2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-三角形中的特征线（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-三角形中的特征线（Word版解析版），共8页。
1.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，A＝60°.
(1)若2c－b＝2，求sin C；
(2)若BC边上的高h＝1237，求△ABC的周长.
解：(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得49＝b2＋c2－bc，
联立2c－b＝2，解得c＝－3(舍)或c＝5，
由正弦定理得asinA＝csinC，得7sin60°＝5sinC，解得sin C＝5314.
(2)由题得△ABC的面积S△ABC＝12ah＝12×7×1237＝63，∴12bcsin A＝34bc＝63，
∴bc＝24.
由余弦定理得49＝b2＋c2－bc，∴b2＋c2＝73，
∴(b＋c)2＝73＋48＝121，∴b＋c＝11，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝18.
2.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝7∶2∶1.
(1)求角A的值；
(2)若点D为BC的中点，求AD∶BC的值.
解：(1)设c＝1，则a＝7，b＝2，
利用余弦定理可得cs A＝b2+c2−a22bc＝4+1−72×2×1＝－12，
又因为A∈0，π，所以A＝2π3.
(2)设c＝1，则a＝7，b＝2，因为点D为BC的中点，所以AD＝12AB＋AC，
两边平方可得AD2＝14AB＋AC2，即4AD2＝AB2＋AC2＋2｜AB｜｜AC｜cs A，
所以4AD2＝1＋4＋2×1×2×－12＝3，可得AD＝32，所以AD∶BC＝2114.
3.(2025·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝π3，a＝4.
(1)若BC边上的高AD＝23，求证：△ABC为等边三角形；
(2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝263，求△ABC的周长.
解：(1)证明：在△ABC中，A＝π3，a＝4，
由余弦定理得b2＋c2－2bccs A＝42，即b2＋c2－bc＝16 ①.
又S△ABC＝12·｜BC｜·｜AD｜＝12·bcsin A，即12×4×23＝12·bc·32，故bc＝16 ②.
由①②得(b－c)2＋bc＝16，即(b－c)2＝0，故b＝c＝4＝a.
所以△ABC为等边三角形.
(2)在△ABC中，由S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
得12bcsin∠BAC＝12AM·c·sin∠BAM＋12AM·b·sin∠CAM，
又直线AM为∠BAC的平分线，则∠BAM＝∠CAM＝12∠BAC＝π6，
所以12bc×32＝12×263c×12＋12×263b×12，即bc＝223(b＋c) ③，
又由余弦定理可得cs∠BAC＝b2+c2−a22bc，即b2＋c2－bc＝16 ④，
由③④可知16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－22(b＋c)，
解得b＋c＝42或b＋c＝－22(舍)，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝42＋4.
4.(2025·陕西西安一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π3，D为BC上一动点.
(1)若AD平分∠BAC，求证：ABAC＝BDDC；
(2)若D为BC上靠近B的三等分点，当c＝2，b＝1时，求AD的长.
解：(1)证明：设AE⊥BC，垂足为E，
在△ABD中，S△ABD＝12AB·AD·sin∠BAD＝12BD·AE，
在△ACD中，S△ACD＝12AC·AD·sin∠CAD＝12CD·AE，
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，
于是有sin∠BAD＝sin∠CAD，
因此有12AB·AD·sin∠BAD12AC·AD·sin∠CAD＝12BD·AE12CD·AE，化简得ABAC＝BDCD.
(2)因为D为BC上靠近B的三等分点，所以BD＝13BC＝13AC－AB，
因为AD＝AB＋BD＝AB＋13AC－AB＝23AB＋13AC，所以AD＝23AB＋13AC2＝49AB2＋19AC2＋49AB·AC＝49×4+19×1+49×2×1×12＝213.