青岛版（2024）七年级下册（2024）解二元一次方程组第3课时教学设计

这是一份青岛版（2024）七年级下册（2024）解二元一次方程组第3课时教学设计，共8页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教材分析
本节课《解二元一次方程组综合》是青岛版初中数学七年级下册第九章第二节《解二元一次方程组》第三课时的内容.是在学生学习了二元一次方程组的解法的基础上来学习的，通过这节课的学习学生会选择适当方法解二元一次方程组，加深和巩固对解二元一次方程组一般步骤的认识，并提高对二元一次方程组解法的熟练运用.

二、学情分析
学生已经学过二元一次方程组的解法，求解过程中始终应抓住消元的思想方法.讲解时以学生为主体，创设恰当的活动情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法.

三、教学目标
1.掌握解二元一次方程组的基本方法——代入消元法和加减消元法．
2.能根据二元一次方程组的特征选择适当的解法．
3.通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和体会化归的思想.

四、教学重难点
重点：二元一次方程组的基本方法——代入消元法和加减消元法．
难点：能根据二元一次方程组的特征选择适当的解法.

五、教学过程
复习回顾
问题1：代入消元法解二元一次方程组的过程是什么？
用一个未知数表
示另一个未知数
等量代换
代入另一个方程
解一元一次方程
解二元一
次方程组
等量代换

问题2：加减消元法解二元一次方程组的过程是什么？
比较方程组的两个方程中同一个未知数的系数
等式的基本性质
转化为一元
一次方程
解一元一次方程
解二元一
次方程组
和加减消元法
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评.
设计意图：通过回顾代入消元法和加减消元法，为灵活选择解法解二元一次方程组做好铺垫.
探究新知
活动一：探究解二元一次方程组的合适方法
问题3：加减消元法和代入消元法有什么异同？
共同点：它们都是通过消元解方程组，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个未知数.
不同点：消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”.
试一试：解方程组2x+y=7，①3x−4y=5.②
分析：观察方程组中第一个方程y的系数为1，可得到y＝7－2x，因此利用代入消元法解方程组.
解：由①得y=7-2x，③
将③代入②，得3x-4（7-2x）=5．解得x=3．
将x=3代入①，得y=1．
所以原方程组的解是x=3，y=1．
当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程中消元.
试一试：解方程组3x−2y=11，①2x+3y=16．②
分析：观察方程组中x，y的系数都不是1，也没有相等或互为相反数的，所以需要先变形，再利用加减消元法解方程组.
解：①×3，得9x-6y=33，③
②×2，得4x+6y=32，④
③+④，得13x=65.解得x=5．
将x=5代入①，得3×5-2y=11．解得y=2．
所以原方程组的解是x=5，y=2．
当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数都比较复杂时，往往选用加减法.
选用二元一次方程组的解法的策略：
1.当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程中消元.
2.当两个方程中，同一个未知数的系数相同或互为相反数时，将两个方程相减(或相加)，化为一元一次方程.
3.当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数都比较复杂时，往往选用加减法.
活动二：探究解较复杂二元一次方程组的方法
试一试：解方程组：x2+y3=5，3x−2y=−6．
分析：先化简第一个方程，使得x的系数相等，利用两式相加求解.
解：①×6，得3x+2y=30．③
将②+③，得6x=24．解得x=4．
将x=4代入②．得12-2y=-6．
解得y=9．所以原方程组的解是x=4，y=9．
先化简再求解
对于较复杂的二元一次方程组，一般先化简(去分母、去括号、移项、合并同类项等)，将方程组变形为二元一次方程组的标准形式:a1x+b1y=c1，a2+b2y=c2.，(a1，a2，b1，b2不同时为0)再根据未知数的系数的特点，选用代入法或加减法求解.
试一试：解方程组2021x−2022y=1，2023x−2024y=3．
分析：系数比较大，先用两式相减，得到关于x，y的关系式，再选择代入消元法解答.
解：②−①，得x-y=1． ③
变形得x=y+1， ④
将 ④代入①可得，2021y-2022y+2021=1，解得y=2020.
将y=2020代入④可得，x=2021.
所以原方程组的解是x=2021，y=2020.
两个方程中未知数的系数的绝对值都比较大，无论是直接选用代入法，还是加减法，运算量都是比较大的.将两个方程相减，得到一个系数的绝对值较小的方程，然后再将此方程与原方程组中的一个方程联立求解.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过用两种方法解二元一次方程组，加深对两种解法的认识，在对比中找到最优化的解法，提高学生对二元一次方程组解法的熟练运用，并培养学生归纳、概括能力.
应用新知
例1：解方程组x+2y=4， ①2x−3y=15.②
分析：方程①中x的系数为1，容易转化为x=4-2y，所以选择代入消元法.
解：由①得x=4-2y，③
将③代入②，得2（4-2y）-3y=15．解得y=-1．
将y=-1代入③，得x=6．
所以原方程组的解是x=6，y=−1．
分析：将方程①②中x的系数变成相等的，然后两式相减.
解：①×2，得2x+4y=8，③
③-②，得7y=-7．解得y=-1．
将y=-1代入①，得x=6．
所以原方程组的解是x=6，y=−1．
例2：解方程组3x−4y=7，①5x+6y=18．②
分析：把方程组中y的系数变成互为相反数，相加即可消去y，解方程组即可.
解：①×3，得9x－12y=21．③
②×2，得10x＋12y=36．④
③＋④，得19x=57，解得x=3．
把x=3代入②，得15+6y=18，解得y=12．
所以原方程组的解是x=3，y=12．
例3：解方程组x−y3=x+y2，2x−5y=7．
分析：观察方程组中存在分式方程，所以需要先变形，根据特点再利用加减消元法解方程组.
解：①×6，化简得x＋5y=0．③
②＋③，得3x=7，解得x=73．
把x=737/3代入②，得2×73－5y=7，解得y=−715．
所以原方程组的解是x=73，y=−715．
例4：已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元；又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁4共需33元．求苹果汁和橙汁的单价．
分析：①3瓶苹果汁+2瓶橙汁=23，②5瓶苹果汁+2瓶橙汁=33.
解：设苹果汁单价为x元，橙汁单价为y元，
根据题意得3x+2y=23，①5x+2y=33．②
②－①得2x=10，解得x=5．
把x=5代入①得3×5＋2y=23，解得y=4．
所以原方程组的解是x=5，y=4．
师生活动：学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解．
设计意图：学生进一步理解消元思想，选择合适的方法，培养学生的归纳概括能力和语言表达能力.
课堂练习
1.解方程组（1）x2+y3=5，①3x−2y=−6.② （2）3(x−1)=y+5，①5(y−1)=3(x+5)．②
（3）2x+3y=9，①5x−4y=−12．② （4）x+y=300， ①5%x+53%y=300×25%．②
解：（1）①×6，得3x+2y=30，③
②+③，得6x=24，解得x=4，
把x=4代入②，得3×4−2y=−6，解得y=9，
所以原方程组的解是x=4，y=9.
（2）方程组中两个方程化简为3x−y=8，①3x+5y=20.②
①+②，得4y=28，解得y=7.
把y=7代入①，得3x−7=8，
解得x=5.所以原方程组的解是x=5，y=7.
①×4，得8x+12y=36，③
②×3，得15x−12y=−36，④
③+④，得23x=0，解得x=0.
把x=0代入①，得3y=9，
解得y=3.所以原方程组的解是x=0，y=3.
（4）方程②两边同时乘100得：5x+53y=7500 ③
将①×5，得5x+5y=1500．④
③-④，得48y=6000．解得y=125．
将y=125代入①．得x=175．
所以原方程组的解是x=175，y=125．
2.解方程组y−1=3x−2，y+4=2x+1．
解：原方程组化为3x−y=5，①2x−y=2．②
①-②，得x=3．
将x=3代入①，得3×3-y=5．
解得y=4．
所以原方程组的解是x=3，y=4．
3.解方程组x4+y3=43，5x−9=6y−2．
解：原方程组化为3x+4y=16，①5x−6y=33．②
①×3，得9x+12y=48．③
②×2，得10x-12y=66．④
③+④，得19x=114，解得x=6．
把x=6代入①，18+4y=16，解得y=−12.
所以原方程组的解是x=6，y=−12．
师生活动：让学生独立解决，以达熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组，小组内展示，个别学生上台展示.
设计意图：巩固加减消元法或代入消元法的解题步骤，加深对消元思想的理解，提高解题技巧.
课堂检测
1.解方程组2a+b=3，4a−3b=5．
解：由①得b=3－2a，③
将③代入②得4a－3（3－2a）=5，解得a=75，
将a=75代入①得b=15．所以原方程组的解为a=75，b=15．
2.解方程组2m+7n=5，①3m+n=−2．②
解：①×3，得6m＋21n=15．③
②×2，得6m＋2n=－4．④
③－④，得19n=19 ，解得n=1．
把n=1代入①，得2m＋7=5 ，解得m=－1．
所以原方程组的解是m=−1，n=1．
3.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y 亩，依题意得
x+y=10， ①2000x+1500y=18000．②
由①得 y=10－x． ③
将③代入②，得 2000x ＋1500(10－x) =18000 ．
解得 x =6．将 x= 6 代入③，得 y = 4．
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6 亩、4 亩．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：让学生进一步掌握用解二元一次方程组的步骤和思路.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.解二元一次方程组怎么选择合适的消元方法？
设计意图：教师通过小结提升，总结方法，能根据二元一次方程组的特征选择适当的解法．

六、板书设计
9.2.3解二元一次方程组综合
解法策略 例1 例2

２．解复杂二元一次方程组的方法 例3 例4