初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）4 线段的垂直平分线练习题

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一、单选题
1．如图，垂直平分，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分 B．垂直平分 C．D．
2．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点D．三边上高的交点
3．如图，在，已知点在上，且，则点在（ ）
A．的垂直平分线上B．的平分线上
C．的中线上D．的垂直平分线上
4．下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，平分
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
6．如图，下列说法正确的是（ ）
A．若，则垂直平分
B．若，则垂直平分
C．若，则垂直平分
D．若，则垂直平分
7．下列说法中，正确的有（ ）
①P是线段上的一点，直线l经过点P且，则l是线段的垂直平分线；
②直线l经过线段的中点，则l是线段的垂直平分线；
③若，直线l经过点P且垂直于线段，则l是线段的垂直平分线；
④经过线段的中点P且与垂直的直线l是线段的垂直平分线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、解答题
8．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图：
(1)补全；
(2)做出点关于直线的对称点，连接、；
①直线________线段的中垂线（填“是”或“不是”）
②射线________的平分线（填“是”或“不是”）
9．求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
请把下面的说理过程补充完整．
已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、．
求证：、、的垂直平分线相交于点，___________
证明：连接、、．
点是边垂直平线上的一点，___________（ ）
同理可得，___________．（等量代换）．
点是___________边垂直平线上的一点（ ）
、、的垂直平分线相交于点．

10．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：．
(2)若，求证：直线垂直平分．
题型二 利用线段垂直平分线的性质求角的度数
一、单选题
1．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若∠C=24°，DB⊥BC，则∠A的度数为（ ）
A．24°B．30°C．33°D．66°
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；分别以点B和点D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线CP交AB于点E．则∠BCE的度数为（ ）
A．30°B．50°C．60°D．75°
3．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（ ）

A．110°B．120°C．125°D．130°
4．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=35°，∠C=2∠CAD，则∠BAE的度数为（ ）

A．15°B．25°C．30°D．35°
5．如图所示，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=AC，∠A=40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
6．如图，等边△ABC中，AD是BC的中线，点E在线段AD上，∠BEC=90°，则∠ACE等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
二、填空题
7．如图，在△ABC中，∠B=28°，∠BAC=72°，根据图中的作图痕迹，可得∠DCF的度数为 ．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，点P是直线DE上动点，连接PB，PC，当PB+PC最小时，∠PBC的度数为 °．
9．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA=40°，则∠B的大小为 ．
三、解答题
10．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°．
(1)尺规作图：①作AB边的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中；求∠DAE的度数．
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B，（_____）（填推理依据）
∵∠B=30∘，∴∠DAB=30∘，
∵∠C=40∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=110∘，
∴∠CAD=∠BAC−∠DAB=_____．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=12∠DAC=_____．
题型三 利用线段垂直平分线的性质求线段的长度
一、单选题
1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
3．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（ ）
A．17B．20C．25D．18
4．如图，在中，，若，，根据作图痕迹可知，的周长是（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．如图，是中边的垂直平分线，交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，在中，的垂直平分线交于点，若，则（ ）

A．B．C．D．
7．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．14B．13C．12D．11
二、填空题
8．如图，，，线段的垂直平分线交于D，交于E，D为垂足，，则 ．

9．如图，在中，D为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为19，，则的长为 ．
三、解答题
10．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)如果 ，，试求的周长；
(2)如果，求的度数．
题型四 线段垂直平分线的尺规作图
一、单选题
1．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ）
A．B．C．D．
2．某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（ ）
A．图1B．图2C．图3D．图4
3．如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线为直线l的垂线的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．如图，在中，，，用圆规和直尺作图，画出把分成两个三角形，使其中一个为等腰三角形，不符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题
6．下面是黑板上列出的尺规作图题．
(1)以上作法步骤是混乱的，正确的排序是________；
(2)步骤③中，的长满足的条件是_________；
(3)以下是的说理过程，请补全．
解：如图，连接．

由作图知，， ．
又因为，
所以 ．
所以．
根据平角的定义，所以 = ，
所以，所以直线．

题型一 利用垂直平分线的性质求最值
一、单选题
1．如图，在ABC中，AB=AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，ABC的面积为12，BC=4，则BM +DM的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
3．如图，△ABC中，AB=5,AC=9,BC=10,EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．10B．14C．15D．19
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8B．9.6C．8D．6
二、填空题
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E为边BC上的定点，CD=DE，AD=8，CD=3，AB=17，F是线段AB上的动点，CF交AD于点P，则EP+FP的最小值是 ．
三、解答题
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,1，B4,2，C2,3．
(1)请在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)线段AB的垂直平分线与x轴的交点坐标为 ；
(3)请在x轴上找一点P，使得PA+PB最小，则点P的坐标为 ；
(4)在y轴上是否存在一点Q，使QB−QC的值最大，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二 利用线段垂直平分线的性质判断多结论问题
一、单选题
1．如图，在等腰中，，，过点作于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接，则下面的结论：①点在的垂直平分线上；②；③．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论：
①≌； ②．
判断正确的是（ ）．
A．①②都正确B．①正确②错误
C．①错误②正确D．①②都错误
二、填空题
3．如图，在中，，平分，，，下列结论：①平分；②；③若，，则；④．其中正确的是 （填写序号）．
4．如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下4个结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）．
5．如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中：
①点在运动的过程中，始终有；
②当点在线段上时，；
③当点在线段上时，；
④当点不在线段上时，．
所有正确结论的序号是： ．
6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下面四个结论：
①是的平分线；
②；
③；
④点在线段的垂直平分线上．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
题型三 与线段垂直平分线相关的证明
一、解答题
1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E，F．
(1)若∠DAC=28°，求∠FDC的度数．
(2)试判断∠BDE与∠AED的数量关系，并说明理由．
2．在 △ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC 于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点 N，Q．
(1)如图，当 ∠BAC=80∘时，求 ∠PAQ的度数．
(2)当 ∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ？说明理由．
(3)在（2）的条件下，BC=10，求 △APQ的周长．
3．如图，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD．
(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；
(2)若△ABC与△BCD的周长之差为10，求AE的长．
4．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
(1)若∠ABC=70°，求 ∠AMN的度数．
(2)若AB=7cm，△MBC的周长是12cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB、AD于点 E、F、O， 连接CO、BO．
(1)若OB=1，求OA的长；
(2)若∠ABC=70°，求∠OCD的度数．
6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，
(1)求证：AC=2BF；
(2)连接DF，求证：AB垂直平分DF．
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．
(1)求证：AD是EF的垂直平分线；
(2)若AB=4，AC=5，ED=2，求△ABC的面积．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
(1)若∠BAC=40°，求∠EDA的度数；
(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
9．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，连接AD，AE．
(1)若BC=10，求△ADE的周长．
(2)设直线DM，EN交于点O，连接OB，OC．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数．
10．如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD,CE相交于F．
(1)求证：AE=AD；
(2)试判断AF所在直线与BC的位置关系，并证明．

一、单选题
1．如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（ ）．
A．2B．C．4D．
2．如图，三角形纸片，其中，，点为中点，的垂直平分线与的角平分线相交于点．将纸片沿（点在上，点在上）折叠，点恰好与点重合，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
二、填空题
4．如图，在中，，平分，，，下列结论：①平分；②；③若，，则；④．其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
5．如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，．
(1)若，求线段的长；
(2)求证：垂直平分．
6．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.
(1)求证：.
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，则________.
7．如图，已知．
(1)求证：；
(2)过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．
①连接，交于点，证明垂直平分；
②是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合．
8．在中，，，平分，，与线段的延长线交于点．
(1)如图1，直接写出的度数为_________；
(2)如图2，分别延长，交于点．
①试探究线段和的数量关系，并证明你的结论．
②若，则__________．
9．综合与实践——探究不同三角形三边的垂直平分线．
【证明】（1）如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，．判断直线是否是线段的垂直平分线，并说明理由；
【解题】（2）如图2，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，线段的垂直平分线交于点，交于点，求的度数；
【运用】（3）如图3，在中，，小明想在的内部找到一点，使得．小明______（填“能”或“不能”）找到满足题意的点．
已知：直线和上的一点，请用尺规作的垂线，使它经过点．
作法：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点和点（如图）．
②作直线，就是直线的垂线．
③分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点．