人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形授课ppt课件

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形授课ppt课件，共26页。PPT课件主要包含了正方形的定义是什么，正方形具有哪些性质，正方形，对角线互相垂直平分，对角线相等，邻边相等，有一个角是直角，对角线互相垂直，对角线相等且互相垂直等内容，欢迎下载使用。
掌握正方形的多种判定方法，能根据条件选择合适路径证明四边形是正方形.能规范书写正方形的证明过程，落实“先判矩/菱，再补另一类性质”的推理格式.经历正方形的判定定理的探究过程，进一步发展学生的推理能力和表达能力；感受特殊四边形之间的内在联系，体会几何知识的系统性与严谨性.
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
如何判定一个四边形是正方形呢?
要判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，再判定这个矩形也是菱形；或者先判定它是菱形，再判定这个菱形也是矩形.
分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB＝AD．求证：矩形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝90°．又∵AB＝AD，∴矩形 ABCD 是正方形(有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形)．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OB＝OD．∵AC⊥BD，∴AC 是线段 BD 的垂直平分线．∴AB＝AD．∴矩形 ABCD 是正方形．
已知：在矩形 ABCD 中，AC，BD是它的两条对角线，AC⊥BD．求证：矩形 ABCD 是正方形．
你能根据“正方形是有一个角是直角的菱形”得出什么判定方法？
菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
对角线相等且互相垂直平分
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD．又∵∠A＝90°，∴菱形 ABCD 是正方形(有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形)．
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝90°．求证：菱形 ABCD 是正方形．
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，∴四边形ABCD是正方形.
定义判定：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
如何判定一个平行四边形是正方形呢?
方法二：对角线相等且垂直
判定正方形的常见思路：1. 从边上证明：矩形 正方形；2. 从角上证明：菱形 正方形；3. 从对角线上证明：(1)矩形 正方形；(2)菱形 正方形；(3)平行四边形 正方形；(4)四边形 正方形.
如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .∴HE = EF = FG = GH .∴四边形 EFGH 是菱形 .∵△AEH ≌△BFE，∴∠2 = ∠3.又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.∴四边形 EFGH 是正方形 .
如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M．(1)求证：BE=CM；(2)延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.求证：四边形AEFN是正方形.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°．∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，∴∠BAE=∠FEM．在△ABE与△EMF中，∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，∴△ABE≌△EMF(AAS)，∴AB=EM．∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
证明：(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．∵DN=BE，∴△ABE≌△ADN(SAS)，∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．∵AE=EF，∴EF=AN．∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，∴四边形AEFN是平行四边形．∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形．∵∠AEF=90°，∴四边形AEFN是正方形．
1. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的菱形； (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：分别满足条件 (1) (2) (3) (4)的四边形都是正方形.
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 平分∠ACB， DE ⊥ BC，DF⊥ AC，垂足分别为 E，F . 求证：四边形 CEDF 是正方形.
证明：∵DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，∴∠DEC = ∠DFC = 90°.又∠ACB = 90°，∴四边形 CEDF 是矩形.∵CD 平分∠ACB，DE ⊥ BC，DF ⊥ AC，∴DF = DE .∴矩形 CEDF 是正方形.
3. 王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式， 于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示）， 让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合. 王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾. 你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？
解：不一定是正方形样式.理由：两次沿对角线对折丝巾能完全重合，说明丝巾四条边相等，这样的丝巾一定是菱形，但不一定是正方形.因为正方形不仅要求四条边相等，还要求四个角都是直角.