2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-函数与导数的新定义问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-函数与导数的新定义问题（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了给出以下三个材料等内容，欢迎下载使用。
1.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在R上的函数f(x)满足条件①在闭区间a，b上连续，②在开区间a，b内可导，则∃x0∈a，b，fa－fba－b＝f'x0.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若fa＝fb，则f'x0＝0.现已知函数f(x)＝x－2ex＋ax3a∈R.
(1)设可导函数g(x)＝x2－5x＋4f(x)＋1，证明：∃x0∈1，4，g'x0＝0；
(2)若f'(x)在－1，1上的最小值为－1，求a的取值范围.
解：(1)因为g1＝g4＝1，且g(x)在1，4上连续，在1，4内可导，
所以由罗尔中值定理得∃x0∈1，4，g'x0＝0.
(2)设hx＝f'(x)＝x－1ex＋3ax2，则h'x＝xex+6a.
当6a≥0，即a≥0时，ex＋6a＞0，
当x＜0，得h'x＜0，则hx在－∞，0上单调递减，
当x＞0，得h'x＞0，则hx在0，＋∞上单调递增，
从而ℎxmin＝h0＝－1，故a≥0符合题意.
当6a＜0时，即a＜0时，令h'x＝0，得x＝0或x＝ln－6a.
当ln－6a＜0，即－16＜a＜0时，
当x＞0或x＜ln－6a，得h'x＞0，则hx在－∞，ln－6a和0，＋∞上单调递增，
当ln－6a＜x＜0，得h'x＜0，则hx在ln－6a，0上单调递减.
因为hx在－1，1上的最小值为－1，且h(0)＝－1，
则h－1≥－1，得23e－13≤a＜0；
当ln－6a＝0，即a＝－16时，h'x≥0恒成立，则hx在R上单调递增，故a＝－16，不合题意；
当ln－6a＞0，即a＜－16时，
当x＞ln－6a或x＜0，得h'x＞0，则hx在－∞，0和ln－6a，＋∞上单调递增，
当0＜x＜ln－6a，得h'x＜0，则hx在0，ln－6a上单调递减，
从而h－12＜h0＝－1，故a＜－16，不合题意.
综上，a的取值范围为23e－13，＋∞.
2.给出以下三个材料：①若函数f(x)可导，我们通常把导函数f'(x)的导数叫做f(x)的二阶导数，记作f″x.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作f‴x，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n－1阶导数的导数叫做n阶导数，记作fnx＝fn－1x'，n≥4.②若n∈N*，定义n！＝n×n－1×n－2×…×3×2×1.③若函数f(x)在包含x0的某个开区间a，b上具有n阶的导数，那么对于任一x∈a，b有g(x)＝fx0＋f'x01！x－x0＋f″x02！x－x02＋f‴x03！x－x03＋…＋fnx0n！x－x0n，我们将g(x)称为函数f(x)在点x＝x0处的n阶泰勒展开式.例如，y＝ex在点x＝0处的n阶泰勒展开式为1＋x＋12x2＋…＋1n！xn.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出f1x＝sin x在点x＝0处的3阶泰勒展开式g1x，并直接写出f2x＝cs x在点x＝0处的3阶泰勒展开式g2x；
(2)比较(1)中f1x与g1x的大小；
(3)证明：ex＋sin x＋cs x≥2＋2x.
解：(1)∵f'1x＝cs x，f″1x＝－sin x，f‴1x＝－cs x，
∴f'10＝1，f″10＝0，f‴10＝－1，
∴g1x＝sin 0＋11！x－0＋02！x－02＋−13！x－03，即g1x＝x－16x3.
同理可得：g2x＝1－12x2.
(2)由(1)知：f1x＝sin x，g1x＝x－16x3，
令hx＝f1x－g1x＝sin x－x＋16x3，
则h'x＝cs x－1＋12x2，
∴h″x＝－sin x＋x，h‴x＝1－cs x≥0，
∴h″x在R上单调递增，又h″0＝0，
∴当x∈－∞，0时，h″x＜0，h'x单调递减；当x∈0，＋∞时，h″x＞0，h'x单调递增；
∴ℎ'xmin＝h'0＝1－1＋0＝0，∴h'x≥0，
∴hx在R上单调递增，又h0＝0，
∴当x∈－∞，0时，hx＜0；当x∈0，＋∞时，hx＞0；
综上所述：当x＜0时，f1x＜g1x；当x＝0时，f1x＝g1x；当x＞0时，f1x＞g1x.
(3)令φx＝f2x－g2x＝cs x－1＋12x2，则φ'x＝－sin x＋x，
∴φ″x＝1－cs x≥0，∴φ'x在R上单调递增，
又φ'0＝0，∴φx在－∞，0上单调递减，在0，＋∞上单调递增，
∴φx≥φ0＝0，即cs x≥1－12x2；
∵y＝ex在点x＝0处的4阶泰勒展开式为：1＋x＋12x2＋16x3＋124x4，
∴ex＝1＋x＋12x2＋16x3＋124x4≥1＋x＋12x2＋16x3，当且仅当x＝0时取等号，
①当x≥0时，由(2)可知，sin x≥x－16x3，当且仅当x＝0时取等号，所以ex＋sin x＋cs x≥1+x＋12x2＋16x3＋x－16x3＋1－12x2＝2＋2x；
②当x＜0时，设F(x)＝ex＋sin x＋cs x－2－2x，F0＝0，
F'x＝ex＋cs x－sin x－2＝ex＋2cs(x＋π4)－2，F″x＝ex－sin x－cs x，
当x∈－1，0，由(2)可知sin x＜x－16x3，所以F″x＝ex－sin x－cs x＞1＋x＋12x2＋16x3＋16x3－x－cs x＝1－cs x＋16x23+2x＞0，即有F'x＜F'0＝0；
当x∈－∞，－1时，F'x＝ex＋2cs(x＋π4)－2＜1e＋2－2＜12＋2－2＜0，
所以x＜0时，F(x)单调递减，从而F(x)＞F0＝0，即ex＋sin x＋cs x＞2＋2x.
综上所述，ex＋sin x＋cs x≥2＋2x.