高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式精品教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式精品教案，共8页。教案主要包含了讲授新课，例题讲解，课堂小结，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

课题名
7.1.1 条件概率
教学目标
结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率.
结合古典概型，了解条件概率与事件的独立性的关系.
结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
教学重点
条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用.
教学难点
对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较.
教学准备
教师准备：幻灯片、黑板、投影
学生准备：笔、纸、课本
教学过程
新课引入
在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题．当事件A与B相互独立时，有
．
如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手．
二、讲授新课
问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示．
单位：人 表7.1-1
团员
非团员
合计
男生
16
9
25
女生
14
6
20
合计
30
15
45
在班级里随机选择一人做代表．
（1）选到男生的概率是多少？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?
随机选择一人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点．用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表7.1-1中的数据可以得出，，，．
（1）根据古典概型知识可知，选到男生的概率
．
（2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数．根据古典概型知识可知，
．
问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间，且所有样本点是等可能的．用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则
，．
（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
．
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为．此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB．根据古典概型知识可知，
．
在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是
．
这个结论对于一般的古典概型仍然成立．事实上，如图7.1-1所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间．此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即
．
因为
，
所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过来计算．
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率(cnditinal prbability)．
探究：在问题1和问题2中，都有．一般地，与不一定相等．如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件?
因此，当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有．
思考：对于任意两个事件A与B，如果已知与，如何计算呢?
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则
．
我们称上式为概率的乘法公式(multiplicatin frmula)．
三、例题讲解
例 1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”．
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB．从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即
．
因为，所以
．
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，显然．利用条件概率公式，得
．
解法2：在缩小的样本空间A上求．已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道．因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
．
又，利用乘法公式可得
．
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?
解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，．
；；．
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关．
事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关．
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（解：（1）设“第次按对密码”，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
．
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
．
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为．
（2）设“最后1位密码为偶数”，则
．
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为．
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率．
四、课堂小结
(1)条件概率：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(nAB,nA).
(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)．
(3)条件概率的性质．
五、当堂检测
1．设，且，．根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出和的值，再由条件概率公式进行验证．
1．【解析】，．
验证：，，，
由条件概率公式得，．
2．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回．已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率．
2．【解析】设“第1次抽到A”为事件B，“第2次抽到A”为事件C，则“第1次和第2次都抽到A”为事件BC．
（方法一）在第1次抽到A的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A，所以在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为．
（方法二）在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为．
（方法三）在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为．
3．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求：
（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；
（2）两次都摸到白球的概率．
3．【解析】（1）第1次摸到白球后，袋中剩余9个小球，6白3黑，故第2次摸到白球的概率为．
（2）从袋中任摸两次球，方法数为，两次都摸到白球的方法数为，所以两次都摸到白球的概率为．
布置作业
教科书第48页练习1，2题
板书设计
(1)条件概率：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(nAB,nA).
(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)．
(3)条件概率的性质．
教学反思