初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第1课时教案

这是一份初中数学湘教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第1课时教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
第1课时 平方差公式
一、教学目标
1.能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算.
2.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括等能力.
3.在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从具体到抽象地研究问题的方法.
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
二、教学重难点
重点：掌握平方差公式的推导过程，并能正确运用公式进行计算.
难点：理解平方差公式的结构特征，能灵活运用公式.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件.
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
问题：多项式与多项式是如何相乘的？
预设答案：
多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则：
先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
教师活动：引导学生回顾多项式乘以多项式的计算法则，待学生回答后，教师可举两个简单的例子，让学生一起计算.
如：(a+b) (m+n)= am+an+bm+bn
(x+3) (x+5)=x2+8x+15.
设计意图：通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备.
环节二 探究新知
【探究】
教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出平方差公式.
问题1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
(1) (x+2)(x2) = = ；
(2) (1+3a)(13a) = = ；
(3) (x+5y)(x5y) = = ；
(4) (2y+z)(2yz) = = .
预设答案：
(1) (x+2)(x2) =x22x+2x4= x24；
(2) (1+3a)(13a) =13a+3a9a2=19a2；
(3) (x+5y)(x5y) =x25xy+5xy25y2= x225y2；
(4) (2y+z)(2yz) =4y22yz+2yzz2=4y2z2.
设计意图：让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性.
观察上面的等式，你能发现什么规律？
追问1：下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
(1) (x+2)(x2) = x24；
(2) (1+3a)(13a) =19a2；
(3) (x+5y)(x5y) = x225y2；
(4) (2y+z)(2yz) =4y2z2.
预设答案：均为相同的两个数的和、两个数的差的形式.
追问2：相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？
预设答案：两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差.
【说一说】
根据发现的规律，说一说，多项式x+y与x-y相乘，其积为多少?
预设答案：(x+y)(x-y) =x²-xy+xy-y²=x²-y²
设计意图：利用发现等式的规律，进行探究，培养学生的解决问题的能力.
由此可得到平方差公式:
(x+y)(x-y) =x²-y²
即多项式x+y与x-y的乘积，等于多项式x²-y².
【归纳】
将平方差公式中的x用a代入，y用b代入:
平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
设计意图：通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法.
【做一做】
下列式子是否能用平方差公式计算，如果能，请计算出结果.
(1) (x−3y)(x+3y)
(2) (a−2b)(2b−a)
(3) (2ab)(b+2a)
(4) (a+2)(2−a)
预设答案：(1) 能，(x−3y)(x+3y)= x2(3y)2= x29y2；
(2) (a−2b)(2b−a)=−(a−2b) (a−2b)，不能，不存在相反的项；
(3) (2ab)(b+2a)= (2ab)(2ab)，不能，不存在相反的项；
(4) 能，(a+2)(2−a)=(2+a)(2−a)=22a2= 4a2.
【归纳】

平方差公式的特征：
(1)等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.
(2)等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
(3)公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
设计意图：通过归纳平方差公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力.
【思考】
你能在几何背景下解析平方差公式:(a+ b)(a- b)=a2-b2吗？
如左图 ，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则 剩余部分的面积为a2-b2.
如右图，将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个所示的长方形，则这个长方形的长为a+b，宽为a-b，于是，面积为(a+b)(a-b).
所以(a+b)(a-b)= a2 -b2.
设计意图：学生裁剪、拼接，教师演示，学生根据裁剪、拼接采用两种方法计算剩余部分的面积，从而得出平方差公式，达到“数形结合”，加深学生对平方差公式的理解.
环节三 应用新知
【典型例题】
例1 计算：
（1）( 2x + 1 )( 2x - 1 )；
（2）(x + 2y)(x - 2y).
解：(1)( 2x + 1 )( 2x - 1 ) =（2x）2-12=4x2-1
（2）(x + 2y)(x - 2y)=x2-(2y)2=x2-4y2
例2 运用平方差公式计算：
(-2x- eq \f(1,2)y)(-2x + eq \f(1,2)y)
解：(-2x- eq \f(1,2)y)(-2x + eq \f(1,2)y) =(-2x)2-( eq \f(1,2)y)2=4x2- eq \f(1,4)y2
例3 运用平方差公式计算：
（4a + b)(-b + 4a）
解：（4a + b)(-b + 4a）=（4a + b)( 4a-b）=（4a)2- b2=16a2-b2
例4 计算：1 002 × 998.
分析：1002×998=(1000+2)(1000-2)
解：原式=（1000+2)( 1000-2）
=10002-22
=1000000-4
=999996
小结：运用平方差公式可以简化一些运算.
设计意图：让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，培养学生的应用意识.
环节四 课堂练习
1. 运用平方差公式计算：
（1）（3x + y)(3x - y）； （2）( eq \f(1,2)m - n )( eq \f(1,2)m +n)；
（3）(-1 + 5x)(-1 - 5x）； （4）(-4a - b)(4a - b).
解：（1）原式=（3x)2-y2=9x2-y2
（2）原式=（ eq \f(1,2)m)2-n2=14m2-n2
（3）原式=（-1)2-(5x)2=1-25x2
（4）原式=（-b)2-(4a)2=b2-16a2
2.计算：
（1） 202 × 198； （2） 49.8 × 50.2
解：（1）原式=（200+2)×(200-2)=2002-22=40000-4=39996
（2）原式=（50-0.2)×(50-0.2)=502-0.22=2500-0.04=2499.96
3. 计算：(a12b)(a+12b)(3a2b)(3a+2b).
解：(a12b)(a+12b)(3a2b)(3a+2b)
=a2(12b)2(3a)2+(2b)2
=a214b29a2+4b2
=8a2+154b2.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.