初中数学北师大版（2024）八年级下册2 直角三角形课时训练

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类型一、直角三角形的构成造
1．的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定是直角三角形的是（ ）
A．，，B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判断即可．
【详解】解：A、，
三边分别为a，b，c的不是直角三角形，符合题意；
B、，，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、，
∴，
三边分别为a，b，c的△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、，
，
三边分别为a，b，c的是直角三角形，不符合题意；
故答案选：A．
2．在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答．
【详解】解：∵，则
∴是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵，
∴可设，
∴，
即，
∴是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵，且，
∴,
∴是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴最大角，
∴不是直角三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
3．由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案．
【详解】解：A、，
、、组成的三角形是直角三角形；
B、，
、、组成的三角形不是直角三角形；
C、，
、、组成的三角形不是直角三角形；
D、，
、、组成的三角形不是直角三角形．
故选：A．
4．已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（ ）个
①；②；③；④．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③．
【详解】解：∵
∴最大的，故①不符合题意；
∵，
∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意；
∵，
∴，
∴，则该是直角三角形，故③符合题意；
∵，
∴，则该是直角三角形，故④符合题意；
故选：C．
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．在中，的对边分别是，若，则
C．在中，的对边分别是，若，则
D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟悉勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，A错误；
在中，的对边分别是，若，则错误；
在中，的对边分别是，若，则错误；
如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，D正确，
故选：D．
6．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】解：，
三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
7．的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项A；结合，可设，易得，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项B；由，可得，结合三角形内角和定理可解得，可知是直角三角形，即可判断选项C；结合，可设，结合三角形内角和定理可解得，易得，可知不是直角三角形，即可判断选项D．
【详解】解：A.因为的三条边分别为，结合，可知是直角三角形，本选项不符合题意；
B.因为，可设，则，可知是直角三角形，本选项不符合题意；
C.因为，可得，结合可得，解得，即是直角三角形，本选项不符合题意；
D. 因为，可设，结合，可得，解得，所以，所以不是直角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
8．中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（ ）
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则是直角
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴，
∴是等边三角形，原选项不符合题意；
、由，
设，，，
∵，
∴，解得：，
∴，，，
∴是锐角三角形，原选项不符合题意；
、由，
设，，，
∴，
∴是直角三角形，原选项符合题意；
、∵，
∴，即，
∴是直角，原选项不符合题意；
故选：．
类型二、在图形中构造直角三角形
9．如图，在2×3的正方形网格中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：取格点，连接，

∵，，，
∴，
∴，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
11．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】7或17
【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．
【详解】解：当E在线段AD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEC=∠FEC==135°，
∴∠CED=45°，
∴CD=ED=5，
∴AE=AD-ED=12-5=7；
当E在线段BD上时，
连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，
∵∠AEF=90°，
∴∠CEF=∠CEA=45°，
∴ED=CD=5，
∴AE=AD+DE=17，
故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
13．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
14．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图①中，以点B为直角顶点，作直角三角形，面积为5；
(2)在图②中，以为底边，作等腰三角形，面积为10．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形等知识．
（1）根据题意利用勾股定理及其逆定理，进行作图即可；
（2）根据题意利用勾股定理及其逆定理，进行作图即可．
【详解】（1）解：如图，直角三角形即为所求，
（2）如图，等腰三角形即为所求，
15．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
(1)直接写出___________，___________，___________；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)的形状是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值；
（2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由；
【详解】（1）解：、，，，
故答案为：，，；
（2）解：的形状是直角三角形；
理由如下：
∵ ，，；且
∴的形状是直角三角形．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点．
(1)画出；
(2)已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为直角三角形．理由见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：为直角三角形．理由如下，
理由：由勾股定理得，，
，
，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中，画线段，且使，连结；
(2)线段的长为______，的长为______，的长为______；
(3)为______三角形，点A到的距离为______．
【答案】(1)图见详解
(2)，，5
(3)直角，
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可．
（2）利用勾股定理分别计算即可．
（3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：由勾股定理可得：，，；
故答案为，，5；
（3）解：由（2）可知：，
∴，
∴是直角三角形，
∴点A到的距离为；
故答案为：直角，2
18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
(1)填空：______，______，______．
(2)是直角吗？请说明理由．
(3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标．
【答案】(1)；；5
(2)是直角，理由见解析
(3)图见解析，， ，（答案不唯一）
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）利用勾股定理计算求解，即可解题；
（2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题；
（3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）．
【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1，
，，．
故答案为：，，5；
（2）解：是直角，理由如下：
，
为直角三角形，
是直角．
（3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系，
由图知，， ，．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上.
(1)是直角三角形吗?请说明理由；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)是，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理得出，，,再根据勾股定理的逆定理，即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
，
,
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：四边形的面积
．
20．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以AB为边的格点三角形（顶点在格点上）．
(1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）．
(2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可．
（1）根据题意作符合要求的直角三角形即可；
（2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可．
【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）；
（2）解：即为所求（答案不唯一）．
21．在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形．
(1)在图1中画一个．
(2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况；
（2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可；
【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时，
（2）解：如图：
点Q的横纵坐标相等，
点Q在直线上，
根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键．
类型三、勾股定理逆定理的实际应用
22．教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动．
【解析】
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．
【答案】(1)米
(2)株
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
（1）连接，根据勾股定理求出的长即可；
（2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案．
【详解】（1）解如图，连接
，
（米）
至少需要米装饰彩带；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，
（平方米），
（平方米），
（株），
共需要种植株花卉．
23．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由：
(2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：）
【答案】(1)，理由见解析
(2)路线更短
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出，分别计算两条路线的长度，即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意可知，米，米，点在点的正东方米处，即米
∵，
∴是直角三角形，，
即；
（2）由题意可知，，
∴（米），
∴（米）
而（米）
∵，
∴路线更短
24．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
(2)试判断与的位置关系，并说明．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解；
（2）由勾股定理逆定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵的长为，的长为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
25．随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号．
(1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？
(2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？
【答案】(1)能，理由见详解
(2)秒
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积．
（1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案．
（2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论
【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶
过点C作于点D，如下图1所示：
∵，，，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号
（2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示．
在中，，，
∴，
同理∶，
∴，
∴(秒)．
答∶有秒可以接收到信号
26．已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．
(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由：
(2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：）
【答案】(1)两支架与为垂直的位置关系，理由见解析
(2)购物车把手到的距离为．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质；
（1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解；
（2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解．
【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下：
在中．
∵，，，且，
∴
∴，
答：两支架与为垂直的位置关系；
（2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h，
∴
∵，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：购物车把手到的距离为．
27．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和CE把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米．
(1)求四边形的面积；
(2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段DE的长度．
【答案】(1)平方米
(2)线段DE的长度为米
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵米，米
∴米
∵
∴是直角三角形，且
∴四边形的面积为平方米
（2）解：由（1）可得是直角三角形，
依题意，米，
设米，则米
在中，
∴
解得：，即线段DE的长度为米．
28．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“