人教版（2024）八年级下册17.2 勾股定理的逆定理达标测试

这是一份人教版（2024）八年级下册17.2 勾股定理的逆定理达标测试，共14页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的是，下列各组数，不是勾股数的是等内容，欢迎下载使用。
1．已知△ABC的三边为a、b、c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．∠A+∠B＝∠C
C．a2+b2＝c2D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ）
A．2，4，6B．4，6，8C．6，8，10D．8，10，12
3．如图是宝安公园一角的平面地图，利用软件测得起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到终点C的距离是30米，如果∠ABC＝90°，那么A、C两点的距离大约是（ ）
A．30米B．40米C．60米D．70米
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，1B．2，3，4C．D．
5．若以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．7，40，42C．D．5，12，13
6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．4，5，6B．C．6，8，10D．5，12，13
7．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12B．0.6，0.8，1C．8，15，16D．9，12，15
8．下列各组数，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．7，24，25D．8，15，16
9．如图，一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成30°，顶端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树（ ）米．
A．2B．6C．D．
10．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a最小为（ ）
A．11B．12C．13D．14
二．填空题（共5小题）
11．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度．
12．观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；
⋯，
请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数： ．
13．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 ．
14．若a，b，c为一组勾股数，且a＜b＜c．则下列结论；
①a2+b2＝c2；
②a，b，c中必有一个是偶数；
③a，b中必有一个被3整除，必有一个被4整除，且a，b，c中必有一个被5整除；
③若a是不小于7的质数，则c的最小值为25．
其中正确的有 （填序号）．
15．如图，南京地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB，BC两段构成，若BC段长度为8cm，点A，C之间的距离比AB段长2cm，则AB段的长度为 cm．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝9，BC＝12，CD＝15，DA．求四边形ABCD的面积．
17．已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b，c为勾股数．
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝13，CD＝12，AD＝3．
（1）求线段BD的长；
（2）请判断△BCD的形状并证明你的判断．
19．清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）当k＝14时，写出这一组勾股数 ．
（2）证明“罗士琳法则”的正确性．
20．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．
（1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由；
（2）求原来的路线AC的长．
《17.2 勾股定理的逆定理》同步练习-2024-2025学年第二学期人教版数学八年级下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知△ABC的三边为a、b、c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5B．∠A+∠B＝∠C
C．a2+b2＝c2D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【解答】解：A、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、∵a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
2．下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ）
A．2，4，6B．4，6，8C．6，8，10D．8，10，12
【解答】解：A、∵22+42≠62，
∴不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+62≠82，
∴不是勾股数，不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴是勾股数，符合题意；
D、∵82+102≠122，
∴不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
3．如图是宝安公园一角的平面地图，利用软件测得起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到终点C的距离是30米，如果∠ABC＝90°，那么A、C两点的距离大约是（ ）
A．30米B．40米C．60米D．70米
【解答】解：由题可知AB＝30米，BC＝30米，
∵∠ABC＝90°，
∴AC3042.42米，
故选：B．
4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，1B．2，3，4C．D．
【解答】解：A、∵1＝1＝1，
∴此三角形是等边三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴此三角形不是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴此三角形是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵32+（）2＝16，52＝25，
∴32+（）2≠52，
∴此三角形不是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
5．若以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．7，40，42C．D．5，12，13
【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵72+402＝1649，422＝1764，
∴72+402≠422，
∴不能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵（）2+（）2＝5，（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．4，5，6B．C．6，8，10D．5，12，13
【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，符合题意；
B、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
7．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12B．0.6，0.8，1C．8，15，16D．9，12，15
【解答】解：A、∵62+82≠122，
∴6，8，12不是一组勾股数，不符合题意；
B、∵0.6，0.8不是正整数，
∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，不符合题意；
C、∵82+152≠162，
∴8，15，16不是一组勾股数，不符合题意；
D、∵92+122＝152，
∴9，12，15是一组勾股数，符合题意．
故选：D．
8．下列各组数，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．7，24，25D．8，15，16
【解答】解：A、∵32+42＝52，
∴3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、∵52+122＝132，
∴5，12，13是勾股数，不符合题意；
C、∵72+242＝252，
∴7，24，25是勾股数，不符合题意；
D、∵82+152＝172≠162，
∴8，15，16不是勾股数，符合题意；
故选：D．
9．如图，一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成30°，顶端着地处C与大树底端相距4米，则原来大树（ ）米．
A．2B．6C．D．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4米，∠C＝30°，
设AB＝x，则BC＝2x，
根据勾股定理列出方程x2+42＝（2x）2，
解得x，
∴原来大树是4米．
故选：D．
10．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a最小为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：由题意可知，当 吸管如图所示放置时，露在水杯外面的吸管长度最短，
∵水杯底面直径为10cm，高度为12cm，
∴AC＝5cm，BC＝12cm，
∴ABcm，
∴露在水杯外面的吸管长度＝25﹣13＝12（cm），
即a最小为12，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 30 度．
【解答】解：∵12+（）2＝22，
∴此三角形是直角三角形，2是斜边，
∵直角三角形的斜边等于一个直角边的一半，
∴它的最小角为30°．
故答案为：30．
12．观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；
⋯，
请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数： 15，112，113 ．
【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第⑥组勾股数的第一个数是13，第⑦组勾股数的第一个数是15，
又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为x+1，
根据勾股定理，得：152+x2＝（x+1）2，
解得x＝112．
∴x+1＝112+1＝113，
则得第⑦组数是：15，112，113．
故答案为：15，112，113．
13．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 45 ．
【解答】解：将∠2向下平移1个单位格得到AB，如图，连接AC，
∴∠2＝∠ABE，
∵AC2＝AD2+CD2＝22+12＝5，AB2＝BE2+AE2＝22+12＝5，BC2＝32+12＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABE+∠1＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
故答案为：45°．
14．若a，b，c为一组勾股数，且a＜b＜c．则下列结论；
①a2+b2＝c2；
②a，b，c中必有一个是偶数；
③a，b中必有一个被3整除，必有一个被4整除，且a，b，c中必有一个被5整除；
③若a是不小于7的质数，则c的最小值为25．
其中正确的有 ①②③④ （填序号）．
【解答】解：∵a，b，c为一组勾股数，且a＜b＜c，a2+b2＝c2，故①正确，符合题意；
∵假设a、b都是奇数，则c为偶数，c2为4的倍数，
设a＝2m+1，b＝2n+1（m、n为整数），
则a2+b2＝（2m+1）2+（2n+1）2＝2（2m2+2n2+2m+2n+1）
为2的奇数倍，不是4的倍数，与题设矛盾，
∴a，b，c中必有一个是偶数，故②正确，符合题意；
∵a，b，c为一组勾股数，且a＜b＜c，∴a，b中必有一个被3整除，必有一个被4整除，且a，b，c中必有一个被5整除，故③正确，符合题意；
∵a，b，c为一组勾股数，且a＜b＜c，若a是不小于7的质数，则c的最小值为25，故④正确，符合题意；
故答案为：①②③④．
15．如图，南京地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB，BC两段构成，若BC段长度为8cm，点A，C之间的距离比AB段长2cm，则AB段的长度为 15 cm．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AC＝（AB+2）cm，BC＝8cm，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+82＝（AB+2）2，
∴AB＝15（cm），
故答案为：15．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝9，BC＝12，CD＝15，DA．求四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴AC15，
AD2＝（15）2＝450，
CD2+AC2＝225+225＝450，
∴CD2+AC2＝AD2
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积12×915×15．
17．已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b，c为勾股数．
【解答】证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n≥2，且n为整数），
a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，
b2＝4n2，
c2＝（n2+1）2，
a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2，
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n≥2，且n为整数），是勾股数
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝13，CD＝12，AD＝3．
（1）求线段BD的长；
（2）请判断△BCD的形状并证明你的判断．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD5；
（2）△BCD是直角三角形，
证明：由（1）知，BD＝5，
∵BC＝13，CD＝12，52+122＝132，
∴△BCD是直角三角形．
19．清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）当k＝14时，写出这一组勾股数 14，48，50 ．
（2）证明“罗士琳法则”的正确性．
【解答】解：（1）当k＝14时，48，，
故答案为：14，48，50；
（2）证明：

．

∴当k大于2时，
∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数．
20．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC，由于某种原因，从取水点C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．
（1）CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由；
（2）求原来的路线AC的长．
【解答】解：（1）CH是村庄C到河边最近的路；理由如下：
∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴CH⊥AB，
∵垂线段最短，
∴CH是村庄C到河边最近的路；
（2）∵∠CHB＝90°，
∴∠CHA＝90°，
∴AC2＝AH2+CH2，
∵AB＝AC，
∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，
∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，
解得：AC＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5km．
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答案
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C
B
A
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D
D
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