初中数学青岛版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组与实际问题第2课时教案

这是一份初中数学青岛版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组与实际问题第2课时教案，共7页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
《二元一次方程组与实际问题（第2课时）》是青岛版初中数学七年级下册第九章第三节第2课时的内容．本课是在学生掌握二元一次方程组解决实际问题的基本步骤后，进一步让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型的一节课，让学生掌握所求的量较多时如何列二元一次方程组，感受方程的模型思想，培养学生列二元一次方程组解决实际问题的基本思维，提高将实际问题转化为数学问题的能力．

二、学情分析
学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已经掌握了二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，由于学生之间存在个体差异，部分学生将实际问题转化为数学模型存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．

三、教学目标
1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型．
2．能够找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，列出方程组．
3．经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会数学的应用价值，感受数学文化在生活中的作用．

四、教学重难点
重点：熟练掌握利用二元一次方程组解决实际问题．
难点：在实际问题中找出已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，列出方程组．

五、教学过程
复习回顾
问题1：列方程组解决实际问题的一般步骤是什么
设未知数
二元一次方程组
实际问题
解方程组
寻等量关系
解释
解一元一次方程
实际问题的解
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评．
设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备．
探究新知
活动一：探究二元一次方程组的应用
弹簧不挂物体时的长度称为弹簧的自然长度．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧增加的长度是相同的．
问题2：在弹性限度内，某弹簧所挂物体质量与弹簧长度的数据如下表：
当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度是多少？
①设某弹簧的自然长度为xcm，弹性限度内所挂物体的质量每增加 1kg时，弹簧的长度增加ycm．
②依据表格寻找等量关系．
③列二元一次方程组．
④利用代入消元或者加减消元转化为一元一次方程．
⑤解方程解决实际问题．
解：设某弹簧的自然长度为xcm，弹性限度内所挂物体的质量每增加 1kg时，弹簧的长度增加ycm．根据题意，得
x+0.5y=11，x+3y=16. 解方程组，得x=10，y=2.
当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度为10+5×2=20(cm)．
答：当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度为20cm．
问题3：A，B两块试验田去年共产小麦500kg．今年采用新技术实现了增产，共产小麦562kg．已知A试验田今年比去年增产16%，B试验田今年比去年增产10%．今年A，B两块试验田的产量分别是多少？
等量关系：①A试验田产小麦+B试验田产小麦=500
②A试验田增产16%后+B试验田增产10%后=562
解：设去年A试验田产小麦xkg，B试验田产小麦ykg．
根据题意，得x+y=500，1+16%x+1+10%y=562.
解方程组，得x=200，y=300.
(1+16%)×200=232(kg)，(1+10%)×300=330(kg)．
答：今年A试验田产小麦232kg，B试验田产小麦330kg．
活动二：探究二元一次方程组解决实际问题的具体步骤
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的具体步骤：
（1）审题：弄清题意和题目中的等量关系；
（2）设元：用字母表示题目中的未知量；
（3）列方程组：根据2个等量关系列出方程组；
（4）解方程组：利用_代入消元法或加减消元法，解出未知数的值；
（5）检验作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：教师引导学生，帮助学生在解决实际问题时形成审题、找等量关系、设元、列方程组、解方程组的完整思路，积累做题的经验．
应用新知
例1．某中学七年级甲、乙两班共有93人其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有14的人、乙班有13的人参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人．
分析：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系．
等量关系：①甲班人数+乙班人数=93
②甲班人数的14+乙班人数的13 =27
解：设甲班有x人，乙班有y人．
根据题意，得x+y=9314x+13y=27 解方程组，得x=48y=45
答：甲班有48人，乙班有45人．
例2．通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
①快餐的总质量为300g；
②快餐的成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质；
③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%．
试分别求出营养快餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质的质量和所占百分比．
分析：本题所求量有四个，如何设未知数是解决问题的关键．根据第③条信息，蛋白质和脂肪的含量与其他未知量均有数量关系，所以可以考虑设它们的含量分别为x(g)和y(g)．
等量关系：
蛋白质和脂肪含量占50%；
碳水化合物和矿物质含量占50%．
解：设蛋白质有x(g)，脂肪有y(g)．则矿物质有2y(g),碳水化合物有(300×85% -x)(g)．
x+y=300×50%，300×85%−x+2y=300×50%. 化简得x+y=150， ①250−x+2y=150.②
①+②，得3y=45，解得y=15．所以x=150-y=150-15=135(g)，
2y=2×15=30(g)，300×85% −x=255-135=120(g)．
答：营养快餐中蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物的质量和所占百分比如下表．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：培养学生根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题的能力，总结解题的方法．
课堂练习
1．甲、乙两名同学各有若干零花钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲有50元；若甲把自己23的钱给乙，则乙的钱也为50元．那么甲、乙各有多少元？
解：设甲有x元，乙有y元，依题意得：x+12y=50，23x+y=50.
解方程组，得：x=37.5，y=25.
答：甲有37．5元，乙有25元．
2．某校七年级共有180名学生,他们的体质健康测试及格率为90%．如果男、女生的体质健康测试及格率分别为85%，94%，那么男、女生各有多少人？
解：设男生有x人，女生有y人，依题意得：x+y=180，85%x+94%y=180×90%.
解方程组，得：x=80，y=100.
答：男生有80人，女生有100人．
3．计划用若干节车皮装运一批货物． 如果每节装 15．5 吨，那么有 4 吨装不下，如果每节装 16．5 吨，那么还可多装 8 吨． 问有多少节车皮？多少吨货物？
解：设有x节车皮，y吨货物，
依题意得：y=15.5x+4y=16.5x−8 解方程组，得x=12y=190
答：有12节车皮，190吨货物．
师生活动：学生独立做题，然后小组内交流解决问题的过程，组内互助，完善过程，学生代表板演解决问题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升．
设计意图：让学生通过练习巩固二元一次方程组解决问题的思路，强化方程的模型思想．
课堂检测
1．一块锡铅合金，在空气中称得重为115kg，在水中称得重为103kg．已知在空气中15kg的锡在水中称得13kg，在空气中35kg的铅在水中称得32kg．这块合金中含锡和铅各多少千克？
解：设这块合金中含锡x千克，含铅y千克，
依题意得：x+y=1151315x+3235y=103 ，解得：x=45y=70
答：这块合金中含锡45千克，含铅70千克．
2．一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示．已知B，C两车站之间相距660千米．火车从B站出发，向C站方向匀速行驶，经过18分钟，距A站150千米；经过2小时，距A站524千米．问：火车从B站开出多少时间后可到达C站？
A
C
A B C
解：设火车的速度为x千米/时，A，B两站之间距离为y千米，
依题意得：0.3x+y=1502x+y=524 ，解得：x=220y=84 ．
火车从B站到达C站需时间：660220 =3（小时）．
答：火车从B站开出3小时后可到达C站．
3．下表是小红制作的一份记录表，其中空格处的字迹已模糊不清，但小红记得7:50~8:00时段内的电动车辆数与8:00~8:10时段内的货车辆数之比是5:4．根据这些数据，你能把这份记录表填完整吗？
2023年9月10日光明路7:50~8:10经过车辆记录表
单位:辆

解：设7:50~8:00经过的电动车有x辆，货有y辆，依题意得：
x+7+y+12=4430−x+7+45x+8=40 ，解得：x=25y=0 ．
所以7:50~8:00电动车有25辆，货车0辆，8:00~8:10电动车有5辆，货车20辆．
答：表格第一横排为：25，0，第二横排为：5，20，第三横排为：14，84．
4．某商场购进甲、乙两种商品后将甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少．
解：设甲商品的进价为x元/件，乙商品的进价为y元/件．
根据题意，得x+y+88=538，1+50%x×80%+1+40%y×85%=538.
化简，得x+y=450，1.2x+1.19y=538. 解得x=250，y=200.
答：甲商品的进价为250元/件，乙商品的进价为200元/件．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．怎样解决一些信息量大，关系比较复杂的实际问题？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
物体质量/kg
．．．
0．5
3
．．．
弹簧长度/cm
．．．
11
16
．．．
成分
蛋白质
脂肪
矿物质
碳水化合物
合计
各种成分的质量/g
135
15
30
120
300
各种成分所占百分比/%
45
5
10
40
100
车辆
电动车
公交车
货车
小汽车
合计
7:50~8:00
25
7
0
12
44
8:00~8:10
5
7
20
8
40
合计
30
14
20
20
84