人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式测试题

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1．条件概率
（1）概念：一般地，当事件B发生的概率 时（即），已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作，而且 .
（2）两个公式：①利用古典概型： ；②概率的乘法公式： .
2．条件概率的性质
（1）设，则 ．
（2）如果B和C是两个互斥事件，那么 ．
（3）设和B互为对立事件，则 ．
（4）．
3．事件的独立性
（1）事件A与B相互独立的充要条件是 ．
（2）当时，A与B独立的充要条件是 ．
4．全概率公式
若样本空间中的事件满足：
（1）任意两个事件均 ，即，．
（2） ．
（3）．则对任意事件，都有 ，则称该公式为 ．上述公式可借助图形来理解：
5．贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有 ＝ ，．
自检自纠：
1．（1）大于0 （2） ，， 2．（1）1 （2）（3）
3. （1）（2） 4. （1）互斥（1）（3） ，全概率公式
5. ，
二、分层小练：
A.基础训练
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知表示在事件发生的条件下事件发生的概率，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据条件概率定义，所以D正确.故选：D.
2．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，可得.故选：C.
3．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.48B．0.6C．0.75D．0.8
【答案】C
【详解】一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选C．
4．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】记事件“用满小时不坏”，，记事件“用满小时不坏，，，则.故答案选
5．某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48B．0.52C．0.56D．0.65
【答案】B
【详解】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，依题意，，，，，由全概率公式得，.故选：B
6．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】男生甲被选中记作事件，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件，则，，由条件概率公式可得：，故选：D.
7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意知，因为，，所以．故选：D．
8．在某一季节，疾病的发病率为2%，患者中40%表现出症状；疾病的发病率为5%，患者中18%表现出症状；疾病的发病率为0.5%，患者中60%表现出症状．则以下结论中错误的是（ ）
A．任意一位患者有症状的概率为0.02B．患者有症状时患疾病的概率为0.4
C．患者有症状时患疾病的概率为0.45 D．患者有症状时患疾病的概率为0.25
【答案】D
【详解】由题意可知：，，，，，.由全概率公式可知：，因此选项A正确；
由贝叶斯公式可知：
，因此选项B正确；
，因此选项C正确；
，因此选项D不正确，
故选：D
二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分）
9．设为同一随机试验中的两个随机事件，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则相互对立
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【详解】由得：，又，则，对于选项A，由可知，，即，又，所以相互对立，故A正确；对于选项B，由可知，所以，故B错误；对于选项C，由，得，故C正确；对于选项D，由，得，则，故D错误.故选：AC
10．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】,故A正确；，故B正确；，故C正确；，，，故D错误.故选: ABC
11．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件 B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.故选：AB
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为 ．
【答案】
【详解】由条件概率可得所求概率为.故答案为：.
13．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ．
【答案】
【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，则，..故答案为：
14．袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为 .
【答案】/
【详解】记事件为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件为“号球被取出”，则，，，即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为.故答案为：.
B.提升强化
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设为两个事件，已知，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由条件概率的计算公式，可得：.本题正确选项：
2．有10件产品，其中2件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，若已知一件为次品，则另一件也是次品的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设至少一件次品为事件，另一件为次品为事件，则（A），，
在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．故选：．
【点睛】本题考查条件概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】记，，因为，，
所以．故选：D.
4．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，则，，，，则由全概率公式得：，解得，故选：B．
5．一个袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个红色球，3个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（ ）
A．第一次摸到绿球的概率是B．第二次摸到绿球的概率是
C．两次都摸到绿球的概率是D．两次都摸到红球的概率是
【答案】C
【详解】对选项A，第一次摸到绿球的概率为：，故错误；
对选项B，第二次摸到绿球的概率为：，故错误；
对选项C，两次都摸到绿球的概率为：，故正确；
对选项D，两次都摸到红球的概率为：，故错误
故选：C
6．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（ ）
A．0.8175B．0.7175C．0.505D．0.4575
【答案】B
【详解】设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B：抽到优等品，则，，，，，，所以．故选：B
7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题；
设事件表示答对该题，则，设事件表示答对某个题，则，设事件表示将有思路的题目做对，则，故选：B
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立 ② ③ ④
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，，
而，①错误；，，所以，②正确；，③正确；
，④错误，综上：结论正确的个数为2.故选：C.
二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分）
9．已知分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则A，B独立
C．若A，B独立，则D．
【答案】ABD
【详解】A选项，根据随机事件的概率的知识可知，A选项正确.B选项，根据独立事件的知识可知，，则相互独立，B选项正确.C选项，若独立，则，C选项错误.D选项，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，表示在事件发生的情况下事件发生的概率，所以，所以D选项正确.故选：ABD
10．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（ ）
A．事件A与事件B不互斥B．事件A与事件B相互独立
C． D．
【答案】AD
【详解】事件可共同发生不互斥，A对．，，即不独立，BC错．，D对，故选：AD．
11．某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】根据题意易知，A错误；由独立事件的乘法公式可得，B正确；易知，C错误；由题可知，而,所以正确．故选：BD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知，，则 .
【答案】/
【详解】解：因为，，所以.故答案为：
13．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率 ， .
【答案】/0.5
【详解】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，所以，，因此.故答案为：；.
14．长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为 ．
【答案】
【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，
，．故答案为：．