初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理复习练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理复习练习题，文件包含11三角形内角和定理分层作业原卷版docx、11三角形内角和定理分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共131页， 欢迎下载使用。
题型一 三角形内角和定理的证明与简单应用
1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、作l∥BC，则可得∠1=∠B,∠2=∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC=∠1+∠BAC+∠2=180°，故该选项不符合题意；
B、作DE∥AB,DF∥AC，则可得∠A=∠DEC=∠FDE,∠B=∠EDC,∠C=∠FDB，
∴∠A+∠B+∠C=∠FDE+∠EDC+∠FDB=180°，故该选项不符合题意；
C、如图，过点D作EF∥BC,GH∥AC,IJ∥AB，
，
则可得∠C=∠DHI=∠FDH，∠B=∠DIH=∠EDI，∠A=∠FJD=∠GDJ=∠IDH，
∴∠A+∠B+∠C=∠IDH+∠EDI+∠FDH=180°，
故该选项不符合题意，
D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意，
故选：D．
2．在△ABC中，若∠A+∠C=4∠B，则∠B的度数为（ ）
A．36∘B．72∘C．108∘D．144∘
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理将已知条件进行代换是解题的关键．
利用三角形内角和定理，将给定条件代入即可求解∠B．
【详解】∵ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A+∠C=4∠B（已知），
∴4∠B+∠B=180°，
即5∠B=180°，
∴∠B=36°．
故选：A．
3．已知△ABC中，∠A=50°，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180°B．220°C．230°D．240°
【答案】C
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：∠1+∠2=180°+50°=230°．
故选：C．
【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
4．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．100°B．40°C．70°D．40°或100°
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理.
分情况讨论这个40°的角是顶角还是底角．
【详解】解：若40°的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为40°；
若40°的角是底角，则顶角是180°−2×40°=100°；
综上所述， 这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
故选：D．
5．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．

【答案】三角形内角和定理
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠B+∠C+∠A=180°，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
6．在△ABC中，∠A=36°，3∠A=2∠B，则这个三角形是 三角形（填“锐角”，“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理应用，三角形形状的判断．根据已知条件，利用三角形内角和定理，先求出∠B的度数，再求出∠C的度数，根据角度判断三角形的形状即可．
【详解】解：∵∠A=36°，3∠A=2∠B，
∴3×36°=2∠B，即108°=2∠B，
∴∠B=54°，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−36°−54°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
7．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西70°方向，在小岛B的北偏西60°方向上，则∠C= °．
【答案】50
【分析】本题考查了方向角的计算，三角形内角和定理，由题意可得∠CAD=70°，∠DAB=30°，∠EBC=60°，AD∥EB，由平行线的性质可得∠ABE=∠DAB=30°，求出∠ABC=30°，再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
由题意可得：∠CAD=70°，∠DAB=30°，∠EBC=60°，AD∥EB，
∴∠ABE=∠DAB=30°，
∴∠ABC=∠EBC−∠ABE=30°，
∴∠C=180°−∠CAD−∠DAB−∠ABC=50°，
故答案为：50．
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．
【答案】360°
【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题关键．
延长DE、CB交于点G，通过三角形外角的性质，将所求的角度之和问题转化成两个三角形的内角和问题．
【详解】解：如图，延长DE、CB交于点G，设DG与AB交于点H，AF与DE交于点I，
∵∠ABC是ΔBGH的外角，
∴∠ABC=∠G+∠GHB，
同理，∠EIF=∠A+∠AHI，
∵∠GHB=∠AHI，
∴∠ABC+∠A=∠G+∠GHB+∠A=∠G+∠EIF，
∵三角形内角和为180°，
∴∠EIF+∠IEF+∠F=180°，∠G+∠C+∠D=180°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠IEF+∠F=360°，
故答案为：360°．
9．课堂回顾
在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理．
已知：如图1，△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
下面是小明与小颖的想法．
小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据．
证明：过点A作直线PQ∥BC，则
∠1=∠B,∠2=∠C，（______）
∵∠1+∠BAC+∠2=180°，（平角的定义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．（______）
小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段AC的右侧作∠ACE=∠A（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；可行，过程见解析
【分析】本题考查三角形内角和的证明，平行线的性质与判定；小明的想法逐步分析前后步骤之间的关系，再填上理由即可；小颖的想法由∠ACE=∠A可得AB∥CE，即可得到∠B+∠BCE=180°，等量代换以后得到∠B+∠BCA+∠A=180°．
【详解】解：小明的想法证明过程如下：
证明：过点A作直线PQ∥BC，则
∠1=∠B,∠2=∠C，（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠BAC+∠2=180°，（平角的定义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；
小颖的想法可行．
证明：如图，作∠ACE=∠A，
∴AB∥CE，
∴∠B+∠BCE=180°，
即∠B+∠BCA+∠ACE=180°，
∴∠B+∠BCA+∠A=180°．
10．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．
（1）如图1，∠A与∠B的等量关系是 ；如图2，∠A与∠B的等量关系是 ；对于上面两种情况，请用文字语言叙述： ．
（2）请选择图1或图2其中的一种进行证明．
【答案】（1）∠A=∠B,∠CAD+∠CBD=180°，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；（2）见解析
【分析】（1）根据对顶角相等∠BEC=∠AED，等角的余角相等即可求得∠A=∠B，连接AB，根据三角形内角和定理即可证明∠A+∠B=180°；根据结论即可用文字语言叙述；
（2）方法同（1）．
【详解】（1）如图1，
∵ BC⊥AC,BD⊥AD
∴∠ADE=∠ECB=90°
∵ ∠BEC=∠AED
∴∠A=180°−∠ADE−∠AED=90°−∠AED，∠B=180°−∠BCE−∠BEC=90°−∠BEC
∴∠A=∠B
如图2，连接AB
∵∠1+∠3+∠ACB=180°，∠2+∠4+∠ADB=180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠ACB+∠ADB=360°
∵ BC⊥AC,BD⊥AD
∴∠ADE=∠ECB=90°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°
即∠CAD+∠CBD=180°
文字语言叙述：如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；
故答案为：∠A=∠B,∠CAD+∠CBD=180°，如果两个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或者互补；
（2）选择图1，证明如下，
∵ BC⊥AC,BD⊥AD
∴∠ADE=∠ECB=90°
∵ ∠BEC=∠AED
∴∠A=180°−∠ADE−∠AED=90°−∠AED，∠B=180°−∠BCE−∠BEC=90°−∠BEC
∴∠A=∠B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同位角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键．
题型二 三角形的外角及其性质
1．如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠1=85°，∠C=30°，则∠B的度数（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
【详解】解：∵∠1=85°，∠C=30°，
∴∠B=∠1−∠C=55°．
故选：B．
2．如图，∠1和∠3都是△ABC的外角，已知∠3=125°，则∠1−∠2=（ ）
A． 50° B． 55° C． 65° D． 80°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到∠1=∠2+∠BAC，再利用∠3=125°求出∠BAC，即可解题．
【详解】解：∵ ∠1和∠3都是△ABC的外角，
∴∠1=∠2+∠BAC，
∵ ∠3=125°，
∴∠BAC=180°−∠3=55°，
∴ ∠1−∠2=∠BAC=55°
故选：B．
3．如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠1=∠2=36°，∠3=∠4，则∠DAC的度数为（ ）
A．65°B．30°C．36°D．35°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，由外角性质可得∠3=∠4=72°，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握三角形的外角性质与三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2=36°，
∴∠3=∠4=72°，
∴∠DAC=180°−∠3−∠4=36°，
故选：C．
4．如图，若∠B=45°，∠C=38°，则∠ADF的度数是（ ）
A．97°B．83°C．93°D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵∠B=45°，∠C=38°，且∠ADF=∠B+∠C，
∴∠ADF=45°+38°=83°，
故选：B．
5．将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键．
首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得∠1的度数即可．
【详解】解：如解图，设AC与BD交于点E，
根据题意可知，∠A=90°，∠ABC=45°，∠CBD=30°，
∴∠ABE=∠ABC−∠CBD=45°−30°=15°，
在△AEB中，∠1=∠A+∠ABE=90°+15°=105°，
故选：C．
6．一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．30°B．45°C．65°D．75°
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出∠1，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得：∠1=90°−60°=30°，
则∠α=45°+∠1=45°+30°=75°，
故选：D．
7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP=20∘，∠ACP=50∘，则∠P=（ ）
A．70°B．30°C．40°D．50°
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出∠P．
【详解】解：∵BP平分∠ABC，∠ABP=20°，
∴∠CBP=∠ABP=20°，
∵CP平分△ABC的外角∠ACD，∠ACP=50°，
∴∠PCD=∠ACP=50°,
∵∠PCD是△BCP的外角,
∴∠PCD=∠CBP+∠P,
∴∠P=∠PCD−∠CBP=50°−20°=30°．
故选：B．
8．如图，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），∠ABN的平分线BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C，在A，B的运动过程中，∠C的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于45°D．等于60°
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的外角性质；设∠CAB=α，∠DBA=β，由角平分线的定义得∠ABN=2α，∠OAB=2β，利用外角的性质得β−α=45°，再利用∠C=∠ABD−∠CAB即可求出.
【详解】解：设∠CAB=α，∠DBA=β，
∵BD平分∠ABN，CA平分∠OAB，
∴∠ABN=2β，∠OAB=2α，
∵∠ABN是△AOB的外角，
∴∠ABN=∠AOB+∠OAB，
∴2β=90°+2α，
∴β−α=45°，
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠C+∠CAB，
∴∠C=∠ABD−∠CAB=β−α=45°.
故选：C.
9．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠B=25°，则∠1−∠2的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，由折叠可得∠D=∠B=25°，进而由三角形的外角性质可得∠3=∠2+∠D=∠2+25°，∠1=∠B+∠3=∠2+50°，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠可得，∠D=∠B=25°，
∴∠3=∠2+∠D=∠2+25°，
∴∠1=∠B+∠3=25°+∠2+25°=∠2+50°，
∴∠1−∠2=50°，
故选：B．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是（ ）
A．70°B．110°C．70°或110°D．20°或160°
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．解题的关键是理解：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，两腰夹角叫做等腰三角形的顶角．
【详解】解：（1）当顶角是锐角时，如图△ABC，
∵BD是△ABC的高线，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=20°，
∴∠A=90°−∠ABD=90°−20°=70°，
即当顶角是锐角时，顶角的度数是70°；

（2）当顶角是钝角时，如图△EFG，
∵FH为△EFG的高线，
∴∠FHG=90°，
∵∠HFE=20°，
∴∠FEG=∠HFE+∠FHG=20°+90°=110°，
即当顶角是钝角时，顶角的度数是110°，
综上所述，等腰三角形的顶角为70°或110°．
故选：C．

11．如图所示，∠BDC=148°，∠B=34°，∠C=38°，则∠A= ．
【答案】76°/76度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长CD交AB于点E，利用三角形外角的性质，逐步推导得出∠A的度数．
【详解】解：延长CD交AB于点E．
∵∠BDC是△BDE的外角，
∴∠BDC=∠B+∠BED．
∵∠BDC=148°，∠B=34°，
∴148°=34°+∠BED，
∴∠BED=114°．
∵∠BED是△ACE的外角，
∴∠BED=∠A+∠C．
∵∠BED=114°，∠C=38°，
∴114°=∠A+38°，
∴∠A=76°．
故答案为：76°．
12．如图，在△ABC中，且∠A=∠ACD,∠B=∠ACB,∠BCD=∠BDC，则∠A= °．
【答案】1807
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义和性质，设∠A=∠ACD=x°，由三角形外角的定义和性质可得出∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，再根据已知条件进一步得出∠B=∠ACB=3x°，最后根据三角形内角和定理列出关系式求解即可．
【详解】解：设∠A=∠ACD=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，
∵∠BCD=∠BDC，
∴∠BCD=2x°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=3x°，
∴∠B=∠ACB=3x°，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴x°+3x°+3x°=180°，
∴x°=1807°，
故答案为：1807．
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，点P是边BC上的一个动点(不与B，C重合)，连接AP，在边AB上取一点Q，使得AQ=AP，连接PQ，
(1)若∠C=70°，∠CAP=20°，求∠BPQ的度数；
(2)若∠C=60°，∠CAP=x°，请用含x的代数式表示∠BPQ的度数；
(3)由（1）（2）的结论，请猜想∠CAP与∠BPQ的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)∠BPQ=10°
(2)∠BPQ=12x
(3)∠BPQ=12∠CAP，理由见解析
【分析】（1）依据题意，由∠APB是△ACP的一个外角，则∠APB=∠C+∠CAP=70°+20°=90°，故∠APQ=∠APB−∠BPQ=90°−∠BPQ，又∠AQP是△BPQ的一个外角，则∠AQP=∠BPQ+∠B，又AB=AC，故∠B=∠C=70°，可得∠AQP=∠BPQ+70°，结合AQ=AQ，从而∠APQ=∠AQP，最后可得90°−∠BPQ=∠BPQ+70°，进而可以得解；
（2）依据题意，类似（1），结合∠C=60°，∠CAP=x°，从而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（1）（2），设∠CAP=x°，类似（2）分析判断可以得解．
本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
【详解】（1）解：∵∠APB是△ACP的一个外角，
∴∠APB=∠C+∠CAP=70°+20°=90°
∴∠APQ=∠APB−∠BPQ=90°−∠BPQ，
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
∴∠AQP=∠BPQ+∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠AQP=∠BPQ+70°，
∵AQ=AP，
∴∠APQ=∠AQP，
∴90°−∠BPQ=∠BPQ+70°
∴∠BPQ=10°；
（2）解：∵∠APB是△ACP的一个外角，
∴∠APB=∠C+∠CAP=60°+x°，
∴∠APQ=∠APB−∠BPQ=60°+x°−∠BPQ，
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
∴∠AQP=∠BPQ+∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠AQP=∠BPQ+60°
∵AQ=AP，
∴∠APQ=∠AQP，
∴60°+x°−∠BPQ=∠BPQ+60°，
∴∠BPQ=12x°；
（3）解：∠BPQ=12∠CAP，理由如下：
由题意，设∠CAP=x°，
∵∠APB是△ACP的一个外角，
∴∠APB=∠C+∠CAP=∠C+x°，
∴∠APQ=∠APB−∠BPQ=∠C+x°−∠BPQ，
∵∠AQP是△BPQ的一个外角，
∴∠AQP=∠BPQ+∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AQP=∠BPQ+∠B=∠BPQ+∠C，
∵AQ=AP，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠C+x°−∠BPQ=∠BPQ+∠C，
∴∠BPQ=12x°=12∠CAP，即∠BPQ=12∠CAP．
14．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于180°
【定理证明】
（1）小红的证明思路是：如图1，在△ABC中，过点A作DE∥BC，再利用平行线的相关知识来证明：∠BAC+∠B+∠C=180°．请按照小红同学的思路继续完成证明过程；
【定理应用】
（2）如图2，若∠1=20°，∠2=30°，∠BDC=95°，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质得到∠BAD=∠B,∠CAE=∠C，再利用平角的定义即可证明结论；
（2）延长BD交AC于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°；
（2）解：如图，延长BD交AC于E，
由三角形的外角性质得，∠3=∠1+∠A，∠3+∠2=∠BDC=95°，
∴∠1+∠A+∠2=∠BDC=95°，
∵∠1=20°，∠2=30°，
∴∠A=95°−20°−30°=45°．
题型三 三角形内角和定理与角平分线和垂线
1．如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数是（ ）
A．85°B．95°C．105°D．125°
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．
先根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再由三角形内角和定理，即可求出∠ADB的度数．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAD=12∠BAC=12×80°=40°，
∵∠B=45°，
∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−45°−40°=95°．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=36°，∠C=72°，则图中度数为72°的角除∠C外还有 ．
【答案】∠ABC，∠BDC
【分析】本题考查了角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
根据三角形的内角和定理可求出∠ABC=72°，再由BD平分∠ABC结合三角形内角和定理，计算其他角的度数即可．
【详解】解：∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−36°−72°=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠BDC=180°−∠DBC−∠C=180°−36°−72°=72°，
∴图中度数为72°的角除∠C外还有∠ABC，∠BDC．
故答案为：∠ABC，∠BDC．
3．如图，△ABC中，由尺规作图痕迹得到的射线BF交AC于点G．若∠BAC=80°，∠C=40°，则∠AGB的度数为 ．
【答案】70°/70度
【分析】本题考查了作角平分线、三角形内角和定理的应用，先根据三角形内角和定理求得∠ABC，根据作图可得BG是∠ABC的角平分线，得出∠ABG=30°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠BAC=80°，∠C=40°，
∴∠ABC=180°−80°−40°=60°
根据作图可得BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=12∠ABC=30°，
∴∠AGB=180°−∠ABG=∠BAC=180°−30°−80°=70°
故答案为：70°．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，若∠ACE=36°，∠ADC=80°，则∠B的度数为 ．
【答案】53°/53度
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出∠BAC，再利用角平分线的定义求出∠BAD后即可求解．
【详解】解：∵CE⊥AB于点E，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAC=180°−∠AEC−∠ACE=180°−90°−36°=54°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=27°，
∴∠B=∠ADC−∠BAD=80°−27°=53°
故答案为：53° ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC∠B)，求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)15°
(2)15°
(3)12α
【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半解答即可；
（3）根据（2）中所得解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°解答．
【详解】（1）解：∵∠C=70°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°−40°−70°=70°，
∵AD⊥BC于D
∴∠ADC=90°
∴∠CAD=180°−90°−70°=20°，
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE=12∠BAC=35°
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=35°−20°=15°；
（2）解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12(180°−∠B−∠C)=90°−12(∠B+∠C)，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°−∠B，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=(90°−∠B)−[90°−12(∠B+∠C)]=12(∠C−∠B)，
∵∠C−∠B=30°，
∴∠DAE=12×30°=15°，
故答案为：15°；
（3）解：由（2）可知∠DAE=12(∠C−∠B)，
∵∠C−∠B=α，
∴∠DAE=12×α=12α．
题型四 三角形内角和定理与平行线
1．如图，已知直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=80°，那么∠3的大小为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，理解“两直线平行，内错角相等”及三角形内角和为180°是解题关键．
由“两直线平行，内错角相等”可得∠4=∠2=80°，然后根据三角形内角和定理计算求解．
【详解】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠4=∠2=80°，
又∵∠1=50°，
∴∠3=180°−∠4−∠1=50°，
故选：B．
2．如图，已知直线AB∥CD，EF平分∠CEB，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】本题考查角平分线性质，以及平行线性质，根据角平分线性质得到∠BEF=∠CEF，根据平行线性质得到∠2=∠BEF=∠CEF，∠1+∠BEC=180°，再进行等量代换，即可解题．
【详解】解：∵ EF平分∠CEB，
∴∠BEF=∠CEF，
∵直线AB∥CD，
∴ ∠2=∠BEF=∠CEF，∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠BEF+∠CEF=∠1+2∠2=180°，
∵ ∠1=40°，
∴∠2=180°−40°2=70°，
故选：D．
3．如图，AB∥CD，GH⊥EF于点G，∠1=31°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．121°C．149°D．150°
【答案】B
【分析】设EF交AB于点M，交CD于点N，由题意可得三角形GHM是直角三角形，根据想内角和定理得出∠BMG，根据平行线的性质以及对顶角相等即可求解．
【详解】如图，设EF交AB于点M，交CD于点N，
由题意可得三角形GHM是直角三角形，
∴∠BMG=180°−90°−∠1=90°−31°=59°.
∵AB∥CD，
∴∠GND+∠BMG=180°，
∴∠GND=180°−∠BMG=180°−59°=121°，
∴∠2=∠GND=121°
故选：B
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．
∠2=∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB．
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴∠1=∠BCA=30°，
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC=∠1=30°，
∴∠2=∠BAC=180°−2∠ABC=180°−2∠1=180°−2×30°=120°．
故选：C．
5．将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则∠BND为（ ）

A．45°B．60°C．90°D．105°
【答案】D
【分析】由直角三角形的性质得出∠F=30°，∠B=45°，由平行线的性质得出∠FDB=∠F=30°，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数．
【详解】解：∵∠E=60°，∠FDE=90°，
∴∠F=30°，
同理可得：∠B=45°，
∵EF∥BC，
∴∠FDB=∠F=30°，
∴∠BND=180°−∠B−∠FDB =180°−45°−30°=105°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
6．将一副三角板如图摆放，顶点B在边EF上，顶点F在边AC上，DF∥BC，则∠BFC的度数为（ ）
A．105°B．110°C．120°D．125°
【答案】A
【分析】根据两直线平行，内错角相等解得∠DFB=∠CBF,再结合三角板角的性质解答即可．
【详解】解：∵DF∥BC,∠DFE=30°,
∴∠DFE=∠CBF=30°,
∵∠C=45°,
在△BFC中，
∴∠BFC=180°−30°−45°=105°.
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角板角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．如图，在ΔABC中，∠C=90°．若BD//AE，∠CAE=70°，则∠DBC的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，即可求出答案．
【详解】解：∵在△ACB中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵BD∥AE，
∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，
∴∠DBC=180°-90°-70°=20°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
8．如图示，已知DE⊥CE，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．
(1)∠1与∠2有什么数量关系？请说明理由．
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
【答案】(1)∠1+∠2=90°，理由见解
(2)AD∥BC，理由见解
【分析】（1）根据DE⊥CE，得到∠DEC=90°，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由（1）知∠1+∠2=90°，根据角平分线的定义得到∠ADE+∠BCE=90°，进而得到∠ADC+∠BCD=180°，依据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论．
【详解】（1）∠1+∠2=90°，
证明：∵ DE⊥CE，
∴ ∠DEC=90°，
∵∠1+∠2+∠DEC=180°，
∴ ∠1+∠2=90°；
（2）AD∥BC，
证明：由（1）知∠1+∠2=90°，
∵ DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠1=∠ADE,∠2=∠BCE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠BCE=180°，即∠ADC+∠BCD=180°，
∴ AD∥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键．
9．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EF∥AB．
(1)求证：DE∥BC；
(2)若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1．
【答案】(1)见解析
(2)∠1=60°
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质；
（1）根据平行线的性质得出∠3=∠ADE，由∠3=∠B，得到∠ADE=∠B，证明DE∥BC；
（2）利用角平分线得出，∠ADE=∠EDC，由∠ADE=∠B，得到∠EDC=∠B，进而由∠2=4∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，得出6∠B=180°，由∠3=∠B，∠1=∠3+∠EDC=30°+30°=60°即可求解．
【详解】（1）证明：∵EF∥AB
∴∠3=∠ADE，
∵∠3=∠B，
∴∠ADE=∠B
∴DE∥BC，
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
由（1）知∠ADE=∠B，
∴∠EDC=∠B，
∵∠2=4∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，
∴6∠B=180°，
∴∠B=30°，
又∵∠3=∠B，
∴∠1=∠3+∠EDC=30°+30°=60°．
10．如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数；
（2）若∠A－∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数．
【答案】（1）130°；（2）55°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得结论；
（2）设∠A=x，则∠ACD=x-34°，根据∠EDB=∠A+∠AED，构建方程求解即可．
【详解】解：（1）∵∠CDB=∠A+∠ACD，
∴∠ACD=70°-45°=25°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠ACB=25°．
∵DE//CB，
∴∠EDC=∠BCD=25°，
∴∠DEC=180°-25°-25°=130°；
（2）设∠A=x，则∠ACD=x-34°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2x-68°．
∵DE//CB，
∴∠AED=∠ACB=2x-68°．
∵∠EDB=∠A+∠AED，
∴97°=x+2x-68°，
∴x=55°，
∴∠A=55°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
题型五 三角形内角和定理与折叠
1．如图，已知∠ACB=90°，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在边AC上的点B′处，若∠A=∠ADB′，则∠BDC的度数为（ ）
A．84°B．80°C．78°D．75°
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由三角形内角和定理得到∠A+∠B=90°，再由折叠的性质得到∠CB′D=∠B，∠BCD=∠ACD=45°，利用三角形外角的性质证明∠B=∠CB′D=∠A+∠ADB′=2∠A，进而求出∠A=30°，则∠BDC=∠A+∠ACD=75°．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
由折叠的性质可得∠CB′D=∠B，∠BCD=∠ACD=12∠ACB=45°，
∵∠A=∠ADB′，∠CB′D=∠A+∠ADB′，
∴∠B=∠CB′D=∠A+∠ADB′=2∠A，
∴∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=75°，
故选；D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD，点C的对应点为点E．若∠ABD=20°，则∠ABE的度数为 ∘．
【答案】50
【分析】本题主要考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据轴对称的性质即可得到∠DBE的度数，进而得到∠ABE的度数．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠ABD=20°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=90°−20°=70°，
根据轴对称的性质可知：∠DBE=∠DBC=70°，
∴∠ABE=∠DBE−∠ABD=70°−20°=50°，
故答案为：50．
3．如图，将△ABC沿DE折叠，∠A=30°,∠AED=125°，则∠A′DB= 度．
【答案】130
【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理的应用；根据三角形内角和定理以及折叠的性质可得∠A′DE=∠ADE=25°，进而根据平角的定义，即可求解．
【详解】解：∵∠A=30°,∠AED=125°，
∴∠ADE=180°−∠A−∠AED=180−30°−125°=25°，
∵折叠，
∴∠A′DE=∠ADE=25°
∴∠A′DB=180°−∠A′DE−∠ADE=180°−25°−25°=130°，
故答案为：130．
4．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=76°，则∠C等于 .
【答案】52°/52度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，可得∠DOF=∠A+∠B，由三角形内角和定理可得∠A+B=180°−∠ACB，再由三角形外角的性质推出∠DOF=180°−∠ACB，则∠ACB+76°=180°−∠ACB，即可求∠ACB的度数．
【详解】解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，
∴∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，
∴∠DOF=∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+B=180°−∠ACB，
连接CO并延长交AB于点M，
∵∠DOM是△COD的外角，∠FOM是△COF的外角，
∴∠DOM=∠CDO+∠DCO，∠FOM=∠CFO+∠FCO，
∴∠DOF=∠ACB+∠CDO+∠CFO=180°−∠ACB，
∴∠ACB+76°=180°−∠ACB，
∴∠ACB=52°，
故答案为：52°．
5．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=110°，则∠A的度数是（ ）
A．55°B．50°C．70°D．65°
【答案】A
【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质．
根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出∠ADE+∠AED=125°，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∴∠ADE+∠FDE=180°−∠1，
∠AED+∠FED=180°−∠2，
∴∠ADE+∠AED
=12×180°−∠1+180°−∠2
=12×360°−∠1+∠2
=125°，
∴∠A=180°−∠ADE+∠AED
=55°，
故选：A．
6．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=98°，则∠2的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得∠B=∠B′,∠C=∠C′，根据三角形的内角和可得∠B′+∠C′=120°，∠AEF+∠AFE=120°，再根据四边形的内角和为360°，可得∠1+∠2=120°，即可求解．
【详解】解：∵△ABC沿EF对折，
∴∠B=∠B′,∠C=∠C′，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠B′+∠C′=180°，
∵∠A=60°，
∴∠B′+∠C′=180°−60°=120°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AEF+∠AFE=180°−60°=120°，
∴∠B′+∠C′+∠AEF+∠AFE=120°+120°=240°，
∵∠1+∠2+∠B′+∠C′+∠AEF+∠AFE=360°，
∴∠1+∠2=360°−240°=120°，
∵∠1=98°，
∴∠2=120°−98°=22°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，三角形的内角和为180°．
7．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3＝15:3:2，则∠α的度数为（ ）

A．80°B．60°C．90°D．45°
【答案】C
【分析】根据∠1:∠2:∠3=15:3:2，∠1+∠2+∠3=180°，可求得∠2和∠3的度数，根据图形折叠的性质，可求得∠EBC和∠DCB的度数，根据∠α=∠EBC+∠DCB即可求得答案．
【详解】∵∠1:∠2:∠3=15:3:2，∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=135°，∠2=27°，∠3=18°．
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，
∴∠EBA=∠2=27°，∠DCA=∠3=18°．
∴∠EBC=∠EBA+∠2=54°，∠DCB=∠DCA+∠3=36°．
∴∠α=∠EBC+∠DCB=54°+36°=90°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关键．
8．如图，△ABC中，∠B=30°，点F是边BC上一点，点E在边AB上运动，将∠B沿直线EF翻折得到∠B′，连接B′F，当B′F⊥BC时，则∠BEF= °．
【答案】105或15
【分析】本题主要考查了图形的翻折，三角形内角和定理，解题关键是分情况讨论．
如图1，由∠B=30°，B′F⊥BC，得∠BFE=∠B′FE，∠BFE+∠B′FE=180+90=270°，得∠BFE=135°，即可得∠BEF=180°−∠BFE−∠B=15°；如图2，同理得∠BEF=105°．
【详解】解：如图1，由∠B=30°，B′F⊥BC，
得∠BFE=∠B′FE，∠BFE+∠B′FE=180+90=270°，
得∠BFE=135°，
得∠BEF=180°−∠BFE−∠B=15°；
如图2，同理∠BFE=∠B'FE，∠BFE+∠B'FE=90°，
得∠BFE=45°，
得∠BEF=180°−∠BFE−∠B=105°；
故答案为：105或15．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=40°，将纸片折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕与边AB、BC分别交于点D、E．若△ADB′是直角三角形，则∠BDE的度数为 ．
【答案】45°或65°
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
分类讨论，当∠ADB′=90°时和当∠AB′D=90°时，分别利用翻折的性质即可求解．
【详解】解：当∠ADB′=90°时，则∠BDB′=90°，
根据翻折的性质得，∠BDE=12∠BDB′=45°；
当∠AB′D=90°时，∠ADB′=90°−∠A=50°，
∴∠BDB′=180°−∠ADB′=130°，
根据翻折的性质得，∠BDE=12∠BDB′=65°；
故答案为：45°或65°．
10．如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 ．
【答案】110°/110度
【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出∠BAC=110°，由折叠得到∠E=∠C=30°，∠ADE=∠ADC，∠CAD=∠EAD，再根据平行线的性质得到∠BAE=∠E=30°，求出∠CAD=∠EAD=40°，根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=30°，
∴∠BAC=110°，
由折叠的性质得，∠E=∠C=30°，∠ADE=∠ADC，∠CAD=∠EAD
∵DE∥AB，
∴∠BAE=∠E=30°，
∴∠CAD=∠EAD=12∠BAC−∠BAE=40°，
∴∠ADE=∠ADC=180°−∠CAD−∠C=110°，
故答案为：110°．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠Aα，解得：α65°，不合题意，舍去；
④当∠B=2∠BAE时，则2α−80°=2α，此方程无解；
⑤当∠AEB=2∠BAE时，则260°−3α=2α，解得：α=52°