高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项式定理教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项式定理教案设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.通过发现多项式乘法的本质特征，建立多项式乘法与计数原理之间的联系，运用计数原理推导二项式系数的方法.
2.通过对二项式定理及其结构特点研究过程，体会“从特殊到一般”、“类比归纳”等数学思想.
3.能用二项式定理解决一些简单的数学问题，发展数学运算等素养.

二、教学重难点
重点：利用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题.
难点：使用组合数表达二项展开式中各项的系数．

三、教学过程
（一）创设情境
情境：如果今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢? 如果是15天后的这一天呢？如果是8100天后的这一天呢？

设计意图：通过生活中的具体实例，激发学生们的学习兴趣，启迪思维，感受数学文化之美，感受数学的价值及魅力.
（二）探究新知
任务1：探索二项式定理
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的(a+b)n展开的问题.
探究：我们知道，
a+b2=a2+2ab+b2；
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.
(1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律?
(2) 根据你发现的规律，你能写出(a+b)4的展开式吗?
(3) 进一步地，你能写出(a+b)n的展开式吗?
答：我们先来分析(a+b)2的展开过程．
根据多项式乘法法则，(a+b)2是2个(a+b)相乘，只要从一个(a+b)中选一项（选a或b ），再从另一个(a+b)中选一项（选a或b ），相乘就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有C21C21=22项，而且每一项都是a2−kbk（ k =0，1，2）的形式.
展开方式：从每个(a+b)中选一个数a或b，相乘后得到一项
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=C20a2 +C21ab+ C22 b2
选0个b 选1个b 选2个b
系数： C20 C21 C22
对应项 C20a2 C21ab C22b2
再来分析(a+b)3展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？
a+b3=C30a3 +C31a2b+ C32ab2+ C33b3
选0个b 选1个b 选2个b 选3个b
系数： C30 C31 C32 C33
对应项 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
探究 (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律?
在合并同类项之后，(a+b)2的展开式共有3项，而且每一项都是a2−kbk（ k =0，1，2）的形式，(a+b)2的展开式共有4项，而且每一项都是a3−kbk（ k =0，1，2，3）的形式.
探究 (2) 根据你发现的规律，你能写出(a+b)4的展开式吗?
再来分析(a+b)4展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？
(a+b)4=C40a4 +C41a3b+C42a2b2+C43ab3 +C44 b4
选0个b 选1个b 选2个b 选3个b 选4个b
系数： C40 C41 C42 C43 C44
对应项 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
探究 (3) 进一步地，你能写出(a+b)n的展开式吗?
(a+b)n=(a+b)(a+b)⋯(a+b)Cn0an+Cn1an−1b1+…+ Cnkan−kbk+…+Cnnbn
总结：二项式定理
公式 (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b1+…+ Cnkan−kbk+…+Cnnbn(n∈N∗)， 叫作二项式定理.
展开式：等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有n+1项．
二项式系数：各项的系数Cnk(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
通项：式中的Cnkan−kbk叫做二项式展开式的通项，用Tk+1表示，
即 Tk+1=Cnkan−kbk.
设计意图：从两个熟知的二项展开式a+b2和a+b3出发，通过较难展开的二项式来设置悬疑，激发学生的探究欲望.通过教师讲解，指明探究的思想方法，并且强调用一般性的眼光看待具体实例，以增强发现运算规律的可能性.
探究：二项式定理形式上有什么特点？
要求：小组交流后，进行展示汇报
(1)二项展开式有n+1项，而不是n项.
(2)二项式系数都是Cnk(k=0，1，2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，次数由n次逐项减少1次直到0次，同时字母b按升幂排列，次数由0次逐项增加1次直到n次.注意每一项中a与b的指数和为n，a与b的位置不能交换.
师生活动：引导学生有目的地观察、有逻辑地思考，而不是“撞大运”.在概念的指引下，观察多项式的“要素”即项数、次数、项及其系数的规律.这里，教师要在“项的特征”上加强引导，如每一项的次数都是n，a的次数从n到0降幂排列，b的次数从0到n升幂排列等.
设计意图：培养学生的观察和归纳能力以及合作探究能力和思维多样性.
（三）应用举例
例1 求x+1x6的展开式.
解：x+1x6=x+x−16
=C60x6+C61x5x−1+C62x4x−2+C63x3x−3+C64x2x−4+C65x1x−5+C66x−6
=x6+6x4+15x2+20+15x−2+6x−4+x−6.
师生活动 学生独立完成，教师规范书写，根据学生完成情况，作点评和总结.
设计意图：通过二项式定理的直接应用，巩固二项式定理，明确二项式定理中α，b可以是任意的数或代数式.
例2 化简：Cn0(x+1)n−Cn1(x+1)n−1+Cn2(x+1)n−2−…+ (−1)n−k Cnk(x+1)n−k+…+(−1)nCnn
解：原式=Cn0(x+1)n+Cn1(x+1)n−1(−1)+Cn2(x+1)n−2(−1)2+…+ (−1)n−kCnk(x+1)n−k+…+(−1)nCnn=[(x+1)+(−1)]n=xn
师生活动：教师引导学生正确运用二项式定理.
设计意图：通过例题，进一步明确二项式定理内容，并能够熟练运用.
总结：二项式定理的双向功能
(1)正用：将(a+b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：将展开式合并成(a+b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
例3 （1）求1+2x7的展开式的第4项的系数；
（2）求2x−1x6的展开式中x2的系数.
解：(1)1+2x7的展开式的第4项是T3+1=C73×14×2x3=C73×23x3 =35×8x3=280x3.
因此，展开式第4项的系数是280.
(2)2x−1x6的展开式的通项是Tk+1=C6k2x6−k−1xk=−1k26−kC6kx3−k.
根据题意，得3−k=2，所以k=1.
因此，x2的系数是−125C61=−192.
师生活动：学生先独立完成，教师根据学生完成情况，展示部分学生的解答过程，有针对性地作点评总结.特别指出，根据二项式定理，研究与二项展开式的项的相关问题时，关键是要先写出二项展开式的通项，注意它是第k+1项，即Tk+1=Cnkan−kbk.
设计意图：通过应用，熟练二项展开式的通项，让学生注意项的系数、二项式系数之间的关系，注意通项公式的细节．
总结：二项式系数与项的系数的求解策略
(1)二项式系数都是组合数(k∈{0，1，2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.
(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Cnk.
例4 (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除．
(2)求9192被100除所得的余数．
分析：(1)结合11＝10＋1，1110－1＝(10＋1)10－1展开后变形整理得因数100；
(2)9192＝(100－9)92展开后，再用二项式考查992.
解：(1)因为1110－1＝(10＋1)10－1
=(1010+C101∙109+C102∙108+⋯+C109∙10+1)−1
=1010+C101∙109+C102∙108+⋯+102
=100(108+C101∙107+C102∙106+⋯+1)
所以，1110－1能被100整除．
(2)9192＝(100－9)92=C92010092−C921∙10091∙9+C922∙10090∙92−⋯+C9292∙992
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.
992＝(10－1)92=C9201092−C921∙1091+⋯+C9290∙102−C9291∙10+1
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，
所以，9192被100除所得的余数为81.
总结：整除性或求余数问题的处理方法
(1)构造一个与题目条件有关的二项式，即把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式.
(2)利用二项式定理展开，由于前面(或后面)绝大多数项都含有除数这一因式，能被除数整除，因此只需研究后面(或前面)一、两项就可以.
(3)注意余数的范围.
(4)利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化为正数.
师生活动：教师引导学生充分利用二项式定理，学生独立思考后再合作交流，教师适当点拨.
设计意图： 通过例题学会利用二项式定理解决问题，学以致用.
说一说：现在你能解决“情境”中的问题了吗？
如果今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢? 如果是15天后的这一天呢？如果是8100天后的这一天呢？
因为一个星期以7天为一个周期，所以，7天后的这一天是星期一；
因为15=2×7+1，所以15天后，即过2个星期再过1天，所以是星期二；
因为8100＝(7+11)100=C1000∙7100+C1001∙799+⋯+C10099∙71+C100100∙70
前100项均能被7整除，最后一项C100100∙70=1
所以，8100除以7余数为1，
所以，8100天后的这一天是星期二.
设计意图：与问题情境前后呼应，强调二项式定理的数学价值，让学生熟悉二项式展开式.
（四）课堂练习
1.对于二项式(3x+2x3)n，以下判断正确的有( )
A. 存在n∈N∗，展开式中有常数项；
B. 对任意n∈N∗，展开式中没有常数项；
C. 对任意n∈N∗，展开式中没有x的一次项；
D. 存在n∈N∗，展开式中有x的一次项．
解：由题意，(3x+2x3)n展开式的通项为Tr+1=3n−r·2r·Cnr·x4r−n(其中r=0，1，2，)，n∈N∗，
令4r−n=0，得r=n4，
故当n是4的倍数时，展开式存在常数项，故A对，B错；
令4r−n=1，得r=n+14，故当n+1是4的整数倍时，展开式中有x的一次项，故C错，D对，
故选AD．
2.(3−2x)(x+1)5展开式中含x3项的系数为 ．
解：(x+1)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5−r，
(x+1)5的展开式中x2的系数为C53=10，x3的系数为C52=10，
因此，原展开式中含x3项的系数为10×3−10×2=10．
故答案为：10．
3.已知函数f(x)=(2x−1)17．
(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数；
(2)求f(5)除以8的余数．
解：(1)Tr+1=C17r(2x)17−r(−1)r=C17r217−r(−1)rx17−r，
令r=15，得x2项的系数为C171522(−1)15=−544，
(2)f(5)=917=(8+1)17=C170817+C171816+⋯+C17168+C17171，
因为C170817，C171816，⋯，C17168都能被8整除，
所以f(5)除以8的余数为1．
4.记(x+2x)n(n∈N∗)的展开式中第m项的系数为bm．
(1)若b3=12b4，求n；
(2)若n=6，求展开式中的常数项．
解：(1)(x+2x)n的展开式中第m项为
Cnm−1xn−m+1×(2x)m−1=2m−1.Cnm−1·xn−2m+2；
∴bm=2m−1⋅Cnm−1．
由b3=12b4，得22⋅Cn2=12⋅23⋅Cn3；
即Cn2=Cn3，∴n=5．
(2)当n=6时，(x+2x)n展开式中的通项公式
Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(2x)r=2r⋅C6r⋅x6−2r，
依题意得6−2r=0，r=3，
所以展开式中的常数项是T4=C63⋅23=160．
5.在(x+2)10的展开式中，求：
(Ⅰ)x8的系数；
(Ⅱ)如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值．
解：(Ⅰ)二项式展开式的通项如下：
Tr+1=C10r⋅2r⋅x10−r，由已知令10−r=8，
所以r=2.所以含x8项的系数为C102⋅22=180．
(Ⅱ)第4r项与第r+2项的二项式系数相等，
则C104r−1=C10r+1，即4r−1=r+1或4r−1+r+1=10．
解得r=2，(r=23舍)．
故r的值为2．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固二项式定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识？
设计意图：回顾整节课的内容，帮助学生理清思路，形成知识体系.