高中数学人教版第一册上册第三章 数列等差数列的前n项和表格教学设计及反思

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课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
秋季
课题
等差数列的前n项和公式（第一课时）
教科书
书 名：数学选择性必修第二册教材
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
引导学生结合等差数列的特征，探究等差数列的前n项和公式推导方法.
会用等差数列前n项和公式解决一些简单问题.
教学内容
教学重点：
探究等差数列的前n项和公式推导方法.
教学难点：
为了避免对项数的奇偶讨论，从“首尾相加”到“倒序相加”的转化.
教学过程
新课引入
高斯小故事：
很多同学都听说过这样一个故事，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
当其他同学忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
这是个等差数列求前100项和的问题.
思考：
1.高斯的求和方法，利用了等差数列怎样的性质？
2.我们能参考高斯求数列和的方法，推导等差数列中 的公式吗？
设数列，那么高斯在计算中利用了
高斯的计算方法可以表示为
等差数列性质的应用，使不同数的求和问题转化成了相同数的求和，从而简化了运算.
将上述方法推广到一般，可以得到：
当是偶数时，有
于是有
当为奇数时，有
所以，对任意正整数都有

思考：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
如果对公式做变形，可得
相当于两个相加，结果变成个相加.
受此启发，我们得到下面的方法：
将上述两式相加，可得
所以
.
探究：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？
公式推导
对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示：
两式相加，得
由此得到等差数列的前项和公式
（1）
把等差数列的通项公式代入，可得
（2）
思考：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
公式应用
已知数列是等差数列.
若求；
若求；
若求.
设计意图：
熟悉等差数列前项和公式；
熟练等差等差数列前项和公式与等差数列基本量之间的关系.
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
设计意图：让学生体会，等差数列的前项和公式是以为变量的函数关系，从函数视角看等差数列前项和公式，公式中含有和两个参数.给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定.
逆向探究
将等差数列前项和公式变形，可以得到
即，的形式.
探究1.若数列的前项和公式，则数列是不是等差数列？
探究2.若数列的前项和公式，则数列是不是等差数列？
设计意图：让学生理解等差数列前项和也是关于的函数关系，并能够进一步明确其函数关系的性质特征.
应用练习
在等差数列中.
已知，，求.
已知，，求.
已知，，求.
已知，，，求和 .
解：（1）.
（2）.
（3）设，
由，可得
解得
所以.
（4）由
解得.
设计意图：让学生熟悉等差数列前项和的多种公式形式，并从函数视角理解等差数列前项和与通项公式与各基本量之间的关系.
小结
倒序相加法求和的适用情境
等差数列的前项和的各种形式
等差数列的前项和的各种不同形式所强调的等差数列的基本量或函数特
布置作业
完成作业练习.