初中数学青岛版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教案设计

这是一份初中数学青岛版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教案设计，共15页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时 完全平方公式

一、教材分析
完全平方公式是在学生已有的字母表示数、有理数运算以及平方差公式的基础上展开的.完全平方公式既是对前面所学知识的深化和发展，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础.考点主要是掌握公式的结构特征及正确运用公式．

二、学情分析
学生在学习了多项式的乘法以后，学习完全平方公式，这是教材编排遵循从一般到特殊的认知规律的典型范例. 完全平方公式的结构特点及公式中字母的含义对学生来讲非常抽象，是本节课的学习难点.本教学设计以感知特征，建构模型入手，由浅入深，由表象到本质，数形结合，层层剖析公式特征，建构公式模型，加深学生对公式的理解，增强学生应用公式解决问题的能力，从而达到较好的授课效果，也为今后学习其他乘法公式做好相关准备.

三、教学目标
1.理解并掌握完全平方公式的推理过程
2.会用完全平方公式进行运算.
3.在运用公式解决实际问题的过程中，会运用化归思想，培养学生的数学建模能力与类比运用能力.

四、教学重难点
重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表达、几何解释
难点：对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用

五、教学过程
情境导入
如图所示,某中学计划将一个边长为xm的正方形花坛每条边的长度都增加2m,新花坛的面积是多少? 如果都减少1m呢?
我们一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
一起探究
活动一：探索完全平方公式
由于新花坛依然呈正方形,因此改造后的花坛面积分别为(x+2)2 m2 和(x−1)2 m2,运用多项式的乘法计算得:
(x+2)2 (x−1)2
=(x+2)(x+2) =(x−1)(x−1)
=x·x+x·2+2·x+2×2 =x·x−x·1−1·x−1×(−1)
=x2+2x+2x+4 =x2−x−x+1
=x2+4x+4; =x2−2x+1
(x+2)2 和(x−1)2 分别表示两个相同多项式的积,这也是一种特殊形式的整式乘法.
师生活动：学生认真思考，举手作答.
思考与交流：计算下列算式:
(1) (x+5)2=x2 +5x+ 5x+25= x2+2x∙5+52
(2)(2y−1)2=4y2−2y−2y+1= (2y)2−2∙2y∙1+12
师生活动：学生板演，其他人独立完成计算.教师在学生正确解答之后继续提出问题：观察上面的算式及其运算结果,你有什么发现?
学生认真思考，合作交流，尝试用自己的语言叙述发现.
等号前：都表示的是两数和(差)的平方
等号后：结果一共有3项；第一项为第一个数的平方，最后一项为第二个数的平方，中间是这两个数乘积的两倍.
设计意图：学生利用已有的知识，通过计算，发现从特殊到一般的规律，鼓励学生大胆发表自己的见解.
活动二：证明完全平方公式
思考：对于一般情况,上述关系依然成立吗？
若a,b是有理数,利用多项式的乘法计算:
(a+b)2 (a+b)2
=(a+b)(a+b) =(a−b)(a−b)
=a2+ab+ba+b2 =a2−ab−ba+b2
=a2+2ab+b2; =a2−2ab+b2
师生活动：教师提出问题后，学生认真思考，合作交流得出：
完全平方公式：
两个数的和(差)的平方,等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍,即
用字母表示为:(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a−b)2=a2−2ab+b2.
设计意图：让学生经历概念的形成过程,培养自主学习、合作交流的能力.通过自己证明,让学生更深入的理解,培养学生严谨的学习态度.
活动三：完全平方公式的几何解释
思考：当a,b均表示正数时,你能利用图中的面积关系解释完全平方公式吗？
师生活动：教师利用课件的动画进行演示，帮助学生理解和的完全平方公式.
追问:你能用类似的方法对差的完全平方公式进行解释吗？
我们来计算图中正方形①的面积
利用边长直接计算得：(a−b)(a−b)=(a−b)2
利用大正方形减去其他3个矩形得：
a2−2a−bb−b2=a2−2ab+b2
故 (a−b)2=a2−2ab+b2
差的完全平方公式： (a−b)2=a2−2ab+b2
师生活动：学生积极思考，先独立完成再小组讨论，汇报结果，教师点评
设计意图:由学生自己在计算操作的基础上，在教师的引导下，学生通过面积的计算，进一步验证上面的规律，使学生真正经历这一过程，以促进学生的观察能力和归纳概括能力的发展.
活动四：公式的深化理解
按要求填写下面的表格:
设计意图:通过简单的运算，强调完全平方公式的形式，在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果.
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a−b)2=a2−2ab+b2.
结构特征:
左边是两数和（差）的平方
右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方!
应用举例
例1 利用完全平方公式计算:
(1)(x+3)2; (2)(2m−3n)2; (3) (−12x−23y)2
分析：在(1)中，可以把x看成a，3看成b，即
(1)(x + 3)2＝x2+2∙x∙3+32.

(a+b)2=a2+2ab + b2.
解：(1)(x+3)2＝x2+2∙x∙3+32＝x2+6x+9.
(2)(2m−3n)2＝(2m)2−2×2m∙3n+(3n)2 ＝4m2−12mn+9n2.
(3)(−12x−23y)2=(12x+23y)2=(12x)2+2×12x∙23y+(23y)2
=14x2+23xy+49y2.
方法总结：
完全平方公式的运用：
先明确用哪个完全平方公式，再把计算的式子与完全平方公式对照， 明确哪个是a ， 哪个是b.
师生活动：学生思考后独立完成例题，3名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：通过例1，让学生加深对完全平方公式的理解，正确掌握完全平方公式的运用方法.
例2. 利用完全平方公式计算1012.
解:1012
＝(100+1)2
＝1002+2×100×1+22
＝10000+200+1
＝10201
方法总结：平方差公式中的a与b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数，运用公式做题时关键分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，不能混淆.
师生活动：学生先独立思考再合作交流之后作答.
设计意图：借助此题让学生进一步体会完全平方公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式.
例3.利用乘法公式计算:
(1)(x−4)(x+4)−(x−8)(x+2);
(2)4(3−x)2+(1−2x)(2x+1)
解：(1)(x−4)(x+4)−(x−8)(x+2)
=x2−16−(x2−6x−16)
=x2−16−x2+6x+16
=6x.
(2)4(3−x)2+(1−2x)(2x+1)
=4(9−6x+x2)+1−4x2
=36−24x+4x2+1−4x2
=−24x+37.
设计意图：通过例3让学生进一步体会乘法公式的运用，综合利用平方差公式和完全平方公式解决问题.
例4.利用乘法公式计算:
(1)(a+b−1)2; (2)(2x+y−5)(2x+y+5)
解：(1)(a+b−1)2
=[(a+b)−1]2
=(a+b)2−2(a+b)+12
=a2+2ab+b2−2a−2b+1
(2) (2x+y−5)(2x+y+5)
=[(2x+y)−5][(2x+y)+5]
=(2x+y)2−52
=4x2+4xy+y2−25
注意事项：
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式的，要变形成符合公式再用
3.完全平方公式与平方差公式的区别
设计意图：例4是完全平方公式与平方差公式的综合运用，且不能直接运用公式，借助此题，提醒学生运用公式解题时的注意事项，培养学生的逻辑能力.
课堂练习
1.利用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2; (2)(2x−1)2;
(3)(3a−2b)2; (4)(−34x−23y)2.
解：(1)(x+6)2＝x2+2∙x∙6+62＝x2+12x+36.
(2)(2x−1)2 ＝(2x)2−2×2x∙1+12 ＝4x2−4x+1.
(3)(3a−2b)2=(3a)2−2×3a∙2b+(2b)2=9a2−12ab+4b2.
(4)(−34x−23y)2=(34x+23y)2=(34x)2+2×34x∙23y+(23y)2
=916x2+xy+49y2.
2.利用完全平方公式计算:
(1)100.12; (2)982
解：(1)100.12
＝(100+0.1)2
＝1002+2×100×0.1+0.12
＝10000+20+0.01
＝10020.01
(2)982
＝(100−2)2
＝1002−2×100×2+22
＝10000−400+4
＝9604
3.利用乘法公式计算:
(1)x(x−1)−(x−13)(x+13) ; (2)(x+5)2−(x−2)(x−3);
(3)(x+2y+1)(x+2y−1); (4)(a−b+c)2
解:(1)x(x−1)−(x−13)(x+13)
=x2−x−(x2−19)
=x2−x−x2+19
=−x+19.
(2) (x+5)2−(x−2)(x−3)
=(x2+10x+25)−(x2−5x+6)
=x2+10x+25−x2+5x−6
=15x+19.
(3)(x+2y+1)(x+2y−1)
=[(x+2y)+1][(x+2y)−1]
=(x+2y)2−12
=x2+4xy+4y2−1.
(4) (a−b+c)2
=[(a−b)+c]2
=(a−b)2+2(a−b)c+c2
=a2−2ab+b2+2ac−2bc+c2.
设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂总结
这节课你学到了哪些知识？说说你的体会.
设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.
课堂检测
1.利用完全平方公式计算:
(1)(2m+3)2; (2)(−3a+2b)2; (3)(−2p−7q)2; (4)(32x−13y)2.
解：(1)(2m+3)2 ＝(2m)2+2×2m∙3+32 ＝4m2+12m+9.
(2)(−3a+2b)2=(3a−2b)2=(3a)2−2×3a∙2b+(2b)2=9a2−12ab+4b2.
(3)(−2p−7q)2=(2p+7q)2=(2p)2+2×2p∙7q+(7q)2=4p2+28pq+49q2.
(4)(32x−13y)2＝(32x)2−2×32x∙13y+(13y)2 ＝94x2−xy+19y2.
2.利用乘法公式计算:
(1)100.2×99.8; (2)632
解:(1)100.2×99.8
＝(100+0.2)×(100−0.2)
＝1002−0.22
＝10000−0.04
＝9999.96
(2) 632
＝(60+3)2
＝602+2×60×3+32
＝3600+360+9
＝3969
3.计算:
(1)(2x−y)2−4(x−y)(x+2y); (2)3(2−y)2−4(y+5)2;
(3)(m−2n−1)(m−2n+1); (4)(2x−3y−z)2.
解：(1)(2x−y)2−4(x−y)(x+2y)
＝(4x2−4xy+y2)−4(x2+xy−2y2)
＝4x2−4xy+y2−4x2−4xy+8y2
＝−8xy+9y2
(2) 3(2−y)2−4(y+5)2
=3(4−4y+y2)−4(y2+10y+25)
=12−12y+3y2−4y2−40y−100
=−y2−52y−88.
(3)(m−2n−1)(m−2n+1)
＝[(m−2n)−1][(m−2n)+1]
＝(m−2n)2−1
＝m2−4mn+4n2−1
(4) (2x−3y−z)2
=[(2x−3y)−z]2
=(2x−3y)2−2z(2x−3y)+z2
=4x2−12xy+9y2−4xz+6yz+z2.
4.先化简,再求值:(x+2y)2+(x+2y)(x−2y),其中x=12,y=−13.
解：(x+2y)2+(x+2y)(x−2y)
=(x2+4xy+4y2)+(x2−4y2)
=x2+4xy+4y2+x2−4y2
=2x2+4xy.
当x=12,y=−13时,原式=2×(12)2+4×12×(−13)=12−23=−16.

六、板书设计
算式
与完全平方公式
中a对应的项
与完全平方公式
中b对应的项
利用公式得出
计算结果
(2x+3)2
(m+2n)2
(2b−c)2
(3m−2)2