人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式教案设计
展开《7.1.1条件概率》 教学设计
-------葛爱菊
(一)教学内容
本节课主要学习条件概率的概念与求法
(二)教材分析
1. 教材来源 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》,第七章《随机变量及其分布列》的第一节.
2. 地位与作用
本节课一方面,是对古典概型计算方法的巩固,另一方面,为后续研究独立事件打下良好基础。在本节的教学中,应特别注意对于条件概率概念的生成,借助图示形象直观地展现条件概率概念的生成过程。
(三)学情分析
1.认知基础:学生已经学习了有关概率的一些基础知识,对一些简单的概率模型(如古典概型、几何概型)已经有所了解。条件概率是学生接触到的又一个全新的概率模型。
2.认知障碍: 条件概率这一概念比较抽象,学生较难理解。遇到具体问题时,学生常因分不清是P(B|A)还是P(AB)而导致出错。
(四)教学目标
1. 知识目标:
①通过实例,了解条件概率的概念;
②掌握求条件概率的两种方法;
③能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题;
④通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.
2.能力目标:引导学生有目的的观察、归纳、类比、猜想等.
3.素养目标:
①数学抽象:条件概率的概念
②逻辑推理:条件概率公式的推导
③数学运算:运用条件概率公式计算概率
④数学建模:将相关问题转化为条件概率.
(五)教学重难点:
1. 重点:运用条件概率的公式解决简单的问题
- 难点:条件概率的概念
(六)教学思路与方法
教学过程分为问题自学展示提炼要点、探索巩固、应用知识阶段
(七)课前准备
多媒体 导学案
(八)教学过程
教学环节:新课引入 | ||||||||||||||||||
教学内容 | 师生活动 | 设计意图 | ||||||||||||||||
一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没有.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取. 后抽比先抽的吃亏吗?学完本节课,我们就可以找到答案了! |
| 情景导学,激发学生的学习兴趣
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教学环节:自学新教材,提炼知识要点 | ||||||||||||||||||
教学内容 | 师生活动 | 设计意图 | ||||||||||||||||
一、知识要点 1.条件概率 (1)一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率. (2)由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= .我们称上式为概率的乘法公式. 2.条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则 (1)P(Ω|A)= ; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= ; (3)设和B互为对立事件,则P(|A)= . 二、知识点的精准理解和深化 问题1 . 某个班级有45名学生,其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示, 在班级里随机选一人做代表, (1)选到男生的概率是多大? (2)如果已知选到的是团员,那么选到的是男生的概率是多大?
问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭,随机选一个家庭,那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大? (2)如果已经知道这个家庭有女孩,那么两个小孩都是女孩的概率又是多大?
三、概念的深化与总结 思考:求P(B|A)的一般思想 因为已经知道事件A 必然发生,所以只需在A 发生的范围内考虑问题,即现在的样本空间为A.因为在事件A发生的情况下事件B 发生,等价于事件A 和事件 B 同时发生,即AB发生.所以事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率 P(B|A) 为了把这个式子推广到一般情形,不妨记原来的样本空间为W,则有 P(B|A) 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A), 而且P(B|A)=.
| 提问学生自学看教材的知识要点,从中发现学生理解的薄弱点
学生回答并分析,教师补充完善: 随机选择一人作代表,则样本空间?包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”, B表示事件“选到男生” ,根据表中的数据可以得出 (1)根据古典概型知识可知选到男生的概率P(B) (2)“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生” 的概率,记为P(B|A).此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率,而在新的样本空间中事件B就是积事件AB,包含了样本点数根据古典概型知识可知:P(B|A)
引发学生思考积极参与互动,说出自己见解,教师完善: 观察两个小孩的性别,用b表示男孩,g表示女孩,则样本空间且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩” ,B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ,A B. (1) 根据古典概型知识可知,该家庭中两个小孩都是女孩的概率 P(B) (2)“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下,事件B发生” 的概率,记为P(B|A) ,此时A成为样本空间,事件B就是积事件AB,根据古典概型知识可知 P(B|A)
| 因材施教,根据学生预习的结果,引导下一步教学
发挥学生的主观能动性,暴露学生思维,教师精准指导 从而建立条件概率的概念,发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。
加深学生对条件概率概念的理解和乘法公式的运用,发展学生逻辑推理,数学抽象和数学运算的核心素
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教学环节:例题剖析 | ||||||||||||||||||
教学内容 | 师生活动 | 设计意图 | ||||||||||||||||
例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率; (2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率. 解法1:设A=“第1次抽到代数题”,B=“第2次抽到几何题”。 (1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道,试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点,即。因为n(AB)= P(AB) (2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下,事件B发生的概率。显然P(A)=.利用条件概率公式,得P(B|A) 解法2:在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题,这时还余下4道试题,其中代数题和几何题各2道.因此,事件A发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A)=又P(A)= ,利用乘法公式可得P(AB)=P(A) P(B|A)= = 例2:已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?
例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了码的最后1位数字.求: (1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率。
【变式训练】一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率. 解:方法一(定义法) 设Ai={第i只是好的}(i=1,2).由题意知要求出P(A2|A1).因为P(A1)=,P(A1A2)=, 所以P(A2|A1)=. 方法二(直接法) 因为事件A1已发生(已知),故我们只研究事件A2发生便可,在A1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=. | 师生共同分析后学生计算,教师展示解答,纠正学生中不规范的问题,总结一般方法: 如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件,那么问题(1)就是积事件的概率,问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率,再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率,再用乘法公式求积事件的概率.
方法总结:求条件概率有两种方法: 方法一:基于样本空间Ω,先计算P(A)和P(AB),再利用条件概率公式求P(B|A); 方法二:根据条件概率的直观意义,增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率。
:用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则B=. 因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。 3.解:(1)设Ai=“第i次按对密码”(i=1,2),则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1UA2. 事件A1与事件A2互斥,由概率的加法公式及乘法公式,得P(A)=P(A1)+P( A2 )= P(A1) +P ) P( A2 | ) = 因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为. (2)设B=“最后1位密码为偶数”,则 P(A|B)=P(A1|B)+P(A2|B)== ; 因此,如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率为.
找学生去黑板上写,其余学生独立解答在练习本上 |
通过典例剖析,让学生体会求条件概率的一般方法,感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 | ||||||||||||||||
教学环节:课堂检测 | ||||||||||||||||||
1.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) A.P(A|B)=P(B|A) B.P(B|A)>1 C.P(A∩B)=P(A)·P(B|A) D.P((A∩B)|A)=P(B) 3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为 . 4.某气象台统计,该地区下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A). 5*.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产品.试求: (1)第一次取到不合格品的概率; (2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率. 6**.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少答对其中的4道题即可通过;若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
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发一张小卷子,当堂10分钟测验,交上来批改,其中1-4必做,5和6根据具体学生接受情况和课堂时间选做 1.解析:P(B|A)=. 答案:A 2.解析:由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)·P(B|A). 答案:C 3.解析:由题意知,P(A∩B)=,P(B|A)=.由P(B|A)=,得P(A)=. 答案: 4.解:由题意知P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=. 5. 分析:由题意可知,100件产品中共有5件不合格品,不合格率为 .在第一次取到不合格品的条件下,第二次又取到不合格品的概率为条件概率. 解:设第一次取到不合格品为事件A,第二次取到不合格品为事件B,则有: (1)P(A)==0.05. (2)方法一:第一次取到一件不合格品,还剩下99件产品,其中有4件不合格品,95件合格品,于是第二次又取到不合格品的概率为,由于这是一个条件概率,所以P(B|A)=. 方法二:根据条件概率的定义,先求出事件A,B同时发生的概率P(AB)=, 所以P(B|A)=. 6. 解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) =,P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D) =,即所求概率为. | 通过课堂检测的批改和反馈,了解到学生理解的程度,为下一节精准施教打下基础.
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教学环节:小结思考 布置作业 | ||||||||||||||||||
小结: | 作业:
| 通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力和自学能力. | ||||||||||||||||
教学环节:板书设计 | ||||||||||||||||||
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高中人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式教案: 这是一份高中人教A版 (2019)第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式教案,共12页。教案主要包含了本节内容分析,学情整体分析,教学活动准备,教学活动设计等内容,欢迎下载使用。
人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式教案设计: 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式教案设计,共14页。教案主要包含了本节内容分析,学情整体分析,教学活动准备,教学活动设计等内容,欢迎下载使用。
数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式教案设计: 这是一份数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式教案设计,共9页。教案主要包含了典例解析,小结,课时练等内容,欢迎下载使用。