初中数学青岛版（2024）七年级下册（2024）整式的除法第2课时教案

这是一份初中数学青岛版（2024）七年级下册（2024）整式的除法第2课时教案，共18页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时多项式除以单项式

一、教材分析
《多项式除以单项式》是青岛版初中数学七年级下册第10章第4节第2课时的内容.本节课的学习内容为掌握多项式除以单项式式的运算，并能够综合运用所学知识解决实际问题.多项式除以单项式在整式的运算中的地位和作用是很重要的，是对代数式运算的深化，也为后续的分式、方程等知识学习做铺垫.教材编排遵循从特殊到一般、由浅入深的规律，借助实例引导学生自主推导法则，同时结合实际问题，强化知识应用，提升学生解决问题的能力.

二、学情分析
学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，对幂运算规则有基本认知，能借助同底数幂除法法则推导，但由于学生之间存在差异，所以在教学中需要因材施教，课后布置分层作业，从而使不同层次的学生都有所收获.

三、教学目标
1.理解和掌握多项式除以单项式的运算法则.
2.熟练、准确地进行计算各种类型的多项式除以单项式.
3.理解除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力.
4.经历探索单项式除以单项式法的则的过程，进一步体会类比方法的作用，发展运算能力.

四、教学重难点
重点：熟练、准确地进行计算各种类型的多项式除以单项式.
难点：经历探索单项式除以单项式的法则的过程，进一步体会类比方法的作用，发展运算能力.

五、教学过程
复习回顾
1.同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.
同底数幂的除法运算法则表达式：am÷an＝am-n(a≠0，m，n都是正整数m>n)．
2.单项式除以单项式运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
师生活动：教师投影展示回顾内容．
设计意图：复习同底数幂的除法单项式除以单项式，为本节课单项式除以单项式的探究过程做好准备.
情境导入
问题1：如下图一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m,求它的面积?
解：根据长方形面积公式得它的面积为：(a+b)m=am+bm.
问题2:若已知油画的面积为am+bm,宽为m,如何求它的长?
长方形的长为：(am+bm)÷m
像am+bm÷m中am+bm是多项式，m是单项式，
这就是今天我们所研究的多项式除以单项式.
像(am+bm)÷m中(am+bm)是多项式，m是单项式，这就是今天我们所研究的多项式除以单项式.
设计意图：从实际问题引入多项式除以单项式，激发学生兴趣.
探究新知
活动一：探究多项式除以单项式
问题3：如何计算(am+bm)÷m=？
根据除法是乘法的逆运算，计算(am+bm)÷m=，就是找到一个式子，使它与m的积等于(am+bm).由问题1可知，(a+b)m=am+bm，所以(am+bm)÷m==a+b.
做一做：尝试进行计算：3x2y+2x÷x=?

因为3xy+2∙x=3x2y+2x，
所以3x2y+2x÷x=3xy+2.
我发现，3x2y÷x+2x÷x=3xy+2，
所以3x2y+2x÷x=3x8y÷x+2x÷x.
做一做：
根据小博士的上述说法，计算：
(ac+bc)÷c； (ab2−2ab)÷ab.
(ac+bc÷c=( ac )÷c+( bc )÷c=__a+b____；
(ab2−2ab)÷ab=( ab2 )÷ab−( 2ab )÷ab=__b-2___.
思考：像这样，多项式除以单项式的问题可以转化为单项式除以单项式的问题.你能归纳出多项式除以单项式的运算方法吗?
活动二：归纳多项式除以单项式多项式除以单项式
单项式除以单项式
转化
ad+bd÷d=ad÷d+bd÷d=a+b
a2b+3ab÷a=a2b÷a+3ab÷a=ab+3b
xy3−2xy÷xy=xy3÷xy−2xy÷xy=y2−2
计算:3x2y−xy2+12xy÷−12xy
=3x2y÷−12xy+−xy2÷−12xy+12xy÷−12xy
=−6x+2y−1
注意：计算时先判断符号的正负.
运用多项式除以单项式法则时应注意什么？
1.在用多项式的每一项除以单项式时，注意每一项都要带着前面的符号.
2.所得商的项数应和多项式的项数保持一致.
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
师生活动：学生组内交流，合作解决，教师引导学生归纳法则.
设计意图：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神.
应用新知
例1：计算：
3y3+12y2+6y÷3y；
6a3b3−4a2b3÷−2ab2.
分析：根据多项式除以单项式的法则，计算即可.
解：
（1）3y3+12y2+6y÷3y=3y3÷3y+12y2÷3y+6y÷3y=y2+4y+2；
6a3b3−4a2b3÷−2ab2=6a3b3÷−2ab2+−4a2b3÷−2ab2=−3a2b+2ab.
注意：每一项都要除以单项式,不要丢项.
例2：先化简，再求值：
3m−n2−2m+n2+5mm−n÷5m ，其中m=2，n=-2.
分析：先化简，再求值.根据多项式除以单项式的法则，计算即可.
解：3m−n2−2m+n2+5mm−n÷5m=9m2−6mn+n2−4m2+4mn+n2+5m2−5mn÷5m=10m2−15mn÷5m=2m−3n
代入m=2，n=-2，原式=2×2-3×−2=10.
例3.长方形的面积为4a2−8ab+4a,若它的一边长为4a,求它的周长？
分析：根据题意列式计算即可.
解：根据长方形另一边长等于面积除以边长，可得：
另一边长=4a2−8ab+4a÷4a=4a2÷4a−8ab÷4a+4a÷4a=a−2b+1
长方形周长=（长+宽）×2
长方形周长=2a−2b+1+4a=25a−2b+1=10a−4b+2.
例4.根据多项式除以单项式法则，请你说一说下面计算正确吗？说出你的理由！
12a6x3−4a3x4+2ax3÷2ax3=6a5+2a2x
答：计算不对，有两个错误：
①丢项，被除式有三项，商式只有二项，丢了最后一项1；
②符号上错误，商式第二项的符号.
正确：12a6x3−4a3x4+2ax3÷2ax3=6a5−2a2x+1
师生活动：老师提问学生代表展示问题答案．加深学生对法则的记忆.
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情.
课堂练习
【教材练习】
计算：（1）6ab+8b÷2b
（2）27a3−15a2+6a÷3a
（3）(9x2y−6xy2)÷(3xy)
（4）(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)
解：（1）6ab+8b÷2b
=6ab÷2b+8b÷2b
=3a+4
（2）27a3−15a2+6a÷3a
=27a3÷3a−15a2÷3a+6a÷3a
=9a2−5a+2
（3）(9x2y−6xy2)÷(3xy)
=(9x2y)÷(3xy)−(6xy2)÷(3xy)
=3x-2y
(4)(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)
=3x2y÷(−12xy)−xy2÷(−12xy)+12xy÷(−12xy)=−6x+2y−1
计算：
14a3b2−21ab2÷7ab2；
36x6−24x4+12x3÷−12x2;
28a3−14a2+7a÷7a.
解：
14a3b2−21ab2÷7ab2=14a3b2÷7ab2−21ab2÷7ab2=2a2−3；
36x6−24x4+12x3÷−12x2=36x6÷−12x2−24x4÷−12x2+12x3÷−12x2=−3x4+2x2−x;
28a3−14a2+7a÷7a=28a3÷7a−14a2÷7a+7a÷7a=4a2−2a+1.
填空：
（1）3a2− ÷−a=−3a+2b
解：3a2−−3a+2b×−a=3a2−3a2−2ab=2ab
（2） ∙−2xy=4x2y−6xy2
解：4x2y−6xy2÷−2xy=4x2y÷−2xy+−6xy2÷−2xy=−2x+3y
课堂检测
1.解：（1）−4a3b2+8ab3÷4ab2
=−4a3b2÷4ab2+8ab3÷4ab2
=−a2+2b
解：（2）5x3−2x2+6x÷3x
=5x3÷3x+−2x2÷3x+6x÷3x
=53x2−23x+2
2.填空：
（1） ∙2x=−3x2+2x−7x3
（2） ÷7st2=3s+2t
解：（1）−3x2+2x−7x3÷2x=−32x+1−72x2
（2）3s+2t∙7st2=21s2t2+14st3
3.下列计算错在哪里？应怎样改正？
（1）am+bm+cm2÷m=a+b+c
（2）2x−4y+3÷2=x−2y+3
解：
（1）am+bm+cm2÷m=am÷m+bm÷m+cm2÷m=a+b+cm
（2）2x−4y+3÷2=x−2y+32
4.一个长方体模型的长、宽、高分别为4a(cm)，3a(cm)，2a(cm).某种油漆每千克可漆面积为12a(cm2)，问:漆这个模型需要油漆多少千克？
解：长方体的表面积为：
24a∙3a+4a∙2a+3a∙2a=52a2（cm2）
52a2÷12a=104a（千克）
答：漆这个模型需要油漆104a千克.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升.
设计意图：通过分层题型覆盖法则应用，结合典型题强化运算能力，提升学生熟练度，同时暴露易错点进行针对性指导.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.多项式除以单项式的运算法则？
3.法则使用的注意事项？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1.你能说明其中的道理吗？

六、板书设计