数学七年级下册（2024）乘法公式第2课时教案设计

这是一份数学七年级下册（2024）乘法公式第2课时教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
第2课时 完全平方公式
一、教学目标
1.能根据多项式的乘法法则推导出完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算．
2.了解(a±b)2=a2 ±2ab+b2的几何背景，发展几何直观．
3.在探索完全平方公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括等能力．
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
二、教学重难点
重点：掌握完全平方式的推导过程，并能正确运用公式进行计算.
难点：理解完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件．
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
问题1：多项式与多项式是如何相乘的？
预设：
多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则：
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
教师活动：引导学生回顾多项式乘以多项式的计算法则，待学生回答后，教师可举两个简单的例子，让学生一起计算.
如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn
(x+3) (x+3)=x2+6x+9.
问题2：平方差公式是怎样的呢？
预设：(a+b)(ab)=a2b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
小游戏：比一比谁算的更快
152=？ 252=？ 352=？
452 =？ 552 =？ 652 =？…
设计意图：通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备，激发学生的学习兴趣，调动积极性.
环节二 探究新知
【探究】
教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出完全平方公式.
问题1：计算下列各式，看谁算得又快又对？
(m+3)² = =
= = ；
(2+3x)² = =
= = .
预设：
(1)(m+3)²=(m+3)(m+3)
=m²+3m+3m+9=m2+6m+9
(2)(2+3x)²=(2+3x)(2+3x)
=2² +2×3x+2×3x+9x2= 4+12x+9x²
设计意图：让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性.
观察上面的等式，你能发现什么规律？
追问1：原算式有什么共同点？
(1)(m+3)²=(m+3)(m+3)=m2+6m+9
(2)(2+3x)²=(2+3x)(2+3x)= 4+12x+9x²
预设：均为两个数的和的平方.
追问2：原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？
(1)(m+3)²=(m+3)(m+3)
=m²+3m+3m+9
(2)(2+3x)²=(2+3x)(2+3x)
=2² +2×3x+2×3x+9x2
预设：两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.
设计意图：通过追问引导学生发现等式的规律，培养学生的观察分析能力.
【做一做】
根据发现的规律计算：(x+y)²
预设答案：
(x+y)²=x²+xy+xy+y² =x²+2xy+y²
由此可得到完全平方公式1:
(x+y)²=x²+2xy+y²
即多项式x+y的平方等于x与y的平方和加上x与y的积的2倍.
【归纳】
将完全平方公式1中的x用a代入，y用b代入:
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍.
设计意图：通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法.
【思考】
你能用下图解释(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗？
预设：
(a+b)2=a2+2ab+b2
设计意图：利用几何图形的面积解释完全平方公式，让学生从不同的角度理解这一公式，了解完全平方公式的几何意义，并让学生感知数形结合的思想.
【议一议】
(a−b)2=？你是怎样做的？
预设：
方法一：(a−b)2=(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2
=a2−2ab+b2
方法二：(a−b)2=[a+(−b)]2
=a2+2a(−b)+(−b)2
=a2−2ab+b2
教师活动：引导学生思考并计算，待学生完成计算后，教师汇总并补充，得出结论，教师可适当追问，还有其他的计算方法吗？使学生理解，还可以运用多项式乘以多项式的法则计算.
归纳：
完全平方公式(a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
设计意图：引导学生类比探究两数和的情况，探究两数差的情况，从而得到两数差的完全平方公式.
【做一做】
请你设计一个图形解释(a−b)2=a2−2ab+b2这一公式.
预设：
(a−b)2=a2−2(a−b)b−b2
=a2−2ab+b2
设计意图：类比“两数和”的情况，引导学生能够利用几何直观对这一结果进行解释.
【归纳】
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2= a2−2ab+b2
完全平方公式的特征：
(1)公式的左边是两个相同的二项式相乘；
(2)公式的右边都是二次三项式；
(3)首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式两项积的2倍；
(4)公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.
设计意图：通过归纳完全平方公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 运用完全平方公式计算：
（1）(a+ eq \f(1,2))2 ；
（2）（3m + n)2；
（3）（2x - 3y)2.
强调：和的平方、差的平方，等于两边平方，中间积的2倍（注意中间项的正负）.
解：（1）原式＝a2+2•a• eq \f(1,2)+( eq \f(1,2))2=a2+a+ eq \f(1,4)
（2）原式＝(3m)2+2•3m•n+n2＝9m2+6mn+n2
（3）原式＝(2x)2-2•2x•3y+(3y)2＝4x2-12xy+9y2
设计意图：通过练习，让学生能熟练应用完全平方公式计算.
【做一做】
填表：
(学生填表，然后交流、讨论，找出不同及错误原因，师生共同纠错.）
强调：完全和平方公式：(x+y)2=x2+2xy+y2；
完全差平方公式：(x-y)2=x2-2xy+y2.
设计意图：通过学生对照完全平方公式填表，弄清完全平方公式的来源及其结构特点，让学生掌握握运用“完全平方公式”的计算的方法和技巧.
【说一说】
怎样计算(- eq \f(1,3)x- eq \f(1,4))2？
方法一：解：原式＝(- eq \f(1,3)x)2+2•(- eq \f(1,3)x)•(- eq \f(1,4))+(- eq \f(1,4))2＝ eq \f(1,9)x2+ eq \f(1,6)x+ eq \f(1,16)
方法二：解：原式＝[-( eq \f(1,3)x+ eq \f(1,4))]2=( eq \f(1,3)x+ eq \f(1,4))2=( eq \f(1,3)x)2+2• eq \f(1,3)x• eq \f(1,4)+( eq \f(1,4))2＝ eq \f(1,9)x2+ eq \f(1,6)x+ eq \f(1,16)
(让学生尽可能找到多的计算方法和技巧,并让学生话理由）
强调：完全平方公式：两数的平方和加（或减去）它们积的2倍.
设计意图：不同的理解，采用不同的方法解题，加深学生对“完全平方公式”进行运算的理解和掌握.
例2 计算：
（1） 1042； （2） 1982
解：原式=(100+4)2 解：原式=(200-2)2
=1002+2×100×4+42 =2002-2×200×2+22
=10000+800+16 =40000-800+4
=10816 =39204
强调：运用完全平方公式可以简化一些运算.
设计意图：通过训练，让学生将“完全平方公式”运用到实际计算中，让学生明白：运用完全平方公式可以简化一些运算.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.运用完全平方公式计算：
（1）（2x + 3)2； （2）(3x+ eq \f(1,2)y)2；
(3）（5x - 2y)2； （4）（-4a-3b)2
解：(1)原式=(2x)2+2﹒2x﹒3+32=4x2+12x+9
(2)原式=(3x)2+2﹒3x﹒ eq \f(1,2)y+( eq \f(1,2)y)2=9x2+3xy+14y2
（3）原式=(5x)2-2﹒5x﹒2y+(2y)2=25x2-20xy+4y2
（4）原式=(-4a)2+2×(-4a)×(- 3b)+(- 3b)2=16a2+24ab+9b2
2.计算：
（1） 1032； 2） 2972
解：（1）原式=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10000+600+9=10609
（2）原式=(300-3)2=3002-2×300×3+32=90000-1800+9=88209
3.图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中的线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A. ab B. (a+b)2 C. (ab)2 D. a2b2
答案：C.
4.一个圆的半径长为r(r>2)cm，减少2 cm后，这个圆的面积减少了多少？
解：πr2 - π(r-2)2
=πr2 -π(r2 -4r+4)
=πr2 -πr2 +4πr-4π
=4π(r-1) cm²
答：这个圆的面积减少了4π(r-1) cm² .
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
算式
与公式中x对应的项
与公式中y对应的项
计算结果
（2a+b)2
2a
b
4a2+4ab+b2
（5a-4b)2
5a
4b
25a2-40ab+16b2
( eq \f(1,3)a-0.3b)2
eq \f(1,3)a
0.3b
eq \f(1,9)a2-0.2ab+0.09b2