人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第二课时随堂练习题

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第2课时二次根式的混合运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础题
知识点1 二次根式的混合运算
1．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘法运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
2．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的运算法则，先计算除法和乘法，再计算减法．
【详解】解：．
故答案为：．
3．计算的结果是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算．
【详解】解：
，
故选：C．
4．估计的值应在（ ）之间
A．5和6B．6和7C．7和8D．8和9
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解决本题的关键是正确化简二次根式．
先将原式化简为，再通过估计的范围确定整体值的区间即可．
【详解】解：∵，
又∵，即，
∴，即，
∴原式的值在7和8之间．
故选：C．
5．新运算※，*规定如下：，．
（1） ．
（2）的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键．
（1）根据新运算※的定义直接代入计算；
（2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可．
【详解】解：（1）由定义，，代入，，
得
．
故答案为：．
（2）由定义，，代入，，
得
．
故答案为：．
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算二次根式乘法，再由完全平方公式去括号，最后计算加减法即可；
（2）先计算二次根式除法，同时化简分式中的二次根式，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
知识点2 二次根式与乘法公式
7． ．
【答案】1
【分析】本题考查平方差公式的简单计算，掌握平方差公式的正确应用是解题关键．观察后发现直接应用公式计算即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为： 1．
8．计算的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据完全平方公式可以计算出题目中式子的结果．
【详解】解：
，
故答案为：．
9．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（ ）
A．B．3C．5D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵的整数部分是a，小数部分是b，
∴，，
∴，
故选：B．
10．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式应用，利用平方差公式简化表达式，再进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：A．
11．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
故选：C
12．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）分别化简各项，再作加减法；
（2）利用平方差公式展开，再计算．
本题考查了二次根式的相关运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式

．
13．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）先计算乘法并化简，再进行加减计算；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
中档题
14．若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算．
根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算．
【详解】解：因为，且和，
所以和．
解得，
∴．
故答案为．
15．已知，则的值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值．
【详解】解：
．
故答案为：10．
16．计算的结果是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观察 和 ，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为 计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选：D．
17．对于任意实数m和n，规定．如，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式求值，令即可计算出答案．
【详解】解：在中，
令得，
故选：B．
18．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式列式计算即可；
（2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可．
【详解】（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
综合题
19．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
【答案】(1)；；；
(2)16
(3)2024
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化．
（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可；
（2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可；
（3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
故答案为：；；；；
（2）解：，
，
；
（3）解：
．
课堂检测
1．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．先运用乘法分配律展开，再进行二次根式的乘法和加减运算．
【详解】解：原式．
故答案为：2．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项．
【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B：，故选项计算错误，不符合题意；
C：，故选项计算错误，不符合题意；
D：，故选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积．
【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4，
∴
，
故选：B．
4．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算．
先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可．
【详解】解：，
，
的整数部分为1，小数部分为，
，
．
故选：C．
5．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
先进行化简，再进行估算即可．
【详解】解：∵
又∵
∴
∴
∴数轴上最接近的是A．
故选：A．
6．计算的结果是（ ）
A．B．C．－3D．3
【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
7．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∴
．
故选：B．
8．当时，代数式的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可．
【详解】解：，
当时，原式．
故选：C．
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先利用二次根式的性质化简，再去括号并计算即可；
（2）利用乘法公式和二次根式的除法法则化简，再算加减；
（3）利用乘法公式化简，再进行二次根式的混合运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
10．[核心素养]【观察】；．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①______；
②______；
(3)计算：．
【答案】(1)，（答案均不唯一）
(2)①，②
(3)2025
【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式：
（1）根据有理化因式的定义进行求解即可；
（2）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；；（答案均不唯一）
（2）解：①；
②；
（3）解：
．