初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质教学课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）19.1 二次根式及其性质教学课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了学习目标，复习导入，新知探究，二次根式的定义，①根指数都为2，②被开方数为非负数，a叫作被开方数，归纳总结，是否含二次根号，被开方数是不是非负数等内容，欢迎下载使用。
1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题1 什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根?
如果一个正数x的平方等于a,即x2 = a，那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.0的算数平方根为0.
问题3 什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽为________m. (2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为__________.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为 ______.
上面的问题结果分别是： ， ， .
（1）这些式子表示的意义是？
分别表示65，a2+1， 的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
二次根式的两个必备特征
2.被开方数必须是非负数.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
式子 只有在满足条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 为二次根式的前提条件.
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即： 有意义⇔a≥0.2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即： 无意义⇔a＜0.
二、二次根式有意义的条件
练一练：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0.
1.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；（2） ；（3） .
2.当a=5时， 的值是______.
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
1.下列式子一定是二次根式的是( ) A. B. 　 C. 　 D.
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________.
3.已知x，y为实数，且y= − +4，求 的算术平方根.
19.1 二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
1.经历二次根式的三条性质的探究概括过程，学会类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用.（重点）2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
一、二次根式的双重非负性
1.已知实数m，n满足|m+3|+ =0，则m=_____，n=_____.
2.已知(x−2)2+ =0，则 xy 的值为_____.
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ，又∵面积为a，即 .
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
二、 =a（a≥0）
活动2 验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
例1 计算：
积的乘方：（ab）2=a2b2
练一练：
填一填，你发现了什么？
三、
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
性质3：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
（1） ；（2） .
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
例3 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.
【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．
利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
|a|（a为全体实数）
1.化简 的结果是( )A.±4B.±2C.4D.﹣4
2.当1