人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课后测评

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目标素养
概念梳理
1．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)，则称此公式为全概率公式，P(Ai)称为先验概率，P(B|Ai)称为后验概率。
*2.贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有
P(Aieq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B）))＝eq \f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ai）)),P（B）)
＝，i＝1，2，…，n。
【概念辨析】
1. 全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋＋…＋P(An)P(B|An)。
2. 全概率公式的几何意义：如图，发生的概率与P(BAi)(i＝1,2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(BAi)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)。在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为在一系列条件下发生的概率的和。
正误辨析
3. 贝叶斯公式的实际意义是在事件B已经发生的条件下，贝叶斯公式可用来寻找导致B发生的各种“原因”Ai发生的概率。即贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少。
判断下列说法是是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)
1. P(A)＝P(B)P(A|B)＋P( eq \x\t(B) )P(A| eq \x\t(B) ).( √ )
【解析】正确，符合全概率公式．
2. 全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为 eq \i\su(i＝1,n,A) i＝Ω.( × )
【解析】错误，需满足的条件为AiAj＝∅， eq \i\su(i＝1,n,A) i＝Ω，且P(Ai)＞0.
3. 全概率公式P(B)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)中的事件B，只能是一个单一的事件.( × )
【解析】正确，事件B⊆Ω的任意事件.
初试身手
1. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( )
A.eq \f(2,75) B.eq \f(7,300)
C.eq \f(73,75) D.eq \f(973,1 000)
【解析】设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”。则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，所以P(B)＝eq \i\su(i＝1,2,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq \f(2,3)(1－0.03)＋eq \f(1,3)(1－0.02)＝eq \f(292,300)＝eq \f(73,75)。故选C。
2. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%。又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )
A．0.002B．0.04
C．0.013 D．0.003
【解析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂生产的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01。所以P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013。故选C。
3. 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________。
【解析】设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2。由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))×eq \f(4,10)＋eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))×eq \f(1,2)＋eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))×eq \f(6,10)＝eq \f(13,25)。
4. 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为________；
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________。
【解析】A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种病”。
(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%。
(2)P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.5%×95%,1.47%)＝eq \f(95,294)。
5. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率。
【解析】用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%。
题型讲解
探究（一）全概率公式的一般应用
【典例1】某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占eq \f(3,5)，乙班中女生占eq \f(1,3).求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
【解析】如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝eq \f(5,8)，P(A2)＝eq \f(3,8)，且P(B|A1)＝eq \f(3,5)，P(B|A2)＝eq \f(1,3).
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq \f(5,8)×eq \f(3,5)＋eq \f(3,8)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
【补充训练1】已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为( )
45 86
25 65
【解析】设A＝“此人恰是色盲”，B1＝“随机挑选一人为男人”，B2＝“随机挑选一人为女人”，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝eq \f(1,2)×0.05＋eq \f(1,2)×0.002 5＝0.026 25。故选C。
【补充训练2】一个盒子中有6只白球，4只黑球，不放回地每次任取1只，连取2次，则第二次取到白球的概率为________.
【解析】设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，
则B＝AB∪eq \(A,\s\up6(－))B，且AB与eq \(A,\s\up6(－))B互斥.所以P(B)＝P(AB)＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(6,10)×eq \f(5,9)＋eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝0.6.
【补充训练3】（多选）某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，下列说正确的是（ ）
A. 任取一箱，从中任取一个为废品的概率是
B. 任取一箱，从中任取一个为废品的概率是
C. 将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率是
D. 将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率是
【解析】记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，由题意，得P(A)＝eq \f(30,50)＝eq \f(3,5)，P(B)＝eq \f(20,50)＝eq \f(2,5)，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq \f(7,125)；P(A)＝eq \f(30×100,30×100＋20×120)＝eq \f(5,9)，P(B)＝eq \f(20×120,30×100＋20×120)＝eq \f(4,9)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq \f(5,9)×eq \f(6,100)＋eq \f(4,9)×eq \f(5,100)＝eq \f(1,18).故选AC。
【方法总结】
1．全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果。
2．多个原因导致同一个结果，求结果发生的概率就用全概率公式。
探究（二）较复杂的全概率公式的应用
【典例2】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.
【解析】设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，
设Hi＝“飞机被第i人击中”，i＝1，2，3，
则P(A1)＝P(H1eq \(H,\s\up6(－))2eq \(H,\s\up6(－))3＋eq \(H,\s\up6(－))1H2eq \(H,\s\up6(－))3＋eq \(H,\s\up6(－))1eq \(H,\s\up6(－))2H3)，
P(A2)＝P(H1H2eq \(H,\s\up6(－))3＋H1eq \(H,\s\up6(－))2H3＋eq \(H,\s\up6(－))1H2H3)，
P(A3)＝P(H1H2H3)，又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，
所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.故飞机被击落的概率为0.458.
【补充训练1】假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：
在该市场中任意买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（ ）
A. 0.882 B. 0.883 C. 0.884 D. 0.885
【解析】用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示“买到的是优质品”的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥.由表格，P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝0.885.故选D。
【补充训练2】从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，则第二张牌点数大于第一张的概率为
【解析】用Ai表示第一次抽到的点数为i，i＝1,2，…，13。
B表示第二张点数大于第一张点数。
P(Ai)＝eq \f(4,52)，i＝1,2，…，13，P(B|Ai)＝(13－i)×eq \f(4,51)，
P(B)＝eq \i\su(i＝1,13,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq \i\su(i＝1,12, )eq \f(4,52)×eq \f(13－i×4,51)＝eq \f(16,51×52)×eq \f(1＋12×12,2)＝eq \f(8,17)。
【补充训练3】（多选）1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，下列说法正确的有（ ）
A. 从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是
B. 从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是
C. 从2号箱取出红球的概率是
D. 从2号箱取出红球的概率是
【解析】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球，事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝ eq \f(4,2＋4) ＝ eq \f(2,3) ，P( eq \x\t(B) )＝1－ eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) .
P(A|B)＝ eq \f(3＋1,8＋1) ＝ eq \f(4,9) ；因为P(A| eq \x\t(B) )＝ eq \f(3,8＋1) ＝ eq \f(1,3) ，所以P(A)＝P(AB)＋P(A eq \x\t(B) )＝P(A|B)P(B)＋P(A| eq \x\t(B) )P( eq \x\t(B) )＝ eq \f(4,9) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(11,27) 。故选AD。
【方法总结】“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
探究（三）贝叶斯公式的应用
【典例3】三部自动的机器生产同样的零件， 其中机器甲生产的占40% ，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35% , 已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1% 不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，发现是不合格品，求它是由机器甲生产出来的概率．
【解析】设 B1，B2，B3分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的， A ＝{抽取的零件是不合格品}, 由条件知，P(B1)＝0.40，P(B2)＝0.25，P(B3)＝0.35，P(A|B1)＝0.10，P(A|B2)＝0.05，P(A|B3)＝0.01，所求概率为P(B1|A)，
P(B1|A)＝ eq \f(P（B1）P（A|B1）,\i\su(j＝1,3,P)（Bj）P（A|Bj）) ≈0.714.
【补充训练1】已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为(精确到0.001)（ ）
A. 0.996 B. 0.997 C. 0.998 D. 0.999
【解析】设A＝{任取一产品，经检查是合格品}，
B＝{任取一产品确是合格品}，则A＝BA＋ eq \x\t(B) A，
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P( eq \x\t(B) )P(A| eq \x\t(B) )
＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942 8，故所求概率为
P(B|A)＝ eq \f(P（B）P（A|B）,P（A）) ＝ eq \f(0.96×0.98,0.942 8) ≈0.998.故选C。
【补充训练2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．
【解析】设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P( eq \x\t(B) )·P(A| eq \x\t(B) )＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%，
所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.5%×95%,1.47%) ＝32.3%.
【补充训练3】（多选）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%，它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件，下列说法正确的有(精确到0.01)（ ）
A. 取到次品的概率为0.034 4
B. 取到次品的概率为0.034 5
C. 已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36
D. 已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.38
【解析】设事件B1，B2，B3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品”．易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式，
可得P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
故取到次品的概率为0.034 5；P(B1|A)＝eq \f(PAB1,PA)＝eq \f(PB1PA|B1,PA)＝eq \f(0.25×0.05,0.034 5)≈0.36.故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36。故选BC。
【方法总结】
1．利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝ eq \i\su(i＝1,n,P) (Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) 求解．
2．若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果未知，那么：
(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；
(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．
随堂演练
1. 已知P(BA)＝0.4，P(Beq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，则P(B)的值为( )
B.0.8
C.0.6 D.0.5
【解析】P(B)＝P(BA)＋P(Beq \(A,\s\up6(－)))＝0.4＋0.2＝0.6。故选C。
2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )


【解析】令B＝“取到的零件为合格品”，Ai＝“零件为第i台机床的产品”，i＝1，2，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq \f(2,3)×0.96＋eq \f(1,3)×0.93＝0.95.故选D。
3. 一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(3,9)
C.eq \f(3,10) D.eq \f(7,10)
【解析】记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，
则P(B)＝P(AB)＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，
由题设易知P(A)＝eq \f(3,10)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(7,10)，P(B|A)＝eq \f(2,9)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(3,9)，
于是P(B)＝eq \f(3,10)×eq \f(2,9)＋eq \f(7,10)×eq \f(3,9)＝eq \f(3,10).故选C。
4. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为eq \f(1,10)，eq \f(1,15)，eq \f(1,20)，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( )
B.0.1
D.0.2
【解析】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝eq \f(5,10)，P(A2)＝eq \f(3,10)，P(A3)＝eq \f(2,10)，P(B|A1)＝eq \f(1,10)，P(B|A2)＝eq \f(1,15)，P(B|A3)＝eq \f(1,20)，则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq \f(5,10)×eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,15)＋eq \f(2,10)×eq \f(1,20)＝0.08.故选A。
5.（多选）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(2,3) B．P(B)＝eq \f(3,5)
C．P(B|A)＝eq \f(2,5) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(4,5)
【解析】P(A)＝eq \f(C\\al(1,4),C\\al(1,6))＝eq \f(2,3)，A正确；P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(4,6)×\f(3,5),\f(4,6))＝eq \f(3,5)，
P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(P\x\t(A)B,P\x\t(A))＝eq \f(\f(2,6)×\f(4,5),\f(2,6))＝eq \f(4,5).由全概率公式可知，
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(4,6)×eq \f(3,5)＋eq \f(2,6)×eq \f(4,5)＝eq \f(2,3).所以BC错误，D正确．
跟踪测试
一、单选题
1. 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.532
C．0.312 5D．0.482 5
【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝eq \i\su(i＝1,4,P)(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.故选D。
2. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7
【解析】设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)
＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1－0.32＝0.68.故选C。
3. 若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(13,48) D.eq \f(1,3)
【解析】设事件Ai表示“取出数字i”，i＝1，2，3，4，
易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝eq \f(1,4)，事件B表示“取到y＝2”，
则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝eq \f(1,2)，P(B|A3)＝eq \f(1,3)，P(B|A4)＝eq \f(1,4)，∴P(B)＝eq \(∑,\s\up6(4),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)))＝eq \f(13,48).故选C。
4. 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(21,100) C.eq \f(7,30) D.eq \f(29,90)
【解析】设A表示“先取到的是女生报名表”，Bi表示“取到第i个地区的报名表”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
∴P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝eq \f(1,3)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,3)×eq \f(7,15)＋eq \f(1,3)×eq \f(5,25)＝eq \f(29,90).故选D。
5. 学校有a，b两个餐厅，如果王同学早餐在a餐厅用餐，那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)；如果他早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是eq \f(1,4).若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是（ ）
A. B. C. D.
【解析】设A1表示“早餐去a餐厅用餐”，B1表示“早餐去b餐厅用餐”，A2表示“午餐去a餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1，
根据题意得P(A1)＝eq \f(3,4)，P(B1)＝eq \f(1,4)，P(A2|A1)＝eq \f(3,4)，P(A2|B1)＝eq \f(1,4)，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,8)。故选B。
6. 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为( )
A．0.59 B．0.41 C．0.48 D．0.64
【解析】设A表示“从第一个盒子中取得标有字母A的球”，B表示“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R表示“第二次取出的球是红球”，
则P(A)＝eq \f(7,10)，P(B)＝eq \f(3,10)，P(R|A)＝eq \f(1,2)，P(R|B)＝eq \f(4,5)，
故P(R)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(7,10)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,10)＝0.59。故选A。
二、多选题
7. 在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%。则( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【解析】P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，由全概率公式得P(S)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02。由贝叶斯公式得P(D1|S)＝eq \f(PD1PS|D1,PS)＝eq \f(0.02×0.4,0.02)＝0.4，P(D2|S)＝eq \f(PD2PS|D2,PS)＝eq \f(0.05×0.18,0.02)＝0.45，P(D3|S)＝eq \f(PD3PS|D3,PS)＝eq \f(0.005×0.6,0.02)＝0.15。故选ABC。
8. 5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则下列说法正确的是( )
A．第2个人摸到中奖彩票的概率为eq \f(1,5)
B．第2个人摸到中奖彩票的概率为eq \f(1,4)
C．第3个人摸到中奖彩票的概率为eq \f(1,3)
D．第3个人摸到中奖彩票的概率为eq \f(1,5)
【解析】记“第i个人摸到中奖彩票”为事件Ai，显然P(A1)＝eq \f(1,5)，而P(A2)＝P[A2∩(A1∪eq \(A,\s\up6(－))1)]＝P(A2∩A1)＋P(A2∩eq \(A,\s\up6(－))1)＝P(A2A1)＋P(A2eq \(A,\s\up6(－))1)＝P(A1)·P(A2|A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(A2|eq \(A,\s\up6(－))1)＝eq \f(1,5)×0＋eq \f(4,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,5)，P(A3)＝P[A3∩(A1A2＋A1eq \(A,\s\up6(－))2＋eq \(A,\s\up6(－))1A2＋eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)]＝P(A1A2A3)＋P(A1eq \(A,\s\up6(－))2A3)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1A2A3)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2A3)＝0＋0＋0＋P(A3eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝P(eq \(A,\s\up6(－))1)P(eq \(A,\s\up6(－))2|eq \(A,\s\up6(－))1)P(A3|eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,5)。故选AD。
三、填空题
9. 已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为
【解析】P＝eq \f(\f(6,10),\f(6,10)＋\f(8,14))＝eq \f(21,41)。
10．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为eq \f(1,10)，eq \f(1,15)，eq \f(1,20)，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为
【解析】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝eq \f(5,10)，P(A2)＝eq \f(3,10)，P(A3)＝eq \f(2,10)，P(B|A1)＝eq \f(1,10)，P(B|A2)＝eq \f(1,15)，P(B|A3)＝eq \f(1,20)；则由全概率公式，所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq \f(5,10)×eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)×eq \f(1,15)＋eq \f(2,10)×eq \f(1,20)＝0.08。
11. 设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占eq \f(1,3)，另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占eq \f(1,4)，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为
【解析】设Ai：取到第i号袋子，i＝1,2,3,4,5。B：取到白球，由贝叶斯公式得P(A1|B)＝eq \f(PA1PB|A1,\i\su(i＝1,5,P)AiPB|Ai)＝eq \f(\f(1,5)×\f(1,3),\f(1,5)×\f(1,3)＋\f(1,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋\f(1,4)＋\f(1,4)＋\f(1,4))))＝eq \f(1,4)。
四、解答题
12. 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率．
【解析】设A1：原材来自甲地， A2：原材来自乙地，
A3：原材来自丙地， B：抽到优等品；
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A1)) ＝0.4，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A2)) ＝0.35，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A3)) ＝0.25，
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A1)) ＝0.65，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A2)) ＝0.7，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A3)) ＝0.85，
由全概率公式：P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A1)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A1)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A2)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A2))
＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B|A3)) P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A3)) ＝0.65×0.4＋0.7×0.35＋0.85×0.25＝0.717 5.
13. 设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为 eq \f(1,7) ， eq \f(1,5) ， eq \f(1,4) .现从这三个地区任意抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
【解析】设Ai＝“第i个地区”，i＝1，2，3；B＝“感染此病”，
所以P(A1)＝ eq \f(1,3) ；P(A2)＝ eq \f(1,3) ；P(A3)＝ eq \f(1,3) ，
所以P(B|A1)＝ eq \f(1,7) ；P(B|A2)＝ eq \f(1,5) ；P(B|A3)＝ eq \f(1,4) ，
(1)P(B)＝ eq \i\su(i＝1,3,P) (Ai)P(B|Ai)＝ eq \f(83,420) ≈0.198，
(2)P(A2|B)＝ eq \f(P（A2）P（B|A2）,\i\su(i＝1,3,P)（Ai）P（B|Ai）) ＝ eq \f(28,83) ≈0.332.
14. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应，由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
【解析】设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由已知，P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，
P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，
P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得：
P(A)＝ (Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得：
P(B1|A)＝ eq \f(P（B1）P（A|B1）,P（A）) ＝ eq \f(0.2×0.95,0.86) ≈0.220 9，
P(B2|A)＝ eq \f(P（B2）P（A|B2）,P（A）) ＝ eq \f(0.3×0.9,0.86) ≈0.314 0，
P(B3|A)＝ eq \f(P（B3）P（A|B3）,P（A）) ＝ eq \f(0.5×0.8,0.86) ≈0.465 1.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
课程目标
核心素养
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程;
2.理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;
3.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.
1.数学抽象：全概率公式
2.逻辑推理：从特殊到一般的思想方法
3.数学运算：运用全概率公式求事件概率
4.数学建模：将相关问题转化为对应概率模型
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%
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90%
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