
在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC＝DCsin∠CAD，
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin∠ADB＝sin∠ADC，所以ABAC＝BDDC，
因为c＝3b，DC＝2，所以BD2＝3，得BD＝6，所以BC＝8.
(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，设∠BAD＝∠CAD＝θ，
所以12AB·ACsin 2θ＝12AB·ADsin θ＋12AC·ADsin θ，
因为c＝3b，AD＝kAC，所以3AC·AC·2sin θcs θ＝3AC·kACsin θ＋AC·kACsin θ，
因为sin θ≠0，所以6cs θ＝4k，所以k＝32cs θ，
因为θ∈0，π2，所以cs θ∈0，1，所以k∈0，32.
(3)由余弦定理得BC2＝c2＋b2－2c·bcs∠BAC＝2b2(5－3cs∠BAC)，
因为S△ABC＝32，所以12bcsin 2θ＝32，因为c＝3b，所以b2＝1sin∠BAC，
所以BC2＝2sin∠BAC(5－3cs∠BAC)＝2·5−3cs∠BACsin∠BAC，
方法一：令y＝5−3cs∠BACsin∠BAC，则ysin∠BAC＋3cs∠BAC＝5，
所以y2+9sin(∠BAC＋φ)＝5(其中tan φ＝3y)，
所以当sin(∠BAC＋φ)＝1时，y取得最小值4，
即当∠BAC＋φ＝π2时，y取得最小值4，此时tan φ＝34，
所以cs∠BAC＝csπ2－φ＝sin φ＝35，
因为cs∠BAC＝2cs2θ－1，所以2cs2θ－1＝35，所以cs θ＝255，
由(2)知k＝32cs θ，所以k＝32×255＝355，即当k＝355时，BC最短.
方法二：BC2＝2·5−3cs2θsin2θ＝5−3(2cs2θ−1)sinθcsθ＝8−6cs2θsinθcsθ＝8sin2θ+8cs2θ−6cs2θsinθcsθ＝8sin2θ+2cs2θsinθcsθ＝8tan2θ+2tanθ＝8tan θ＋2tanθ≥8，
当且仅当8tan θ＝2tanθ，即tan θ＝12时，故此时cs θ＝25，即k＝355.
[创新题]
12.“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短边为5 cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足c＝45 cm.若S△ABC＝8 cm2，且a＞c，则( )
A.sin C＝35
B.△ABC周长为12＋45 cm
C.△ABC周长为15＋45 cm
D.圆形木板的半径为25 cm
解析：选B.对于D：由题意可得圆形木板的直径2R＝102＋52＝55 cm，即半径R＝552 cm，故D错误；
对于A：由正弦定理csinC＝2R，可得sin C＝c2R＝4555＝45，故A错误；
对于B、C：由题意可得S△ABC＝12absin C＝12×ab×45＝8，解得ab＝20，
因为a＞c，则A＞C，可知C为锐角，可得cs C＝1－sin2C＝35，
余弦定理cs C＝a2+b2−c22ab＝a+b2−2ab−c22ab，即35＝a+b2−40−8040，
解得a＋b＝12，所以△ABC周长为12＋45 cm，故B正确，C错误.