数学八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第2课时教案

这是一份数学八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第2课时教案，共3页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

●情景导入 母亲节快到了，小勋做了两张大小不同的正方形壁画准备送给妈妈．其中一张面积为600 cm2，另一张面积为4 200 cm2，他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮．他现在有一条长1.2 m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？若不够用，还需要购买多长的金彩带？
引导学生计算所需金彩带的总长，列式为4 eq \r(600)＋4 eq \r(4 200)，思考计算方法．
如何计算呢？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．
【教学与建议】教学：创设实际问题的问题情境，让学生感受数学来源于生活．建议：引导学生独立写出算式，然后讨论算式的计算方法．
●类比导入
计算：
(1)(x＋y)·xy＝__x2y＋xy2__；
(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝__2x＋3y__；
(3)(x＋y)(x－y)＝__x2－y2__；
(4)(x＋y)2＝__x2＋2xy＋y2__；
(5)(2x＋3y)(2x－3y)＝__4x2－9y2__．
思考：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？今天我们来学习二次根式的混合运算．(同时展示本节课学习目标)
【教学与建议】教学：用类比的方法探索二次根式混合运算的特点，使学生弄清楚新旧知识之间的区别与联系．建议：引导学生自主发现结论：在进行二次根式的混合运算时，学过的整式的乘法法则和乘法公式仍然适用．
命题角度1 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算：一般先将每个二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算．
【例1】计算( eq \r(12)－ eq \r(3))÷ eq \r(3)的结果是(D)
A．－1 B．－ eq \r(3) C． eq \r(3) D．1
【例2】下列计算正确的是(B)
A．3 eq \r(10)－2 eq \r(5)＝ eq \r(5) B． eq \r(\f(7,11))×( eq \r(\f(11,7))÷ eq \r(\f(1,11)))＝ eq \r(11)
C．( eq \r(75)－ eq \r(15))÷ eq \r(3)＝2 eq \r(5) D． eq \f(\r(18),3)－3 eq \r(\f(8,9))＝ eq \r(2)
命题角度2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
整式的运算律、乘法法则与乘法公式在二次根式的运算中同样适用．
【例3】计算(3－ eq \r(10))2 026(3＋ eq \r(10))2 027的结果为(D)
A．0 B．1 C．－3－ eq \r(10) D．3＋ eq \r(10)
【例4】计算( eq \r(3)＋1)( eq \r(3)－1)的结果等于__2__．
命题角度3 与二次根式有关的化简求值
与二次根式有关的化简求值问题的常用解题技巧：(1)运用乘法公式；(2)运用因式分解；(3)运用整体思想；(4)求含字母的代数式的值时，应先化简，后代入．
【例5】已知a＝2＋ eq \r(3)，则a＋ eq \f(1,a)＝__4__．
【例6】先化简，再求值：2(a＋ eq \r(3))(a－ eq \r(3))－a(a－6)＋6，其中a＝ eq \r(2)－1.
解：原式＝2(a2－3)－a2＋6a＋6
＝2a2－6－a2＋6a＋6
＝a2＋6a.
当a＝ eq \r(2)－1时，原式＝( eq \r(2)－1)2＋6( eq \r(2)－1)
＝2－2 eq \r(2)＋1＋6 eq \r(2)－6
＝4 eq \r(2)－3.
高效课堂 教学设计
1．掌握二次根式的加减乘除混合运算法则．
2．正确地运用二次根式加减乘除运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．
▲重点
熟练掌握二次根式的乘除、乘方等运算法则．
▲难点
由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
◆活动1 新课导入
1．回顾二次根式的加减、乘除运算法则、整式混合运算的法则和相关公式．
2．计算：(1) eq \r(8)＋ eq \r(72)－ eq \r(12)；(2) eq \r(8)× eq \r(6)；(3) eq \r(24)÷ eq \r(3).
3．计算：(1)(3x2＋2x＋2)·4x＝__12x3＋8x2＋8x__；
(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝__2x＋3y__．
4．简便计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)＝__4x2－9y2__；
(2)(2x＋1)2＋(2x－1)2＝__8x2＋2__．
◆活动2 探究新知
1．你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗？
(1) eq \r(2)×(2 eq \r(2)－ eq \r(3))；(2)( eq \r(45)－ eq \r(15))÷ eq \r(5).
2．你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？
(1)( eq \r(3)－2 eq \r(2))(2 eq \r(3)－ eq \r(2))；(2)(2 eq \r(5)＋2 eq \r(3))( eq \r(3)－ eq \r(5)).
3．你能说出整式的乘法公式吗？你能根据乘法公式计算下列式子吗？
(1)( eq \r(3)－2 eq \r(2))( eq \r(3)＋2 eq \r(2))；(2)( eq \r(3)－2 eq \r(2))2.
4．有理数的混合运算法则是什么？类似地，你能归纳出二次根式的混合运算法则吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．二次根式的混合运算法则：先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__，有括号的，先算__括号内的__．
2．常见的乘法公式或法则：
(1)m(a＋b＋c)＝__ma＋mb＋mc__；
(2)(x＋a)(x＋b)＝__x2＋(a＋b)x＋ab__；
(3)(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；
(4)(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P15 例4.
例2 教材P15 例5.
例3 计算：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(6)－4\r(\f(1,2))＋3\r(8)))÷2 eq \r(2)；
解：原式＝2 eq \r(3)＋2；
(2) eq \r(2)－( eq \r(3)＋2)÷ eq \r(3).
解：原式＝ eq \r(2)－1－ eq \f(2\r(3),3).
例4 先化简，再求值： eq \f(a2－b2,a)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2ab－b2,a)))，其中a＝2＋ eq \r(3)，b＝2－ eq \r(3).
解：原式＝ eq \f((a＋b)(a－b),a)÷ eq \f(a2－2ab＋b2,a)＝ eq \f((a＋b)(a－b),a)· eq \f(a,(a－b)2)＝ eq \f(a＋b,a－b).
当a＝2＋ eq \r(3)，b＝2－ eq \r(3)时，原式＝ eq \f(2＋\r(3)＋2－\r(3),2＋\r(3)－(2－\r(3)))＝ eq \f(4,2\r(3))＝ eq \f(2\r(3),3).
练习
1．教材P15 练习第1，2题．
2．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值是 eq \r(2)，则最后输出的结果是( C )
A．14 B．16 C．8＋5 eq \r(2) D．14＋ eq \r(2)
3．估计(2 eq \r(30)－ eq \r(24))· eq \r(\f(1,6))的值应在( B )
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
4．若a＋ eq \f(1,a)＝ eq \r(5)，则a－ eq \f(1,a)＝__±1__．
5．计算：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(12)－2\r(\f(1,3))＋\r(48)))÷2 eq \r(3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,3)))) eq \s\up12(2)；
(2)( eq \r(2)＋ eq \r(3)－ eq \r(6))( eq \r(2)－ eq \r(3)＋ eq \r(6))；
(3) eq \r(2)－( eq \r(3)＋2)÷ eq \r(3).
解：(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(3)－\f(2\r(3),3)＋4\r(3)))÷2 eq \r(3)＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(28\r(3),3)× eq \f(1,2\r(3))＋ eq \f(1,3)＝ eq \f(14,3)＋ eq \f(1,3)＝5；
(2)原式＝[ eq \r(2)＋( eq \r(3)－ eq \r(6))][ eq \r(2)－( eq \r(3)－ eq \r(6))]＝( eq \r(2))2－( eq \r(3)－ eq \r(6))2＝2－(9－2 eq \r(18))＝2－9＋6 eq \r(2)＝－7＋6 eq \r(2)；
(3)原式＝ eq \r(2)－( eq \r(3)＋2)× eq \f(1,\r(3))＝ eq \r(2)－1－ eq \f(2\r(3),3).
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．掌握二次根式混合运算的法则．
2．正确地进行二次根式的混合运算．
1．作业布置
(1)教材P16 习题19.3第3，5，6，7题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
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