人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第一课时精练

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）19.3 二次根式的加法与减法第一课时精练，文件包含193二次根式的加法与减法第1课时二次根式的加法与减法同步练习2025－2026学年人教版数学八年级下册解析版docx、193二次根式的加法与减法第1课时二次根式的加法与减法同步练习2025－2026学年人教版数学八年级下册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
第1课时二次根式的加法与减法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础题
知识点1 同类二次根式
1．在下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先将各选项化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断即可．
【详解】解：∵同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则它们是同类二次根式，
又∵，
∴对各选项化简：
A选项：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A不符合题意；
B选项：，被开方数为m，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B不符合题意；
C选项：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，故C符合题意；
D选项：，是整式，不是二次根式，故不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：C．
2．下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与是同类二次根式的，则能与合并，与不是同类二次根式的，则不能与合并．
本题主要考查二次根式的化简和同类二次根式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能与合并；
B. 与不是同类二次根式，不能与合并；
C. 与不是同类二次根式，不能与合并；
D. ，与是同类二次根式，能与合并．
故选：D．
3．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
根据同类二次根式的定义，化简后，令被开方数相等求解．
【详解】解：，所以被开方数为 3；
因为是最简二次根式，且与是同类二次根式，
所以，
解得，
故答案为：．
4．请你写出一个与是同类二次根式 ，它们的和是
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的加法运算，关键是掌握化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
先化简，再根据同类二次根式的被开方数相同可得到的同类二次根式，然后进行二次根式的加法运算．
【详解】解：，则与是同类二次根式的可以为（答案不唯一），
∴（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）．
知识点2 二次根式的加减法
5．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
6．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】 0
【分析】本题考查二次根式的加减法，正确化简二次根式是解答本题的关键．
（1）原式化简，再合并即可；
（2）原式化简，再合并即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
故答案为：(1)；(2)0．
7．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意，
B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意，
C、，故该选项符合题意，
D、，故该选项不符合题意．
故选：C．
8．在数轴上，点表示，点表示，则点与点之间的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，二次根式的加减，绝对值化简等知识，根据“数轴上两点距离公式，距离等于两点坐标差的绝对值”列算式，计算即可求解．
【详解】解：与点之间的距离为
故答案为：
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟知二次根式的加减运算法则是解题的关键．
（1）（2）（3）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
知识点3 二次根式的加减法的应用
10．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：三角形的周长
．
故选：C．
11．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，．
(1)求的值；
(2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？
【答案】(1)
(2)能围成这两个正方形
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算．
（1）先求出，的代数式，再相加即可；
（2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可．
【详解】（1）解：∵边长分别是，的两个正方形的面积分别为，，
∴，，
∴
；
（2）解：两个正方形的周长分别为 和 ，
总周长为，
∵，，，
∴能围成这两个正方形．
中档题
12．下列各组根式是同类二次根式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断．
【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意；
B、，，故和是同类根式，该选项符合题意；
C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意；
D、和不是同类根式，该选项不符合题意；
故选：B．
13．若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的 段．
【答案】②
【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，无理数的估算，掌握二次根式的性质是解题关键．根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可．
【详解】解：，
，
，
表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段，
故答案为：②
14．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 。
原式 =
．
故答案为：．
15．已知，，则化简的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值．
【详解】解：由，，可知，
则，
又∵，
∴．
故选：C．
16．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式．
【详解】解：∵ ，，
情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形，
周长为 ；
情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形，
周长为．
∴ 周长为或，
故选：A．
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式化简二次根式，去括号，再合并即可；
（2）原式化简二次根式，再合并即可；
（3）原式化简二次根式，去括号，再合并即可；
（4）原式化简二次根式，再合并即可；
（5）原式化简二次根式，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
．
18．定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求．
(1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数；
(2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数．
【答案】(1)，属于“族”的数
(2)；为“族”的数．
【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键．
（1）根据二次根式的定义判断即可；
（2）根据分母有理化的方法求解即可．
【详解】（1）解：，属于“族”的数；
（2）解：，
，为有理数，，
为“族”的数．
综合题
19．根据以下素材，探索完成任务.
【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式．
（1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解；
（2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可；
（3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可．
【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为
团扇面积为，
∴，
解得（舍负）
故答案为：9．
（2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装
∴可设长为，高为，
∵，
解得（舍负），
∴该长方体盒子的长为，高为；
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
圆形团扇的直径为，总高度为，
∵，，
∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．
课堂检测
1．下列二次根式能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．，与不能合并，不合题意；
B．，与不能合并，不合题意；
C．，与能合并，符合题意；
D．，与不能合并，不合题意；
故选C．
2．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加减运算，需先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
【详解】解：∵，
∴．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则．
需依据同类二次根式的定义（被开方数相同的二次根式为同类二次根式）及二次根式加减法则（同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变）来判断各选项计算是否正确．
【详解】解：A选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误；
B选项中，，
，计算正确；
C选项中，，
计算错误；
D选项中与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，计算错误；
故选：B．
4．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式，得到被开方数为，再令，完成求解．
【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式，
∴，解得：．
故答案为：．
5．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．
例如：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解，
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
6．（1）填空：________，________．（填“”“”或“”）
（2）由（1）中的结果可知：________，________．
（3）计算：．（结果保留根号）
【答案】（1）（2），（3）
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，绝对值化简，解题的关键是掌握绝对值化简的法则．
（1）根据实数大小比较法则进行求解即可；
（2）根据绝对值化简的法则进行化简即可；
（3）先根据绝对值化简法则进行化简，然后再进行二次根式的加减运算．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），，
故答案为：，；
（3）
．
7．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
8．在计算时，小敏的解题过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
． 第四步
(1)小敏从第________步开始出现错误．
(2)正确的答案是______________．
【答案】(1)二
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
（1）小敏在第二步去括号时，错误地将减号分配，导致符号错误；
（2）正确计算需先化简根式，再去括号并合并同类项即可．
【详解】（1）解：小敏在第二步去括号时，对减号后的括号内各项未全部变号，
故从第二步开始出现错误．
（2）解：正确解题过程：
原式
．
正确的答案是．
9．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．
(1)正方形的边长为________________；（填最简二次根式）
(2)求长方形木板的面积；
(3)木工乙想从长方形木板中截出长为，宽为的长方形木条，求最多能截出几根这样的木条．
【答案】(1)
(2)长方形木板的面积为
(3)最多能截出3根这样的木条．
【分析】本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键．
（1）正方形的边长等于面积的算术平方根；
（2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可；
（3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解．
【详解】（1）解：正方形的边长为，
故答案为：；
（2）解：，
，
故长方形木板的面积为；
（3）解：，
因为，，
所以最多能截出3根这样的木条．
设计合适的盒子
素材1
团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2
为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务
（1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________；
（2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高；
（3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.