数学选择性必修 第三册二项式定理一等奖教案设计

这是一份数学选择性必修 第三册二项式定理一等奖教案设计，共7页。教案主要包含了当堂检测等内容，欢迎下载使用。

课题名
6.3.2二项式系数的性质
教学目标
（1）掌握二项式系数的性质及推导。
（2）掌握赋值法在求解二项展开式特定项系数和中的运用。
（3）通过探究二项式系数性质的过程，培养学生发现问题、解决问题的能力，发展学生的学科素养。
教学重点
二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；
教学难点
1.理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；
2.利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.
教学准备
教师准备：幻灯片、黑板、投影
学生准备：笔、纸、课本
教学过程
新课引入
复习二项式定理：……，.其中的展开式的二项式系数有很多有趣的性质.
的展开式的二项式系数
，，，…，，…，
有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究．
设计意图：通过先复习引入，调动学生已有的相关知识，再从学生熟悉的实例出发，激发学生的学习兴趣.
探究
用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入表6.3-1．
问题1填写表格观察二项式系数的变化，是否能发现什么规律？
表6.3-1
n
的展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
通过计算、填表，你发现了什么规律？
从表6.3-1可以发现，每一行中的系数具有对称性．除此以外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写成如图6.3-1所示的形式．
………………………11
……………………121
…………………1331
………………14641
……………15101051
…………1615201561
图6.3-1
观察图6.3-1，你还能发现哪些规律？
表示形式的变化常常能帮助我们发现某些规律．
对于的展开式的二项式系数
，，，…，，
设计意图：学生通过填表的活动，巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时引导学生发现这样的表格不利于观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：哪种表示形式更方便观察呢？借此引出算术三角形，为下面观察得出二项式系数的性质作准备.
问题2对于的展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是.对于确定的，我们还可以画出它的图象.能否画出时，函数的图象？
当时，函数的图象是7个离散点，如图6.3-2所示．
追问1：观察函数图象，当时，你发现二项式系数什么规律？
追问2：能否画出时函数的图象，比较它们的异同，你又发现了什么规律？
讲授新课
1．对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由得到．
= 1 \* GB3 ①你能用组合的意义解释一下这个“组合等式”吗？
直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
2．增减性与最大值
因为
，
即
，
所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小．当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
问题3：如何利用的展开式求的展开式的各二项式系数的和？
已知
，
令，得
．
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于．
例题讲解
例3求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明：在展开式
中，令，，则得
．
即
．
因此，
，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
课堂小结
一般地，展开式的二项式系数有如下性质：
（对称性）
当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，，且同时取得最大值
（3）（4）
五、当堂检测
1．填空题
（1）______；
（2）_______．
1．【答案】1024
【解析】（1）由组合数的性质可得；
（2）由组合数的性质知，，，
所以．
故答案为：1024；
2．证明：（n是偶数）．
2．【证明】，
令，，得，
令，，得，
两式相加得，．
3．写出从1到10的二项式系数表．
4．若一个集合含有个元素，则这个集合共有多少个子集？
【解析】对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原理，集合中的n个元素在子集中的情况共有种，故这个集合共有个子集．
布置作业
教材第34页练习第1,2,3,4题.
板书设计
一般地，展开式的二项式系数有如下性质：
（对称性）
当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，，且同时取得最大值
（3）（4）
教学反思