青岛版（2024）七年级下册（2024）整式的乘法第3课时教案

这是一份青岛版（2024）七年级下册（2024）整式的乘法第3课时教案，共15页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第3课时 多项式乘多项式

一、教材分析
《多项式乘多项式》是青岛版初中数学七年级下册第十章第二节《整式的乘法》第3课时的内容．学生已学习单项式乘单项式、单项式乘多项式，这些知识为学习多项式乘多项式奠定了基础．多项式乘多项式不仅是整式乘法的重要组成部分，也是后续学习因式分解、分式运算以及方程求解的关键知识．从知识体系上看，它是对乘法分配律的进一步拓展与应用，体现了数学知识的连贯性与逻辑性；从数学思想方法层面，蕴含着转化思想，将复杂的多项式乘多项式问题转化为熟悉的单项式乘多项式、单项式乘单项式问题，有助于培养学生的数学思维能力，提升学生解决复杂数学问题的能力，在初中数学知识架构中占据承上启下的重要地位．

二、学情分析
学生已经学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式，对乘法运算和乘法分配律有了一定的理解与运用能力，具备了一定的运算基础和知识储备．在学习过程中，学生积累了从特殊到一般、类比等数学学习方法，这为探究多项式乘多项式法则提供了方法支持．然而，多项式乘多项式涉及多项相乘再合并同类项，运算过程较为复杂，学生可能在确定积中各项符号、避免漏乘重乘以及准确合并同类项等方面出现问题．同时，部分学生在将实际问题转化为数学模型、运用多项式乘多项式知识解决实际问题时，可能存在困难，需要教师在教学中加强引导与训练．
三、教学目标
1．多项式与多项式的乘法法则的应用，能够灵活地进行多项式与多项式相乘的运算．
2．多项式与多项式的乘法法则的实际应用，培养学生的应用意识．
3．在探索多项式与多项式相乘法则应用的过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的创新意识．

四、教学重难点
重点：理解和运用多项式与多项式相乘的法则．
难点：探索多项式与多项式相乘的乘法法则，体会转化思想在整式乘法的应用．

五、教学过程
复习回顾
1．如何进行单项式与多项式乘法的运算？
①将单项式分别乘多项式的各项．
②再把所得的积相加．
2．进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么？
①不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的每一项．
②去括号时注意符号的确定．
观察与发现：
如何用字母a，b，c，d表示章引言中整幅“横披”的面积？
S=(a+2d)(b+2c)．
还有其他的表示方法吗？(请与你的同伴交流)
还可以有很多种列法，如S=b∙(a+2d)+2c∙(a+2d)或S=ab+2bd+2ac+4cd．
因为它们表示的是同一幅“横披”的面积，所以它们都是相等的．
1．由此得到，(a+2d)(b+2c)=b∙(a+2d)+2c∙(a+2d)=ab+2bd+2ac+4cd．
等式(a+2d)(b+2c)=ab+2bd+2ac+4cd的左边表示多项式a+2d与多项式b+2c相乘．
问题：计算单项式乘多项式是通过转化为单项式乘单项式来解决的，那么如何计算多项式乘多项式呢？
师生活动：引导学生回顾单项式与多项式乘法的运算方法及注意事项，学生思考后回答，教师进行点评和总结．接着，教师展示章引言中“横披”面积问题，引导学生用不同方法表示面积，组织学生与同伴交流讨论．
设计意图：通过复习旧知，巩固学生已有的知识，为学习新知识做好铺垫．以“横披”面积问题引入新课，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系，同时培养学生从不同角度思考问题、用数学知识解决实际问题的能力．
探究新知
活动一：探究多项式与多项式相乘
2．如何计算(a+2d)(b+2c)？
(a+2d)(b+2c)
=(a+2d)∙b+(a+2d)∙2c
=ab+2bd+2ac+4cd
3．多项式乘多项式的基本思路是什么？
多项式的乘法可以先转化成单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式．

活动二：探究多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
注意： （1）必须做到不重复，不遗漏；
（2）注意确定积中每一项的符号；
（3）结果应化为最简式(合并同类项)．
师生活动：在探究多项式与多项式相乘计算方法时，教师引导学生思考如何将(a + 2d)(b + 2c)转化为已学的运算，学生尝试回答，教师逐步引导学生得出先转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式的思路，并板书计算过程．在探究法则时，教师让学生观察计算过程，组织学生小组讨论多项式乘多项式的一般法则，每个小组推选代表发言，教师总结归纳法则，并强调注意事项．
设计意图：让学生经历探究过程，培养学生的自主探究能力、合作交流能力和归纳总结能力．通过小组讨论，增强学生的团队协作意识，让学生在交流中深化对知识的理解．强调法则的注意事项，有助于学生在后续运算中减少错误，准确运用法则进行计算．
应用新知
例1．计算
（1）(x−2)(x+1) ； （2）(13a−2)(3a−2)．
解:（1）(x−2)(x+1)=x2+x−2x−2=x2−x−2 ．
（2）(13a−2)(3a−2)=a2−23a−6a+4=a2−203a+4．
例2．计算：
（1）(x+2)(x−5)； （2）(3x−y)∙(x+2y)； （3）(a+b)(a2−ab+b2)．
分析：利用乘法分配率逐步展开，按照单项式乘单项式计算．
（1）(x+2)(x−5)=x∙x+x∙(−5)+2∙x+2×(−5)=x2−5x+2x−10=x2−3x−10．
（2）(3x−y)∙(x+2y)=3x∙x+3x∙2y+(−y)∙x+(−y)∙2y=3x2+6xy−xy−2y2=3x2+5xy−2y2．
（3）(a+b)(a2−ab+b2)=a∙a2+a∙(−ab)+a∙b2+b∙a2+b∙(−ab)+b∙b2=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3=a3+b3．
例3．先化简，再求值:(x+2)(x−3)−x(x+1)，其中x=−2．
分析：先化简已知式子，再代入数值计算．
解：(x+2)(x−3)−x(x+1)=x2−3x+2x−6−x2−x=−2x−6．
当x=−2时，
原式=−2×(−2)−6=4−6=−2．
师生活动：讲解例题时，教师引导学生分析题目，确定运算步骤，学生在练习本上尝试计算，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并给予纠正．对于较难的例题，教师详细板书计算过程，强调运算顺序和符号确定方法．完成例题后，教师让学生进行课堂练习，学生独立完成后，同桌之间互相批改，教师对学生的练习情况进行点评．
设计意图：通过例题，让学生巩固多项式乘多项式的法则，提高学生的运算能力．教师巡视指导和点评，能够及时发现学生的问题，进行针对性辅导，帮助学生掌握知识．同桌互相批改练习，培养学生的自我检查和评价能力，增强学生的学习责任感．
课堂练习
1．计算：
（1）(a−4)(a−5)； （2）(y−3)(2y+1)；
（3）(2m+3n)(3m−n)； （4）(x−2)(x2+2x+12)．
解：（1）(a−4)(a−5)=a∙a+a∙(−5)+(−4)∙a+(−4)×(−5)=a2−5a−4a+20=a2−9a+20．
（2）(y−3)(2y+1)=y∙2y+y∙1+(−3)∙2y+(−3)×1=2y2+y−6y−3=2y2−5y−3．
（3）(2m+3n)(3m−n)=2m∙3m+2m∙(−n)+3n∙3m+3n∙(−n)=6m2−2mn+9mn−3n2=6m2+7mn−3n2；
（4）(x−2)(x2+2x+1/2)=x∙x2+x∙2x+x∙12+(−2)∙x2+(−2)∙2x+(−2)×12=x3+2x2+12x−2x2−4x−1=x3−72x−1．
小结：转化为单项式乘多项式的乘法，最后转化为单项式乘单项式．
2．一块长方形装裱用纸的长和宽分别为acm，bcm(a>2，b>2)．如果将长和宽各裁去2cm，请问剩余部分的面积是多少？
分析：先得出裁去2cm后的长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式列式计算即可．
解：(a−2)(b−2)=a∙b+a∙(−2)+(−2)∙b+(−2)×(−2)=ab−2a−2b+4．
答：剩余部分的面积是ab−2a−2b+4．
3．多项式x2−2x−3与mx+2的乘积化简后x2项的系数是4，求m 的值．
分析：将两个多项式相乘，然后找到x2项的系数，并根据题目给出的条件建立方程，最后解出m的值．
解：(x2−2x−3)(mx+2)=mx3+2x2−2mx2−4x−3mx−6=mx3+(2−2m)x2−(4+3m)x−6．
因为多项式多项式x2−2x−3mx+2的乘积化简后x2项的系数是4．
所以2−2m=4． 解得：m=−1．
师生活动：学生完成课堂练习时，教师在教室巡视，观察学生的解题情况，对有困难的学生进行个别指导．练习结束后，教师选取部分学生的练习进行展示，让其他学生进行评价，教师再进行总结评价．对于练习中的实际问题和拓展问题，教师引导学生分析题意，找出解决问题的关键，组织学生进行小组讨论，共同解决问题．
设计意图：通过课堂练习，进一步巩固学生对多项式乘多项式法则的应用能力，提高学生解决实际问题和拓展性问题的能力．学生展示和评价，能够增强学生的学习自信心，培养学生的批判性思维。小组讨论解决问题，培养学生的合作探究能力和创新思维．
课堂检测
1．计算：
（1）(a−1)(a−2)−a(a−5)； （2）3x(x+2)−(x+1)(3x−4) .
解：（1）(a−1)(a−2)−a(a−5)=a2−2a−a+2−a2+5a=2a+2．
（2）3x(x+2)−(x+1)(3x−4)=3x2+6x−(3x2−4x+3x−4)=3x2+6x−3x2+4x−3x+4=7x+4.
利用乘法分配律可将多项式与多项式相乘转化为单项式的乘法．
2．先化简，再求值：(a+1)(a−1)+a(1−a)．其中，a=2024．
解：(a+1)(a−1)+a(1−a)
=a2−a+a−1+a−a2
=a−1．
当a=2024时，原式=2024−1=2023．
3．解方程：6x(x−2)−(x−2)(3x−1)=3x2−8．
分析：利用乘法公式展开各项，再合并同类项，最后解一元一次方程．
解：6x(x−2)−(x−2)(3x−1)=3x2−8
左边去括号，得6x2−12x−3x2+x+6x−2=3x2−8
合并同类项，得−5x=−6
解得x=65．
4．有A，B两个长方体，A长方体的长、宽、高分别是x(cm)，y(cm)，z(cm)，B长方体的长、宽、高分别比A长方体的长、宽、高大1cm，那么B长方体的体积比A长方体的体积大多少立方厘米？
分析：先分别计算出A和B两个长方体的体积，然后求出它们体积的差值．
解：A长方体的体积为：xyz(cm3)，
B长方体的体积为：(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1(cm3)，
那么B长方体的体积比A长方体的体积大：xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1−xyz=xy+yz+xz+x+y+z+1(cm3)．
答：B长方体的体积比A长方体的体积大xy+yz+xz+x+y+z+1立方厘米．
师生活动：教师发放课堂检测试卷，学生独立完成，教师控制时间．检测结束后，教师收取试卷，进行批改和分析．在后续课堂上，教师针对学生的检测情况进行反馈，对学生普遍存在的问题进行重点讲解，让学生进行错题订正．
设计意图：课堂检测能够及时了解学生对本节课知识的掌握情况，发现学生的学习漏洞，为教师调整教学策略提供依据．教师反馈和学生订正错题，有助于学生查缺补漏，强化对知识的理解和掌握，提高学习效果．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．多项式与多项式相乘的运算法则？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识要点，加深对重点内容的理解和记忆，培养学生的归纳总结能力和反思意识．让学生分享学习体会，能够促进学生之间的交流，让学生从他人的经验中学习，提高学生的学习能力，学会自主学习．

六、板书设计
10.2第3课时 多项式乘多项式
运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
注意事项：
（1）必须做到不重复，不遗漏；
（2）注意确定积中每一项的符号；
（3）结果应化为最简式(合并同类项)．
例1 例2 例3