初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 直角三角形测试题

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题型一 直角三角形的性质与判定
一、单选题
1．在中，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．一个三角形的两个内角分别为和，且，则这个三角形是（ ）三角形
A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定
3．在下列条件中：①，②，③，④，⑤，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题
5．中，，，则 °．
6．在中，，，则的度数是 ．
7．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：
①；
②；
③，，；
④，其中可以判定是直角三角形的有 个．
题型二 直角三角形性质的基础应用
一、单选题
1．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（ ）
A．B．C．D．
2．在等腰中，，于，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图， ，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，在同一直线上，已知， 的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．如图，在，，是边上的高，，，则 ．
7．如图，在中，，，于点，则= °
8．如图，，，，若，则 ．
9．如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ．
10．如图，，交于点G，过点F作交于点H，连接，若平分，，则 ．
11．一副三角板如图所示摆放，C，B，E三点共线，，，．若，则的度数为 ．
12．如图，在3×3的正方形网格中，则 °．
题型三 利用方程求解直角三角形中锐角的度数
一、单选题
1．在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大，则该三角形中较小锐角的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．一个三角形中，有一个角是另外两个角度数之和的两倍，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
二、填空题
3．已知一锐角度数→已知两锐角关系在中，．若，则的度数为 ．
4．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形．
5．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ．
6．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，∠A=3∠B＋10°，则∠B等于 度．
题型四 分类讨论求角的度数
一、单选题
1．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于( )
A．或B．C．D．或
2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ．
题型五 一线三垂直模型基础应用
一、单选题
1．如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题
2．如图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m．
3．如图，已知，，，则正确的结论是 ．（填序号）
①；②； ③； ④
4．如图，在中， ，，直线经过点，与相交 于点F，且于，于．给出下面四个结论：①；②与互余；③；④．其中，正确的序号为 ．
5．如图，，，，若，则 ．
6．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
7．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，求 cm．
8．如图所示，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，于点，于点，且，，则梯形的面积是 ．

9．如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为 ．
三、解答题
10．如图，点、、共线，、两点在直线上方，，，，．求证：．
题型六 八字模型的应用
一、填空题
1．如图，在中，，，且与交于点H，若，则的度数为 °．
2．如图，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，交延长线于点F，，，则的长为 ．
3．如图，，，垂足为，，垂足为，，，则 ．
4．如图，在中，，的高，相交于点F．则的度数是 ．
5．如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
6．如图，在中，，平分，，交的延长线于点，若，则 ．
7．如图，和均为等腰直角三角形，点E在上，若，则的度数为 ．

8．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 .
题型七 命题与逆命题、定理与逆定理
一、单选题
1．下列真命题中，不是公理的是（ ）
A．同角的余角相等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行
D．三边分别相等的两个三角形全等
2．下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．作射线
D．同角的补角相等
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．每个命题不一定都有逆命题
B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题仍是真命题
D．假命题的逆命题未必是假命题
4．下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等D．延长至D使
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C．如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么
D．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
6．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是( )
A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形
B．等腰直角三角形的角都是
C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形
D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形
二、填空题
7．“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？ ．（填“有”或“没有”）
8．写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题 ．
三、解答题
9．（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整：
求证：．
证明：因为（已知），
又因为（ ），
所以（等量代换）．
所以 （ ），
所以（ ）．
又因为（已知），
所以 （ ）．
所以 （两直线平行，内错角相等）．
所以（等量代换）．
（2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题．
题型八 直角三角形全等的HL判定
一、单选题
1．如图，在△ABC中AB=AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（ ）
A．角平分线AD，全等依据SAS
B．中线AD，全等依据SSS
C．角平分线AD，全等依据HL
D．高线AD，全等依据HL
2．如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（ ）
A．角平分线AD，全等依据SASB．中线AD，全等依据SSS
C．垂直平分线AD，全等依据HLD．高线AD，全等依据HL
二、填空题
3．如图，已知AB⊥AC，BD⊥CD，根据“HL”判定△ABC≌△DCB，还需添加的条件是 ．
4．如图,已知△ABC的两条高AD、BE交于F,AE=BE,若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添加条件： .
三、解答题
5．如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
(1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB于点M，交BC于点N，连接DM，DN，MN交BD于点H（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
(2)在（1）的条件下，求证：EM=FN．请补全下面的证明过程．
证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ① （ ② ），
∠ABD=∠CBD．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴BM=DM，BN=DN，∠BHM=∠BHN=90°．
在△BHM和△BHN中，
∠ABD=∠CBDBH=BH∠BHM=∠BHN
∴△BHM≌△BHNASA，
∴ ③ ，
∴DM=DN（ ④ ）．
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEM=∠DFN=90°．
在Rt△DME和Rt△DNF中，⑤DE=DF
∴Rt△DME≌Rt△DNFHL，
∴EM=FN．

题型一 利用勾股定理解直角三角形
一、单选题
1．对于边长为4的等边，以点C为坐标原点，所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A的坐标为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，是等腰直角三角形，，是等边三角形，且，连接CD．则的面积为（ ）
A．8B．4C．2D．1
3．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且．若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．等边三角形的面积为，则其边长为 ．
5．已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则 ．
6．如图，等边的边长为4，是的中线，点E是边上的动点，点P是中线上的动点，则的最小值是 ．
7．如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为 ．
8．如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ．
9．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是 ．
10．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ．
三、解答题
11．如图，在等边三角形中，，点是y轴上的一点，连接．
(1)求点A的坐标；
(2)求四边形的面积．
12．如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长度．
题型二 双等腰直角三角形手拉手模型
一、解答题
1．如图，已知：，，的平分线交于点，过作于点， 求证：
2．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且，连结延长线交于．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并说明理由；
(3)若，求的长．
3．如图，已知和都是等腰直角三角形，，．
(1)如图①所示，延长交于点F，求的度数；
(2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由．
4．已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接．
(1)如图1，当点在线段上，如果，则________度；
(2)如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图3中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出线段，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系．

一、解答题
1．实践探究题
【问题情境】
在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若三点共线，求证：；
(3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为_______（直接写答案）．
2．建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.
模型应用：
(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.
3．【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
(1)【概念理解】：如图①，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
(2)【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ；
(3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
(4)【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，请直接写出的长．
4．如图1，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用．
设直线（）与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限．
①直接填写：______，______；
②求点E的坐标．
(2)如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由．
(3)如图4，若，将直线（）向下平移6个单位．点P是平移后直线上的动点，点M在x轴负半轴上，，Q是y轴上的动点，是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
5．【提出问题】
（1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：．
①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论．
②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论．
请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程．
【发现问题】
（2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换；
如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长；
【解决问题】
（3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．

6．【新课标·项目式学习】
【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律．
【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等．
【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上．
【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点，过点作于点，
【数据测量】，
【问题解决】
(1)求证：；
(2)求的长．
7．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
(1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，则长为_____，的度数为_____．
(2)如图2，为等腰直角三角形，，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），, ，交于点D，连接，．当时，求线段的长；
(3)如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积．
8．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若是“准互余三角形”，，，则______．
(2)如图，是直角三角形，．
①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”．
②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数．
9．定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若是“准互余三角形”， ，，则_____ ．
(2)如图，是直角三角形，．
①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由．
②若点E是边上一点，是“准互余三角形”， ，求的度数．
10．定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．
(1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．
①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由．
(2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________．