数学二元一次方程组与实际问题第3课时教案

这是一份数学二元一次方程组与实际问题第3课时教案，共7页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教材分析
《二元一次方程组与实际问题（第3课时）》是青岛版初中数学七年级下册第九章第三节第3课时的内容.本课时在教材中处于关键位置，是对二元一次方程知识的深化与应用拓展，探究如何运用二元一次方程组解决更为复杂的实际问题，如行程、工程、销售等综合场景.这些问题涵盖多个数量关系，需要学生深入分析、合理设元、准确列方程求解，旨在培养学生将实际情境数学化的能力.

二、学情分析
学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已经学会了列方程组解决实际问题的一般步骤，但将实际问题转化为数学模型的能力不足，难以准确找出问题中的等量关系，分析问题的思路不够清晰、全面.因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略.

三、教学目标
1.经历根据实际问题列方程组的过程，体会画图或列表等方式在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用．
2.经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，增强数学的应用意识．
3.通过对列二元一次方程组解决应用题的教学，体会列方程组来解应用题的优越性，同时渗透把未知转化为已知的思想.

四、教学重难点
重点：经历和体验用方程组这一模型解决实际问题的过程，并体验用画图或列表的方法分析数量关系.
难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解释实际问题.

五、教学过程
复习回顾
问题1：列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
设未知数
二元一次方程组
实际问题
解方程组
寻等量关系
解释
解一元一次方程
实际问题的解
具体步骤：
（1）审题：弄清题意和题目中的等量关系；
（2）设元：用字母表示题目中的未知量；
（3）列方程组：根据2个等量关系列出方程组；
（4）解方程组：利用_代入消元法或加减消元法，解出未知数的值；
（5）检验作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评.
设计意图：通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，让学生再次回忆列方程组解决实际问题的一般步骤.
探究新知
活动：探究二元一次方程组的应用
问题2：长江上一艘游船从沙市出发，船速为17km/h，经过若干小时到达宜昌.如果船速提高1km/h，那么用同样多的时间，游船可从沙市到达宜昌上游9km处的葛洲坝.提速前，游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少？沙市到宜昌的航程是多少？
分析：借助线段图分析它们之间的关系.
问题：题目中有哪些已知量？
提速前后的船速：提速前船速为17km/h，提速后船速为18km/h，提速前后航程差：9km.
问题：我们应该如何设未知数？
问题：提速前，游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少？沙市到宜昌的航程是多少？
解：设游船提速前从沙市航行到宜昌所用的时间为xh，沙市到宜昌的航程为ykm.
根据题意，得17x=y，17+1x=y+9. 解方程组，得x=9，y=153.
答：提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间为9h，沙市到宜昌的航程为153km.
问题3：果园租用甲、乙两种冷柜车运送一批水果，前两次租用这两种冷柜车的信息如下表：
第三次运送水果时租用了3辆甲种冷柜车和5辆乙种冷柜车.如果每吨水果的运费为280元，那么第三次运送水果应支付运费多少元？
分析：第三次运送水果的费用与运送的吨数有关，所以需要先求出甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果的吨数.
等量关系： 3辆甲运货量+5辆乙运货量 =15.5，
5辆甲运货量+6辆乙运货量=35.
解：设甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果xt，yt.
根据题意，得 2x+3y=15.5，5x+6y=35.
解方程组，得x=4，y=2.5.
第三次运送水果所需费用为(3×4+5×2.5)×280=6860(元).
所以，第三次运送水果应付运费6860元.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过层层设问将问题细化，引导学生进行分析和思考，将题目中的数据用线段图、表格进行整理，使思路更清晰.学生结合线段图、图表就能顺利列出方程，要求学生写出规范的解答过程，培养学生的计算、表达等多方面的能力.
应用新知
例1.甲、乙两人从相距36千米的两地匀速相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇.请分析题中的相等关系你会用示意图表示数量关系吗？甲、乙两人每小时各走多少千米？
等量关系：4.5小时甲路程+2.5小时乙路程=36
3小时甲路程+5小时乙路程=36

解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，由题意得：
2.5+2x+2.5y=36，3x+3+2y=36. 解得：x=6，y=3.6.
答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时.
例2：小刚与小玲一起去水果店买水果.小刚买了3kg苹果，2kg梨，共花了18.8元.小玲买了2kg苹果，3kg梨，共花了18.2元.你能算出1kg苹果多少元，1kg梨多少元吗？
问题1:题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量：苹果的单价，梨的单价.
设未知数：设苹果的单价为 x 元/千克，梨的单价为 y 元/千克.
问题2：题中有哪些等量关系？
3 千克苹果和2千克梨共 18.8 元；
2 千克苹果和 3 千克梨共 18.2 元.
分析：设1kg苹果x元，1kg梨y元，由题意：
解：设1kg苹果x元，1kg梨y元，由题意：
3x+2y=18.82x+3y=18.2 解得：x=4y=3.4
答：1kg苹果4元，1kg梨3.4元.
师生活动：学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解．
设计意图：培养学生利用线段图、图表处理信息的能力和习惯，提高解题技巧，锻炼运用二元一次方程组解决复杂的实际问题的能力.
课堂练习
1.根据题意，列方程组：
小亮和小莹练习跑步，如果小亮让小莹先跑10m，那么小亮跑5s就能追上小莹；如果小亮让小莹先跑2s，那么小亮跑4s就能追上小莹.两人每秒各能跑多少米？
解：设小亮每秒跑x米，小莹每秒跑y米，
依题意得：5x=5y+10，4x=4y+2y.
2．商场用36000元购进甲、乙两种玩具，全部销售完后共获利6000元.甲进价为120元/个，售价为138元/个；乙进价为100元/个，售价为120元/个.该商场购进甲、乙两种玩具各多少个？
解：设该商场购进甲种玩具x个，乙种玩具y个，
依题意得：120x+100y=36000，138−120x+120−100y=6000.
解方程组，得 x=200，y=120.
答：该商场购进甲种玩具200个，乙种玩具120个.
3.A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机的平均速度与风速.
解：设飞机的平均速度为xkm/h，风速为ykm/h.
依题意，得x+y×12.5=9750，x−y×13=9750.化简，得x+y=780 ①，x−y=750 ②.
①+②，得 2x=1530.解得x=765.把x=765代入①，得y=15.
这个方程组的解为x=765，y=15.
答：飞机的平均速度为765km/h，风速为15km/h.
师生活动：学生独立做题，然后小组内交流解决问题的过程，组内互助，完善过程，学生代表板演解决问题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升.
设计意图：培养根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题的能力，引导学生发现并总结根据实际问题提炼数量关系的方法.
课堂检测
1.A，B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.
依题意得7x+y=140，10x−y=140. 解得x=17，y=3.
答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.
2.张明沿公路匀速前进，每隔4min就迎面开来一辆公共汽车，每隔6min就有一辆公共汽车从背后超过他.假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1200m，求张明前进的速度和公共汽车的速度.
解：设张明前进的速度是xm/min，公共汽车的速度是ym/min.
依题意得4x+4y=1200，6y−6x=1200. 解得x=50，y=250.
答：张明前进的速度是50m/min，公共汽车的速度是250m/min.
3.七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是：
（1）一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低0.4元.
（2）一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元．
这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元．这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少？
解：设这家文具店A，B型毛笔的零售价分别为x元和y元．
根据题意，得20x+15y+20×2−15y−0.6=325，20x+20×2−20x−0.4+15y+20−15y−0.6=309.
解方程组，得x=5，y=6.
答：这家文具店A，B型毛笔的零售价分别为5元和6元．
4.一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，求这三种产品的总件数．
解：设展板x件，宣传册5x件，横幅y件．
根据题意，得x+0.2×5x+0.5y=25，60x+5x×3.5+20y=975.解方程组，得x=10，y=10.
x+5x+y=70(件)
答：这三种产品的总件数为70件.
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：让学生明确实际问题转化为数学问题关键是找出问题中的相等关系，列出二元一次方程组，从而体会方程组的应用价值.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是什么？
设计意图：通过归纳小结，提升对所学知识的认识和理解．
实践作业
请你以实际生活为背景：编一道二元一次方程组应用题，在小组内与大家分享，看看谁能最快解出答案.

六、板书设计
9.3二元一次方程组与实际问题
基本步骤：设未知数 例1
寻找等量关系
列二元一次方程组 例2
转为一元一次方程组
实际问题的解

第一次
第二次
甲种冷柜车/辆
2
5
乙种冷柜车/辆
3
6
累计运货量/辆
15.5
35
苹果
梨
一共花了
小刚
3x
2y
18.8
小玲
2x
3y
18.2