2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-零点问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-零点问题（Word版解析版），共3页。试卷主要包含了已知函数f＝x2－2ax，已知函数f＝xa+lnx等内容，欢迎下载使用。
1.(2025·河北秦皇岛一模)已知函数f(x)＝x2(ln x－1)－2ax.
(1)当a＝0时，求f(x)的极小值；
(2)若函数g(x)＝ex＋f(x)有2个零点，求a的取值范围.
解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝x2(ln x－1)定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝2x(ln x－1)＋x＝2x(ln x－12)，
当0＜x＜e时，f'(x)＜0；当x＞e时，f'(x)＞0，函数f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
所以当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝－e2.
(2)依题意，函数g(x)＝ex＋x2(ln x－1)－2ax的定义域为(0，＋∞)，
由g(x)＝0，得2a＝exx＋xln x－x，
令函数h(x)＝exx＋xln x－x，x＞0，
求导得h'x＝exx−1x2＋ln x，当0＜x＜1时，h'(x)＜0，当x＞1时，h'(x)＞0，
函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(x)min＝h(1)＝e－1，
当x从大于0的方向趋近于0时，h(x)→＋∞；当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
则当2a＞e－1，即a＞e−12时，直线y＝2a与函数y＝h(x)的图象有两个交点，即g(x)有两个零点，
所以a的取值范围是(e－12，＋∞).
2.(2025·山东临沂一模)已知函数f(x)＝2x+1ex.
(1)求曲线y＝f(x)在点0，f0处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－kx在－∞，0上恰有两个零点，求k的取值范围.
解：(1)由f(x)＝2x+1ex，得f'(x)＝2x+3ex，
则f0＝1，f'0＝3，
所以曲线y＝f(x)在点0，f0处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.
(2)令g(x)＝f(x)－kx＝0，
则k＝f(x)x＝2x+1exx，
令hx＝2x+1exx，x∈－∞，0，
则h'x＝2x2+x−1exx2＝2x−1x+1exx2，x∈－∞，0，
令h'x＞0，则x＜－1，令h'x＜0，则－1＜x＜0，
所以函数hx在－∞，－1上单调递增，在－1，0上单调递减，
所以ℎxmax＝h－1＝1e，
hx＝2x+1exx＝2ex＋exx，
当x→－∞时，hx→0，当x→0时，hx→－∞，
如图，作出函数hx的大致图象，
因为函数g(x)＝f(x)－kx在－∞，0上恰有两个零点，
所以函数y＝k，y＝hx的图象恰有两个交点，所以k的取值范围为0，1e.
3.(2025·浙江金华二模)已知函数f(x)＝xa+lnx.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若方程f(x)＝1a有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝x1+lnx的定义域为(0，e－1)∪(e－1，＋∞)，
求导得f'(x)＝lnx(1+lnx)2，
当x∈(0，e－1)∪(e－1，1)时，f'(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，
所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值f(1)＝1，无极大值.
(2)函数f(x)＝xa+lnx的定义域为(0，e－a)∪(e－a，＋∞)，
求导得f'(x)＝a+lnx－1(a+lnx)2，
令h(x)＝f(x)－1a，则h'(x)＝f'(x)＝a+lnx−1(a+lnx)2，
当x∈(0，e－a)∪(e－a，e1－a)时，f'(x)＜0；当x∈(e1－a，＋∞)时，f'(x)＞0，
函数h(x)在(0，e－a)，(e－a，e1－a)上单调递减，在(e1－a，＋∞)上单调递增，
当x＝e1－a时，函数h(x)取得极小值h(e1－a)＝e1－a－1a，
①若a＜0，当x∈(0，e－a)时，h(1)＝f(1)－1a＝0，函数h(x)在(0，e－a)有唯一零点x＝1；
当x∈(e－a，＋∞)时，h(e1－a)＝e1－a－1a＞0，函数h(x)在(e－a，＋∞)无零点，
因此当a＜0时，h(x)有唯一零点；
②若a＞0，当x从大于0的方向趋近于0时，函数h(x)的值趋近于负数－1a，
即当x∈(0，e－a)时，h(x)＜0，函数h(x)在(0，e－a)上无零点；
当x从大于e－a的方向趋近于e－a时，函数h(x)的值趋近于正无穷大，
当x趋近于正无穷大时，函数h(x)的值趋近于正无穷大，
则当且仅当h(e1－a)＝0，h(x)有唯一零点，由h(e1－a)＝0，得e1－a－1a＝0，即ae1－a－1＝0，
令φ(a)＝ae1－a－1，a＞0，
求导得φ'(a)＝(1－a)e1－a，当0＜a＜1时，φ'(a)＞0；当a＞1时，φ'(a)＜0，
函数φ(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
因此φ(a)max＝φ(1)＝0，
则方程e1－a－1a＝0有唯一解a＝1，
于是a＝1时，h(x)有唯一零点，
所以实数a的取值范围为a＜0或a＝1.
4.已知函数f(x)＝xln x－ax2＋1.
(1)若f(x)在0，＋∞上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a＜0，证明：f(x)＞0.
解：(1)由f(x)＝xln x－ax2＋1，
则f'(x)＝ln x＋1－2ax，
因为f(x)在0，＋∞上单调递减，
所以f'(x)＝ln x＋1－2ax≤0在0，＋∞上恒成立，
所以ln x＋1－2ax≤0，即a≥lnx+12x，
构造函数g(x)＝lnx+12xx＞0，
所以g'x＝1x·2x−2lnx+14x2＝−2lnx4x2，
当x∈0，1时，g'x＞0；当x∈1，＋∞时，g'x＜0，
所以g(x)在区间0，1上单调递增，在区间1，＋∞上单调递减，
所以当x＝1时g(x)取得极大值也是最大值，即g(x)max＝g1＝12，所以a≥12，
所以a的取值范围为12，＋∞.
(2)解法一：由题意得f(x)＝xln x－ax2＋1的定义域为0，＋∞，
当a＜0时，要证f(x)＞0，即证xln x－ax2＋1＞0，等价于证明ln x－ax＋1x＞0，
构造函数hx＝ln x－ax＋1xx＞0，即证ℎxmin＞0；
所以h'x＝1x－a－1x2＝－ax2＋x－1x2，
令Tx＝－ax2＋x－1x＞0，
因为函数Tx的对称轴为x＝12a＜0，
所以Tx在0，＋∞上单调递增，
且T0＝－1＜0，T1＝－a＞0，
所以存在x0∈0，1，使Tx0＝－ax02＋x0－1＝0，
所以当x∈0，x0时，Tx＜0，即h'x＜0，
当x∈x0，＋∞时，Tx＞0，即h'x＞0，
所以hx在0，x0上单调递减，在x0，＋∞上单调递增，
所以当x＝x0时，hx有极小值也是最小值ℎxmin＝hx0＝ln x0－ax0＋1x0(0＜x0＜1)，
又因为－ax02＋x0－1＝0，得－ax02＝1－x0，
所以hx0＝ln x0＋2x0－10＜x0＜1，
令px＝ln x＋2x－10＜x＜1，
则p'x＝1x－2x2＝x−2x2＜0在x∈0，1上恒成立，
所以px在0，1上单调递减，
所以px＞p1＞0，即hx0＞0，
所以即证ℎxmin＞0，所以可证f(x)＞0.
解法二：若a＜0，ax2＜0x>0，
令px＝xln x＋1，则p'x＝ln x＋1，
当x∈0，1e时，p'x＜0，px单调递减；当x∈1e，＋∞时，p'x＞0，px单调递增；
所以px≥p1e＝1－1e＞0，
所以px＝xln x＋1＞ax2，
所以f(x)＝xln x－ax2＋1＞0.