2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-概率统计中的递推关系（Word版解析版）

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1.A，B，C，D四人传球，每人每次可以把球传给其他任何一个人，从A开始，5次传球后球回到A手中，则不同的传球方法种数为( )
A.24B.60
C.92D.144
解析：选B.设有k个人A1，A2，…，Ak互相传球，从A1开始，每人每次可以把球传给其他任何一个人，设第n(n≥2)次传球后球回到A1手中的方法有an种，
则第(n－1)次传球后球回到A1手中的方法有an－1种，且易知a2＝k－1，则第(n－1)次传球后，共有(k－1)n－1 种方法，
若此时球在A1手中，则第n次传球，球不可能回到A1手中，
故数列{an}的递推关系式为an＝(k－1)n－1 －an－1 (n≥3)，a2＝k－1.
所以a2＝3，a3＝(4－1)3－1－a2＝6，a4＝(4－1)4－1－a3＝21，a5＝(4－1)5－1－a4＝60.
2.一个饼，用刀切5次，最多能将其切成( )
A.10块B.11块
C.15块D.16块
解析：选D.设n刀最多能将饼切成an块，前n－1刀我们已经得到an－1块，对于第n刀，要使切出的块数最多，则这一刀的刀痕必须与前n－1刀的刀痕都相交，在此刀痕上有n－1个交点，则最多增加n块，从而得到递推公式为an＝an－1 ＋n，显然a1＝2，
从而累加得到an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋2＝1＋n(n+1)2.当n＝5时，a5＝16.
3.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为13.记第n次推送时不购买此商品的概率为Pn，当n≥2时，Pn≤M恒成立，则M的最小值为( )
A.97132B.3144
C.97120D.73120
解析：选A.由题意知，根据第(n－1)次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率，
第n次(n≥2)推送时不购买此商品的概率Pn＝34Pn－1＋23(1－Pn－1)＝112Pn－1＋23，
所以Pn－811＝112Pn－1－811，
由题意知P1＝911，则P1－811＝111，
所以Pn－811是首项为111，公比为112的等比数列，
所以Pn－811＝111×112n－1，
即Pn＝811＋111×112n－1.
显然数列{Pn}递减，所以当n≥2时，Pn≤P2＝811＋111×112＝97132，
所以M的最小值为97132.
4.甲、乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得－1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令Pi表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则P1＝( )
A.55－3555B.56－3656
C.2×5556－36D.5657－37
解析：选C.由题意可知，i的取值集合为{0，1，2，3，4，5，6}，且P0＝0，P6＝1，
在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.5P2，
在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.2P1，
在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为0.3P0，
根据全概率公式可得P1＝0.5P2＋0.2P1＋0.3P0，
整理得P2＝85P1－35P0，
变形得P2－P1＝35(P1－P0)，
因为P1－P0＞0，则P2－P1P1－P0＝35，
同理可得P3－P2P2－P1＝P4－P3P3－P2＝P5－P4P4－P3＝P6－P5P5－P4＝35，
所以{Pi+1－Pi}(i＝0，1，2，…，5)是公比为35的等比数列，
所以Pi+1－Pi＝35i(P1－P0)(i＝0，1，2，…，5)，
各项求和得∑i=15(Pi+1－Pi)＝∑i=1535i(P1－P0)，
则P6－P1＝(P1－P0)·35－3561－35，
即1－P1＝P1·35－3561－35，解得P1＝2×5556－36.
5.(多选)水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制(即先赢2局者胜)，首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.以下说法正确的是( )
A.在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量X，则PX＝2＝12
B.记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量Y，则PY＝3＝14
C.甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为13
D.记事件Cn＝“第n轮甲轮空”，则PCn＝13－13－12n－1
解析：选ACD.对于A，在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜两局包括两类互斥的事件：
①第一、二局甲全胜；②甲在第一和第三局胜或者在第二和第三局胜，
故PX=2＝(12)2＋2×(12)3＝12，故A正确；
对于B，依题意，易得PY=3＝(12)3＝18≠14，故B错误；
对于C，设Ai＝“甲在第i轮获胜”，
依题，甲在第三轮获胜包括甲在第一、二、三轮均胜；或者第一轮输，第三轮胜两类情况.
则甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为P(A2｜A3)＝P(A2A3)P(A3)＝P(A1A2A3)P(A1A2A3)＋P(A1A3)＝(12)3(12)3＋(12)2＝13，故C正确；
对于D，因Cn＝(Cn－1Cn)∪(Cn－1Cn)，且Cn－1Cn与Cn－1Cn互斥，
由全概率公式，P(Cn)＝P(Cn－1Cn)＋P(Cn－1Cn)＝P(Cn－1)P(Cn｜Cn－1)＋P(Cn－1)P(Cn｜Cn－1)＝12(1－P(Cn－1))，
故P(Cn)－13＝－12［P(Cn－1)－13］，又P(C1)＝0，
则{P(Cn)－13}组成一个首项为－13，公比为－12的等比数列，
于是，P(Cn)－13＝－13×(－12)n－1，即P(Cn)＝13－13×(－12)n－1，故D正确.
6.(多选)投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的“射”就是指“投壶”这个游戏.现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶.无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为23，乙每次投壶的命中率均为12，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为12，则( )
A.第3次投壶的人是甲的概率为4372
B.在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为2143
C.前4次投壶中甲只投1次的概率为112
D.第10次投壶的人是甲的概率为35－110×169
解析：选ABD.设第i次投壶的人是甲为事件Ai，第i次投壶的人是乙为事件Bi.
因为PAi＝23PAi－1＋12[1－P(Ai－1)]，所以PAi＝16PAi－1＋12，
所以PAi－35＝16PAi－1－35，而PA1＝12，故PA1－35＝－110≠0，
所以PAi－35是首项为－110，公比为16的等比数列，
所以PAi－35＝－110×16i－1，所以PAi＝35－110×16i－1，
对于A，PA3＝35－110×162＝35－1360＝215360＝4372，故A正确；
对于D，PA10＝35－110×169，故D正确；
对于B，PA3B1＝12×12×12＋12×12×23＝724，故PB1｜A3＝7244372＝2143，所以B正确；
对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为P＝12×13×12×12＋12×12×13×12＋12×12×12×13＋12×12×12×12＝316，所以C错误.
7.若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在3次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是 .
解析：每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，
记事件Ai＝“第i次运动后停留在下底面”，则Ai＝“第i次运动后停留在上底面”，i＝1，2，…，n，…，
设P(An)＝an，则P(An)＝1－an，则P(An＋1)＝P(An)·P(An＋1｜An)＋P(An)P(An＋1｜An)，
所以an＋1＝23an＋13(1－an)，即an＋1＝13an＋13，整理可得an＋1－12＝13(an－12)，
由a1＝23，a1－12＝16，即{an－12}是首项为16，公比为13的等比数列，
则an－12＝16·(13)n－1，即an＝16·(13)n－1＋12，
故n＝3时a3＝16·(13)2＋12＝1427.
答案：1427
8.(2025·福建福州模拟)在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格O出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边(如第1次运动，机器人可以运动到Q1，Q2，Q3或Q4).若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2 025次后机器人“成功”的概率为 .
解析：如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2 025次后机器人在O处的概率为an，在①处的概率为bn，在②处的概率为cn，在③处的概率为dn.
则cn＝14bn－1，dn＝12bn－1，an＝14bn－1，bn＝14cn－1＋12dn－1＋an－1.
将cn＝14bn－1，dn＝12bn－1，an＝14bn－1代入到bn＝14cn－1＋12dn－1＋an－1中，得bn＝916bn－2，
又由题意得b1＝1，b2＝0，则bn＝916n－12，n为奇数，0，n为偶数，
所以b2 025＝9161 012＝342 024，则a2 025＝14b2 024＝0，c2 025＝14b2 024＝0，d2 025＝12b2 024＝0，
所以概率P＝a2 025＋b2 025＋c2 025＋d2 025＝342 024.
答案：342 024
9.(2025·河北廊坊高三期末)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第i(i∈N*)次投篮的人是甲的概率是 .
解析：记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
设P(Ai)＝pi，则P(Bi)＝1－pi，
则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1｜Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1｜Bi)，
于是pi＋1＝0.8pi＋(1－0.6)(1－pi)＝0.4pi＋0.4，即pi＋1－23＝25(pi－23)，
由p1＝12，得p1－23＝－16，因此数列{pi－23}是首项为－16，公比为25的等比数列，
则pi－23＝－16·(25)i－1，即pi＝23－16·(25)i－1，
所以第i次投篮的人是甲的概率为23－16·(25)i－1.
答案：23－16·(25)i－1
10.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题(即每名同学至少答对1题).若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为 .
解析：记答题的两位同学答对的题数分别为x1，y1，则x1，y1∈{1，2，3，4，5，6}，
当x1，y1∈{1，2，1，5，2，1，2，4，3，3，3，6，4，2，4，5，5，1，5，4，6，3，6，6}时，x1＋y1是3的倍数，
故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为126×6＝13，
两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23.
记第n次由甲组答题的概率为Pn，则由乙组答题的概率为1－Pn，Pn＋1＝13Pn＋231－Pn，即Pn＋1＝－13Pn＋23，
进一步有Pn＋1－12＝－13Pn－12，又P1－12＝1－12＝12，
所以数列Pn－12是以12为首项，以－13为公比的等比数列，所以Pn－12＝12－13n－1.
令n＝7，则P7＝12＋12×－136＝365729.
答案：365729