青岛版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第1课时教案

这是一份青岛版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第1课时教案，共15页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第1课时 平方差公式

一、教材分析
平方差公式这一内容是在学生学习了整式乘法的基础上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用.可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数学的再创造性，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容
二、学情分析
学生已经掌握了整式的乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号及漏项等问题，学生学习平方差公式的困难在于，对公式的结构特征的理解.本节课关注学生对公式的探索过程，有意识地培养学生的推理能力，让学生经历“引入—形式—理解—应用—深化”的过程，并有条理地表达自己的思想，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用
三、教学目标
1.理解平方差公式的意义，能利用多项式与多项式的乘法法则推导平方差公式
2.能熟练运用平方差公式进行计算，并能在解题过程中增强符号感和提高推理能力.
3.能利用平方差公式解决一些简单的实际问题，提高数学的应用意识与应用能力.
4.让学生在合作探究中建立平方差公式，准确应用公式，培养学生的建模思想和抽象思维能力，感受换元和化归思想，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣

四、教学重难点
重点：平方差公式的推导及应用.
难点：对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用

五、教学过程
情境导入
某中学计划对一个边长为xm的正方形花坛进行改造(如图所示).如果改造成长为(x+2)m、宽为(x-2)m的长方形花坛,改造前后花坛的面积相等吗?
一起来探究吧！
设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力.
复习回顾．
如何计算多项式乘多项式？
设计意图：回顾旧知，通过复习多项式与多项式的乘法运算方法，为后边平方差公式的得出做好铺垫.
一起探究
活动一：探索平方差公式
在进行多项式与多项式相乘时,往往会遇到一些特殊形式的多项式相乘,其结果也很特殊.
由多项式的乘法,得
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
两个二项式相乘,运算结果一般应有四项.如果两个特殊形式的多项式(a+b)与(a−b)相乘,那么运算结果是否也是特殊形式的多项式呢?
思考与交流：计算下列算式
(1) (x+1) (x−1)
(2)(a+2)(a−2)
(3) (m+3)(m−3)
(4) (2x+1)(2x−1)
师生活动：四名学生板演，其他人独立完成计算.教师在学生正确解答之后继续提出问题：在上面四个式子中,两个因式之间有怎样的特征？学生认真思考，合作交流，尝试用自己的语言叙述发现.
等号前：都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘
等号后：都是等于这两个数的平方差
设计意图：学生利用已有的知识，通过计算，发现从特殊到一般的规律，鼓励学生大胆发表自己的见解.
活动二：证明平方差公式
师生活动：教师提出问题：对于一般情况,上述关系依然成立吗？学生认真思考，合作交流后尝试证明.
若a,b是有理数,利用多项式的乘法计算:
(a+b)(a−b)
=a2+ab−ab−b2
=a2−b2.
由上述计算发现,两个数的和与这两个数的差的积,可以直接写成这两个数平方的差.
师生共同归纳平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差.
用字母表示为:(a+b)(a−b)=a2−b2.
设计意图：让学生经历概念的形成过程,培养自主学习、合作交流的能力.通过自己证明,让学生更深入的理解,培养学生严谨的学习态度.
活动三：平方差公式的几何解释
思考：当a,b均表示正数且a>b时,你能利用图中的面积关系解释平方差公式吗？
(a+b)(a−b) = a2−b2
师生活动：学生积极思考，先独立完成再小组讨论，汇报结果，教师点评
设计意图:由学生自己在计算操作的基础上，在教师的引导下，学生通过面积的计算，进一步验证上面的规律，使学生真正经历这一过程，以促进学生的观察能力和归纳概括能力的发展.
活动四：公式的深化理解
按要求填写下面的表格:
设计意图:通过简单的运算，强调平方差公式的形式,在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果.
应用举例
例1 利用平方差公式计算:
(1)(2x+5)(2x−5); (2)(7m−2n)(7m+2n); (3)(3x−14)(−3x−14) .
分析：在(1)中,可以把2x看成a,5看成b,即
(1)(2x+5)(2x−5)＝(2x)2−52.

(a+b) (a−b) ＝a2− b2.
解：(1)(2x+5)(2x−5)=(2x)2−52=4x2−25.
(2)(7m−2n)(7m+2n)＝(7m)2−(2n)2=49m2−4n2.
(3)(3x−14)(−3x−14)=(−14+3x)(−14−3x)=(−14)2−(3x)2=116−9x2
方法总结：
平方差公式的运用：
①看，看是否可以用公式
②找，找相同项和相反项
③套，套用公式
师生活动：学生思考后独立完成例题，3名学生板演，由学生判断板演是否正确．教师统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励，小组加分．
设计意图：通过例1，让学生加深对平方差公式的理解，正确掌握平方差公式的运用方法.
例2. 利用平方差公式计算103×97.
解:103×97
＝(100+3)×(100−3)
＝1002−32
＝9991
方法总结：平方差公式中的a与b可以是单项式，也可以是多项式，还可以是具体的数，运用公式做题时关键分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，不能混淆.
师生活动：学生先独立思考再合作交流之后作答.
设计意图：借助此题让学生进一步体会平方差公式中a，b的含义，它们可以是数，也可以是整式.
课堂练习
1.利用平方差公式计算:
(1)(x+6)(x−6); (2)(−1+x)(−1−x);
(3)(a−2b)(2b+a); (4)(2x3−4)(−4−2x3).
解：(1)(x+6)(x−6)=x2−62=x2−36；
(2)(−1+x)(−1−x)=(−1)2−x2=1−x2；
(3)(a−2b)(2b+a)=a2−(2b)2=a2−4b2；
(4)(2x3−4)(−4−2x3)=(−4+2x3)(−4−2x3)=(−4)2−(2x3)2=16−49x2.
2.利用平方差公式计算：202×198.
解：(1)202×198
=(200+2)×(200-2)
=2002−22.
=39996.
3.先化简,再求值.
(2x−y)(2x+y)−(2y−x)(x+2y) .其中,x=2,y=-1.
解： (2x−y)(2x+y)−(2y−x)(x+2y)
=(2x)2−y2−[(2y)2−x2]
=4x2−y2−4y2+x2
=5x2−5y2
当x=2,y=−1时，原式=5×22−5×(−1)2=15.
4.现在你能解决“情境”中的问题了吗？
某中学计划对一个边长为xm的正方形花坛进行改造(如图所示).如果改造成长为(x+2)m、宽为(x-2)m的长方形花坛,改造前后花坛的面积相等吗?
解：(x+2)(x−2)=x2−22=x2−4