2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-极值点偏移（Word版解析版）

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1.已知函数f(x)＝ln x－ax有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：ax1＋x2＞2.
解：(1)f(x)的定义域为0，＋∞，f'(x)＝1x－a，
当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)在0，＋∞上单调递增，f(x)至多一个零点，不符合题意，舍去；
当a＞0时，令f'(x)＞0得0＜x＜1a，所以f(x)在0，1a上单调递增，
当x＞1a，f'(x)＜0，此时f(x)在1a，＋∞上单调递减，
所以f(x)的极大值也是最大值f1a＝ln1a－1＞0，∴0＜a＜1e.
又x＜1时，f(x)＜0；x趋向于＋∞时，f(x)趋向于－∞.
所以f(x)有两个零点，a的取值范围为0，1e.
(2)不妨设x1＜x2，由fx1＝fx2，则0＜x1＜1a＜x2.
构造函数F(x)＝f(x)－f2a－x(0＜x＜1a)，
F'x＝f'(x)＋f'2a－x＝1x－a＋12a−x－a＝1x＋12a−x－2a＝2ax−12x2−ax，
因为0＜x＜1a，所以2－ax＞0，即F'x＞0，所以F(x)在0，1a上单调递增，
又F1a＝0，所以F(x)＝f(x)－f2a－x＜F1a＝0，
则f(x)＜f2a－x，故fx1＜f2a－x1.
又fx1＝fx2，所以fx2＜f2a－x1.
而x2，2a－x1∈1a，＋∞，f(x)在1a，＋∞上单调递减，
所以x2＞2a－x1，即x1＋x2＞2a，所以ax1＋x2＞2.
2.已知函数hx＝ln x和g(x)＝ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，使得hx1＝gx1，hx2＝gx2，证明：x1x2＞e2.
证明：方法一(利用参数a作为媒介，换元后构造新函数)：因为x1≠x2，不妨设x1＞x2，
因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以ln x1＋ln x2＝ax1＋x2，ln x1－ln x2＝ax1－x2，所以ln x1−ln x2x1−x2＝a，
欲证x1x2＞e2，即证ln x1＋ln x2＞2.
因为ln x1＋ln x2＝ax1＋x2，所以即证a＞2x1+x2，
所以即证ln x1−ln x2x1−x2＞2x1+x2，即证lnx1x2＞2x1−x2x1+x2.
令t＝x1x2，则t＞1，x1x2＞e2等价于ln t－2t−1t+1＞0，
构造函数gt＝ln t－2t−1t+1，t＞1，
因为g't＝t−12tt+12＞0，所以gt在1，＋∞上单调递增，
故gt＞ln 1－2×1−11+1＝0，即ln t－2t−1t+1＞0，所以x1x2＞e2.
方法二(直接换元构造新函数)：a＝ln x1x1＝ln x2x2，即ln x2ln x1＝x2x1，设x1＜x2，t＝x2x1，则t＞1，
则x2＝tx1，lntx1ln x1＝t，可得ln x1＝lntt−1，ln x2＝ln tx1＝ln t＋ln x1＝ln t＋lntt−1＝tlntt−1，
由于x1x2＞e2⇔ln x1＋ln x2＞2⇔lntt−1＋tlntt−1＝t+1t−1ln t＞2⇔ln t－2t−1t+1＞0，
构造函数gt＝ln t－2t−1t+1，t＞1，
因为g't＝t−12tt+12＞0，所以gt在1，＋∞上单调递增，
故gt＞ln 1－2×1−11+1＝0，即ln t－2t−1t+1＞0，
所以x1x2＞e2.