第二十章勾股定理表格式教案-人教版八年级数学下册

这是一份第二十章勾股定理表格式教案-人教版八年级数学下册，共21页。
20.1 勾股定理及其应用本章教材分析勾股定理是初中数学“图形与几何”领域的核心内容之一，在整个数学知识体系中占据承上启下的关键 地位.从知识衔接来看，它是对八年级上册所学“三角形三边关系”的深化，进一步揭示了直角三角形三边之 间特殊的数量关系，也充分依托已学的“二次根式”知识——学生在运用勾股定理求直角三角形边长(尤其 是非整数边长)时，需通过二次根式的化简、计算得出最终结果，实现“代数运算”与“几何图形”的紧密结合. 同时，勾股定理也为后续学习“解直角三角形”“圆的性质”(如直径所对圆周角为直角的应用)等内容奠定坚 实基础.从数学文化层面，勾股定理蕴含着丰富的历史背景(如中国古代的“勾股弦定理”、古希腊毕达哥拉 斯的发现),是培养学生数学文化素养、激发学习兴趣的优质素材.同时，本章内容也是中考的高频考点，常 与几何综合题、实际应用题结合考查，对学生数学思维能力和解题能力的提升具有重要意义.第 1 课 时 勾股定理第2课时 勾股定理的应用第 3 课 时 利 用 勾 股 定 理 作 图20.2 勾股定理的逆定理及其应用第1课时 勾股定理的逆定理第2课时 勾股定理及其逆定理的综合运用课题20.1第1课时 勾股定理授课人素养目标1.会用拼图的方法验证勾股定理，并会用这个定理进行简单的计算.2.会用勾股定理的数学模型解决实际问题.教学重点探索和验证勾股定理.教学难点用拼图的方法验证勾股定理.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边 问题：三个角的数量关系明确吗?三条边的数量关系明确吗?师生活动：教师引导，学生回答.研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三 角形，我国古人把直角三角形中较短的直角边叫作“勾”,较长的直角边叫作“股”,斜边叫作“弦”(在我国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “勾”,下半部分称为“股”).直角三角形中最长的边是哪条边?为什么?它们除 了大小关系，有没有更具体的数量关系呢?这就是我们要研究的问题.1.学生回忆并回答，为突破 本节难点做准备.2.回顾三角形的内角和是180°以及三角形任意两边 的和大于第三边，由三角形 三边的不等关系引导学生思考三角形三边之间是否 存在等量关系.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】1.请你算出下面各图中三个正方形的面积.你有什么发现?师生活动：在学生计算面积时可以引导学生利用正方形的面积等于边长的 平方来计算，也可以利用“割补法”进行计算.问题是思维的起点，通过问 题激发学生好奇、探究和主 动学习的欲望.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】观察特例→发现新知(1)你能找出图中正方形A,B,C的面积之间的关系吗?(2)正方形A,B,C所围等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系?师生活动：教师展示图片并提出问题.学生观察图片，分组交流讨论.学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A,B 中的小等腰直角三角形补成一个大正方形，得到正方形A,B的面积之和等于大 正方形C的面积.教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两 条直角边的平方和等于斜边的平方.深入探究→交流归纳等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两 直角边的平方和等于斜边的平方”呢?教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知观察下图：思考：上图中，每个小方格的面积均为1,请你分别计算出图中正方形A,B,C, A',B′,C′的面积，看看能得出什么结论.A的面积 B的面积 C的面积 4 9 13A'的面积 B′的面积 C′的面积 9 25 34正方形A,B,C的面积之间有什么关系?正方形A',B′,C′的面积之间有什 么关系?A的面积+B的面积=C的面积，A′的面积+B′的面积=C′的面积.师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形A,B,C的面积并完成填表.教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认知水平的学生，引导其用 不同的方法得出大正方形的面积.学生分组交流，展示求面积的不同方法，如： 在正方形C周围补出四个全等的直角三角形，从而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者将正方形C分割成四个全等的直角 三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积.学生利用表格有条理地呈现数 据，归纳得到：正方形A,B的面积之和等于正方形C的面积.在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得 到：两直角边的平方和等于斜边的平方.师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1:如果直角三角形的两直角边长 分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c² .拼图验证→加深理解利用拼图游戏验证勾股定理，并思考：能用下图证明这个结论吗?已知：在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a, b,c.求证： a²+b²=c² .证明：整个图形可以看作是边长为c的正方形，它的面积为c².也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b—a的正方形组成，其面积为所以可以得到等式：化简，得a²+b²=c² .师生活动：教师指导学生阅读教材第24页，了解赵爽是如何利用拼图的方 法来证明命题1的.学生在弦图验证的基础上，参照教材开展拼图活动，以小组 为单位，合作探究.总结定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a²+b²=c².1.渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高2.鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验.3.通过探究活动，调动学生 的积极性，激发学生探求新 知的欲望.给学生充分的时 间与空间讨论、交流，鼓励 学生敢于发表自己的见解， 感受合作的重要性。教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1 (教材第25页例1)如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未 知边的长.1.让学生对本节课的知识 进行最基本的运用，为下节 课勾股定理的应用做好F解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB²=AC²+BC²=8²+6²=100,所以 A B = 1 0 .(2)在Rt△DEF中，根据勾股定理， DE²+EF²=DF²,从而DE²=DF²—EF²=17²—15²=64,所以DE=8.例24个全等的直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理.你能说明其中的道理吗?请试一试.解：图形的总面积可以表示为也可以表示为∴c²+ab=a²+b²+ab.∴a²+b²=c². a【变式训练】1.在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,∠C=90°.(1)已知a=3,b=4,则c=5;(2)已知c=25,b=15,则a=20;(3)已知c=19,a=13,则b=8√ 3;(结果保留根号)(4)已知a:b=3:4,c=15,则b=12 .2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=4,∠B=45°,DC=1,则AC=3.3.如图，对任意符合条件的Rt△ABC,绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△AED,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之铺垫 .2 . 培养学生规范解题的 能力 .3.与前面的弦图验证相呼 应，让学生体会数形结合的 思想，了解勾股定理证法的 多样性.和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法.解：由旋转，得△ABC≌△AED, ∴S△ABC=S△AED ·∴S正方形ACFD=S四边形ABFE=SRt△BAE+SRI△BFE ·整理，得a²+b²=c² .师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A.12 B.13 C.144 D.194针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课 堂学习效果的目的.第1题图 第2题图2 .如图，在△ABC中， AB=AC=15,BC=18,AD为边BC上的中线，则 AD=12.3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°,∠DBC=90°,AD=3,AB=4,BC= 12,求CD的长.解：∵∠BAD=90°,AD=3,AB=4, ∴BD= √AB²+AD² =5.∵∠DBC=90°,BC=12, ∴ 根据勾股定理，得 CD= √BD²+BC²=13.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)什么是勾股定理?如何表示?(2)勾股定理只适用于什么三角形?2.布置作业：(1)教材第25～26页练习第1,2,3题.(2)教材第30页习题20.1第1,7题.注重课堂小结，激发学生参 与课堂总结的主动性，为每 一个学生的发展与表现创 造机会.板书设计20.1第1课时 勾股定理1.发现勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a²+b²=c².2.验证勾股定理：面积法.归纳总结，更容易形成知识 网络 .教学反思勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难 点，设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积入手，师生共同 探究得到方法，最后由学生独立探究，学会运用这个方法，这样学生较容易地突 破了本节课的难点.这节课从探究定理、总结定理、验证定理，到练习的处理都 是引导学生独立完成的，多数学生在小组活动中表现积极，找出了许多解决问 题的办法，乐于与小组其他成员合作，愿意与同伴交流自己的想法，有解决问题 的自信心，不回避困难，学生参与老师的活动中，促使了每个同学得到了不同程 度的发展.反思，更进一步提升.课题20.1第2课时 勾股定理的应用授课人素养目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想.2.会从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去.教学重点运用勾股定理解决实际问题.教学难点勾股定理的灵活运用.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c, 那么a²+b²=c ²2.在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，则(1)c= √ a²+b² ;(2)a= √2-b² ;(3)b= √ c²-a² .师生活动：教师提出问题，学生抢答.通过简单的提问，帮助学生 回顾勾股定理，为学习新课 做好准备.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】《九章算术》是我国古代的一部数学专著,是“算经十书”中最重要的一部， 它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧 的结晶.在此书第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何(葭即芦苇，一丈等于十 尺).这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水 池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边， 它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺?利用古代数学问题引出本 节课要研究的内容，使学生经历从现实生活中抽象出 数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求 知欲 .教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导 入新课解：设芦苇的长度为x尺，则水深为(x—1)尺. 由勾股定理，得5²+(x—1)²=x²,解得x=13.∴x—1=13-1=12.答：水深是12尺，芦苇的长度是13尺.这个问题是勾股定理的一个简单应用，那么它还有哪些应用呢?今天我们就来探索一下吧!活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】(教材第26页例2)一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方 形薄木板能否从门框内通过?为什么?思考：(1)木板横着能否通过?(2)木板竖着能否通过?(3)在长方形ABCD中，AB,AC,BC,哪一条线段最长?师生活动：教师就此问题可引导学生从实际的角度去考虑，引导学生试试 斜着通过门框.学习小组互相讨论、交流、补充、展示，注意过程要书写规范(1)木板的宽是2.2m,大于1m,所以横着不能通过；(2)木板的宽是2.2 m,大于2m,所以竖着不能通过；(3)AC>BC>AB.解：连接AC.在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=1²+2²=5,AC= √5≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内通过.让学生能从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验 和学过的知识去解答，从而 想到斜着通过门框，也就是 把实际问题转化为数学问题 .活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例(教材第26页例3)如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面 的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗?解：在Rt△AOB中，根据勾股定理， OA²=AB²—OB²=2.5²—0.7²=5.76,OA=2.4.在Rt△COD中，CD=2.5,OD=0.7+0.8=1.5,根据勾股定理， OC²=CD²-OD²=2.5²—1.5²=4,OC=2.∴AC=OA-OC=2.4—2=0.4.因此，当梯子底端向外移0.8m时，梯子顶端并不是沿墙下滑0.8m,而是下滑0.4m.1.应用迁移、巩固提高，培 养学生解决问题的能力.教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【变式训练】如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在 水平地面的点B处.保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处.测得顶端A距离地面的高度AO为2米，OB为 1.5米.(1)求梯子的长；(2)若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长.解：(1)在Rt△AOB中， AB²=AO²+OB², ∴AB²=2²+1.5²=6.25.∴AB=2.5米.答：梯子的长为2.5米.(2)由题意，得CD=AO+0.4=2.4米，BC=AB=2.5米，∴BD²=2.5²—2.4²=0.49.∴BD=0.7米.∴OD=OB+BD=1 . 5+0 . 7=2 . 2(米) .师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.2.利用运用勾股定理对实 际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几 何模型的能力，使学生更加 深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于 生活 .活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB=2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6 米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开，则AD=1.5米 .第1题图 第2题图2.一个有盖的长方体盒子，长、宽、高如图中标注.若在盒中放一根细棒，则细棒 的最大长度是17.教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测3.如图所示的是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m,长方形CDEF是一木质平 台的侧面示意图，测得CD=1m,AD=15m,求出AB段的长度.解：延长FC交AB于点G,则 C G ⊥ A B , A G = C D = 1 m , G C = A D = 1 5 m .设BG=x m,则BC=(26 - 1 - x)m .在Rt△BGC中， BG²+CG²=BC²,∴x²+15²=(26-1-x)²,解得x=8.∴BA=BG+AG=8+1=9(m).答：AB的长度为9 m.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置当堂检测，进一步 巩固新知，及时检测学习效 果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识?(2)还存在什么困惑?2.布置作业：(1)教材第27页练习第1,2,3题.(2)教材第30～31页习题20.1第2,3,4,5,9,10题.通过课堂小结，调动学生的 学习积极性，学生概括问题 的能力、语言表达的能力进 一步得到提高，完善学生对 知识的梳理.板书设计20.1第2课时 勾股定理的应用1.应用：在直角三角形中，已知两边求第三边.2.变式(a,b为直角边长，c为斜边长):归纳总结，更容易形成知识 网络 .教学反思在创设情境环节中，从学生熟知的问题出发，探究这类问题的解答方法，学 生学习兴趣浓厚，迅速进入状态.探究新知过程中，教师指导学生推导解题过 程，使学生能够清晰地认识勾股定理，学会推导过程，继而学会解答问题的方 法.本节课的重点就是应用勾股定理解决实际问题，而解决好教材的例2、例3是这一节课的关键.一开始上课引出例2,就是要用“最好的时间”突出这个重 点，突破这个关键.反思，更进一步提升.课题20.1第3课时 利用勾股定理作图授课人素养目标1.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步理解、感受数轴上的点与实数的一一对应关系；了解 利用勾股定理证明HL定理.2.会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，并从中进一步体会数形结合思想与转化思想.教学重点运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算.教学难点理解实数与数轴上点的一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆总长为24m,则旗杆顶部落在离旗回顾旧知，为新课做铺垫.杆底部12m处.13m-9m第1题图第2题图2.如图所示，校园内有两棵树相距8m,一棵树高13m,另一棵树高7m,一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞10m.师生活动：教师组织学生分析，然后给学生留充分的时间去完成，完成之前 可先复习一下勾股定理的内容.教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】投影出图片：思考：这个美丽的图案是怎么画出来的?它依据的是什么数学知识?观察发现：图形由若干个直角三角形构成，是根据我们所学的勾股定理完成的.我们知道 √2是边长为1的等腰直角三角形的斜边的长，可是在数轴上如何 表示出 √2呢?如何表示 √3呢?师生活动：教师投影出图片，学生观察，联想到美丽的海螺图案.学生讨论 出思考题的结果，教师做点评.利用目的明确的操作探究问题引入新课，激发学生的 学习兴趣.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】探究一：利用勾股定理证明HL定理在八年级上册中，我们曾经通过探究得到结论：斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗?师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证，学生加以证明已知：如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中，∠C=∠C′=90°,AB= A′B′,AC=A'C′.求证：△ABC≌△A'B'C'.1.通过证明HL定理，学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾 股定理解决实际问题的能力 .2.利用勾股定理和数轴上的点表示实数，将数和形联 系在一起，让学生领会了数 形结合的思想，加深了对勾 股定理、数轴和实数的理解，同时规范学生的作图语 言和作图方法.B'分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C′,难以找到锐角对应相等，只有找第三边 相 等 ， 发 现 可 以 根 据 勾 股 定 理 得 到 B C =√AB²-AC ,B′C′= A'B²-AC ,容易得到BC=B'C′ .证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中，∠C=∠C′=90°,根据勾股定理，得 BC=√AB²-AC ,B'C′=√A'B²-AC ,又∵AB=A'B',AC=A'C′,∴ BC=B'C′.∴△ ABC≌△A′B'C′(SSS).探究二：怎样在数轴上画出表示 √ 13的点?分析引导：教师可帮助学生进行如下分析.(1)你能画出长为 √2的线段吗?怎么画?说说你的画法.(2)设斜边c= √ 13,两直角边分别为a,b,根据勾股定理有a²+b²=13,若 a,b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9,a²=4,b²=9,则 a=2,b=3,所以长为 √ 13的线段是直角边长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长.(3)在数轴上怎样作出这个三角形呢?师生活动：学生根据教师的提示思考讨论如何画出长为 √ 13的线段，教师 根据学生的叙述，写出画法，适当点评.教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1在数轴上画出表示 √ 17的点(不写作法，但要保留画图痕迹).解：如图所示，点A即为所求.例2如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10,CD⊥AB,垂足为D,CD=8.1.三道例题从“数的几何表 示”到“平面几何计算”,再 到“空间几何应用”,由浅入 深，由抽象到具体，既巩固 勾股定理的核心知识，又逐 步培养学生的数形结合、方 程、转化、分类讨论等数学 思想，同时提升学生将数学 知识应用于实际问题的能力 .求AC的长.解：∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△BCD中， BD= √BC²-CD²=6. 设AC=AB=x,则AD=x — 6 .在Rt△ACD中， AC²=AD²+CD²,即x²=(x—6)²+8²,解得例3如图，有一个长方体盒子，它的长是12 dm,宽是4 dm,高是3 dm.(1)请问：长为12.5 dm的铁棒能放进去吗?(1)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程.解：(1)连接BD.∵AD=12 dm,AB=4 dm,∴BD²=AD²+AB²=12²+4²=160.∴CD= √BD²+BC²= √ 160+3²=13(dm).∵13dm>12.5 dm,∴长为12.5 dm的铁棒能放进去.(2)如图1所示， CD= √ (12+4)²+3²= √ 265(dm);如图2所示， CD= √ (3+4)²+12²= √ 193(dm);如图3所示， CD= √ (12+3)²+4²= √ 241(dm).∵ √265> √241> √ 193,∴爬行的最短路程是 √ 193 dm.图1 图2 图3教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【变式训练】1.如图所示，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是(B)A. √5+1 B. √5-1 C.— √5+1 D.— √5-12 .如图，在△ABC中，点D是AB上一 点， CD⊥AB,AC=2 √ 3,BC=2,CD= √ 3,则AB的长为4.3.如图，在Rt△OA₁A2中，过点A2作A₂A₃ ⊥OA₂……以此类推，且OA₁= A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄= … =1,记△OA₁A2的面积为S₁,△OA₂A₃ 的面积为S₂,△OA₃A。的面积为S₃……细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：2.掌握勾股定理在几何计 算中的应用，提高学生应用 勾股定理解决问题的能力.(1)请写出第n个等式(2)根据式子的规律，则OA₁₀= √10;(3)求出S²+S²+S+…+S。的值.解：S²+S²+S+…+Sio师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.在长方形纸片ABCD中，AD=10 cm,AB=4cm,按如图所示的方式折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为EF,则第1题图 第2题图2.如图，有一个圆柱，它的高为15 cm,底面半径为 cm,在点A的一只蚂蚁想 吃到点B的食物，则它爬行的最短路程为17 cm.教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测3.在数的发展中，我们发现，有理数已经不能满足人们的需要，比如正方形ABCD的面积为2,则它的边长就不是一个有理数，所以就产生了像 √2这样的无理数.后来我们学习了勾股定理，很多的无理数都可以用线段来表示，也都 可以在数轴上表示.问题：(1)在数轴上作出表示— √2的点(保留作图痕迹);(2)在6×8的网格图中(每个小正方形的边长均为1),画出两条线段AB和 CD,使得AB的长为 √5,CD的长为 √ 13.解：(1)如图所示，点E即为所求.(2)如图所示. (答案不唯一)师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.加深对所学知识的理解运 用，在问题的选择上以基础 为主，灵活运用所学知识解 决问题，巩固新知，课堂小结1.课堂小结：(1)通过本节课的探究学习，你有什么新的收获和体验?(2)你还有什么困惑?2.布置作业：(1)教材第29页练习第1,2题.(2)教材第30页习题20.1第6题.引导学生积极发表自己的 看法，梳理所学到的知识， 加深对知识的理解和巩固.板书设计20.1第3课时 利用勾股定理作图1.利用勾股定理证HL定理.2.数轴表示无理数(无理数→直角三角形斜边).3.空间最短路径→平面展开图.归纳总结，更容易形成知识 网络 .教学反思以海螺图案切入勾股定理作图，既呼应了数学美感，又自然关联旧知(勾股 定理),快速激活了学生的知识储备.后续衔接“数轴表示无理数”的提问，顺利 引导学生从“图形构造”过渡到“数的表示”,环节过渡流畅.课堂练习与例题类 型匹配度高，能及时巩固新知；师生互动中穿插“基础回顾”环节，有效照顾了不 同层次学生的学习节奏，避免了知识脱节.课堂互动中，学生对“无理数作图”的 创意表达(如多种直角边组合),展现了较好的思维灵活性.趣味图案导入+小组讨论环节，充分调动了学生的参与热情，基础题的快速反馈也增强了学生的 学习信心，整体课堂氛围轻松且专注.反思，更进一步提升.课题20.2第1课时 勾股定理的逆定理授课人素养目标1.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程.2.会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.3.会认识并判别勾股数.教学重点勾股定理的逆定理.教学难点勾股定理的逆定理的证明.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c, 那么a²+b²=c ²2.在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.(1)已知a=3,b=4,求c;(2)已知a=2.5,b=6,求c;(3)已知a=4,b=7.5,求c.3.思考：分别以上述a,b,c为边的三角形的形状是什么样的?回顾旧知，为新课做铺垫.活动一：创设情境、导 入新课【课堂引入】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形.你认为 这个三角形是直角三角形吗?利用古埃及人画直角的方 法，学生亲自动手实践，体 验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究 问题.既进行了数学史的教 育，又锻炼了学生的动手实 践、观察探究的能力.(1)(2)(13)(12)(11)(10)(3)+ (9)(4)师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合 理的推断.教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】思考：(1)如果改变三条边的结数，是否还能摆放出同样形状的三角形?(2)画画看，三角形的三边长分别为2.5 cm,6cm,6.5 cm,观察三角形的形 状，再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.(3)三角形的三边长具有怎样的关系，才能得到上面同样的结论?师生活动：学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，做 出实践性预测.教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出 勾股定理的逆命题.问题：如图，若△ABC的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,试证明△ABC是直角三角形.分析：如图，在Rt△A'B'C′中， A′B′²=B'C'²+A′C'²=a²+b²,∵a²+b²=c²,∴A'B′=c.“命题十证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断地尝试、探究的过程 中，亲身体验参与发现的愉 悦，有效地突破本节的难点 .在△ABC和△A'B'C′中，∴△ABC≌△A'B′C′(SSS).∴∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形.归纳：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角 三角形，这个定理称为勾股定理的逆定理.教师引导学生注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理.为了分清勾股定理和勾股定理的逆定理，我们列表如下：教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交 流新知定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b,斜边长为c,那么a²+b² =c²如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角 三角形题设直角三角形的两条直角边长分别 为a,b,斜边长为c三角形的三边长a,b,c满足a²+ b²=c²结论a²+b²=c²这个三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法由此我们可以知道，勾股定理的使用条件必须是直角三角形，并且要分清 斜边和直角边，避免盲目代入等式而出现错误；勾股定理的逆定理的条件中不 能出现直角或斜边的字眼.另外勾股定理的字母表达式可以变形运用.活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例1(教材第35页例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三 角形：(1)a=8,b=15,c=17;(2)a=14,b=13,c=15.解：(1)因为8²+15²=64+225=289,17²=289,所以8²+15²=17²,这个三角形是直角三角形.(2)因为14²+13²=196+169=365,15²=225,所以14²+13²≠15²,这个三角形不是直角三角形 .例2古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b =m²—1,c=m²+1,那么a,b,c为勾股数.你认为对吗?如果对，你能利用这个 结论得出一些勾股数吗?解：对.因为a²+b²=(2m)²+(m² —1)²=4m²+m⁴—2m²+1=m⁴+2m²+1=(m²+1)²,而c²=(m²+1)²,所以a²+b²=c²,即a,b,c是勾股数.当m=2时，勾股数为3,4,5;当m=3时，勾股数为6,8,10;当m=4时，勾股数为8,15,17.(答案不唯一)应用勾股定理的逆定理判 定直角三角形，巩固新知， 突出教学重点.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A.5,6,7 B.10,8,4 C.7,25,24 D.9,17,15 2.如图，正方形网格中有△ABC.若小正方形的面积为1,则△ABC的形状为( A)AA.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.无法判断教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,求课堂检测及时获知学生对 所学知识的掌握情况，并最 大限度地调动全体学生学 习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所 提高 .∠DAB的度数.解：连接AC.∵∠B=90°,AB=BC=2,∴AC= √AB²+BC²=2 √2,∠BAC=45°.∵CD=3,DA=1,∴AC²+DA²=8+1=9=C D².∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°.∴∠DAB=45°+90°=135°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)什么是勾股定理的逆定理?如何表述?(2)如何用三边数量关系判定直角三角形?(3)勾股数的认识.2.布置作业：(1)教材第36页练习第1,2题.(2)教材第38页习题20.2第1,2,4,5,6题.及时反馈教与学双边活动的结果，查缺补漏，培养学 生养成系统整理知识的好 习惯 .板书设计20.2第1课时 勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：若三角形的三边a,b,c满足a²+b²=c²,则这个三角形是 直角三角形.2.勾股数.归纳总结，更容易形成知识 网络 .教学反思在教学过程中，要关注学生在探究和应用勾股定理逆定理过程中的表现， 及时发现学生的思维障碍并给予指导.通过多样化的练习，帮助学生加深对知识的理解和掌握，同时，引导学生总结解题方法和规律，提高学生的解题能力和 数学素养.反思，更进一步提升.课题20.2第2课时 勾股定理及其逆定理的综合运用授课人素养目标1.能综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，提升知识迁移能力.2.体会“数→形→数”的转化，进一步深化数形结合思想.教学重点勾股定理及其逆定理的综合运用.教学难点实际问题中数学模型的建立.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾1.勾股定理的内容.2.勾股定理的逆定理内容.3.勾股定理及直角三角形的判定条件是什么?回顾旧知，为综合运用 铺垫 .活动一：创设情境、导 入新课生活中很多问题需要同时用到勾股定理及其逆定理，比如判断零件是否符 合要求、判断航海方向等.联系实际，激发学生应用知 识的兴趣.活动二：实践探究、交 流新知【探究新知】用勾股定理(逆定理)求不规则图形面积如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=3m, BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m,且∠ABC=90°,则这块菜地的面积是(B)A.24m² B.36m² C.48m² D.72 m²探究引导：先独立思考：如何利用∠ABC=90°的条件?能否将四边形拆分 为熟悉的图形计算面积?再尝试解题，完成后和同桌交流步骤.学生活动：先自主算，再组内讨论拆分四边形为两三角形算面积并派代表 讲思路.教师活动：启发用勾股定理及逆定理，纠正错误后总结解题步骤.让学生通过自主尝试、小组协作落实勾股定理及其逆定理的应用，同时教师也帮学生梳理逻辑，强化解题 思路 .教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体 现应用【典型例题】例(教材第36页例2)如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h后分别位于点 Q,R处，且相距30n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么1.应用迁移，巩固提高，培 养学生解决问题的能力.2.从实际生活中遇到的问 题出发，以本节的知识为载 体建立数学模型，利用数学 模型去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽 象成数学模型并进行解释 与应用的过程，有效地培养 了学生的应用意识.方向航行?解：由题意可得，RP=12×1.5=18,PQ=16×1.5 =24,QR=30,∵18²+24²=30² ,即RP²+PQ²=QR²,∴∠RPQ=90°.∵“远航”号沿东北方向航行，即∠1=45°,∴∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.【变式训练】一个零件的形状如图1所示，按规定，这个零件中∠A和∠DBC都应为直 角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗?图1 图2解：这个零件符合要求.理由：∵AD=4,AB=3,DB=5,BC=12,CD=13, ∴3²+4²=5²,5²+12²=13².∴AB²+AD²=BD²,BD²+BC²=DC².∴△ABD,△BDC是直角三角形.∴∠A=90°,∠DBC=90°.故这个零件符合要求.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.活动四：课 堂检测【课堂检测】1.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可 推断∠B是否为直角.这样做的依据是(B)A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余检测学生综合运用的能力， 及时查缺补漏.第1题图 第4题图2.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为2.4m,宽为1m,对角线为2.6 m,则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”).3.一个三角形花坛的三边长分别为7m,24 m,25 m,则这个花坛的面积 是84m².4 . 如图，在四边形ABCD中，已知AB:BC: CD:DA=2:2:3:1,且∠B= 90°,则∠DAB的度数为135°.教学步骤师生活动设计意图活动四：课 堂检测5.如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD,且∠ADB=90°,AD=3cm,BD=4 cm.(1)求AB的长；(2)若BC=12cm,AC=13 cm,求图中阴影部分的面积.解：(1)在△ABD中，∠ADB=90°,AD=3cm,BD=4 cm,由勾股定理，得AB= √AD²+BD²= √ 3²+4²=5(cm).∴AB的长为5 cm.(2)在△ABC中， AB²=5²=25,BC²=12²=144,AC²=13²=169,且25+144=169,∴AB²+BC²=AC.∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°.∴S阴影=S△ABC—S△ABD=30-6=24(cm²).课堂小结1.课堂小结(1)综合运用勾股定理及其逆定理的一般步骤；(2)实际问题中如何建立数学模型.2.布置作业：(1)教材第37页练习第1,2,3题.(2)教材第38页习题20.2第3题.及时反馈教与学双边活动 的结果，查漏补缺，培养学生养成系统整理知识的好 习惯 .板书设计20.2第2课时 勾股定理及其逆定理的综合运用1.综合运用勾股定理及其逆定理的一般步骤：一判(判断三角形是否为直角三角形)、二选(选勾股定理或逆定理)、三算(代 入数据计算).2.从文字描述中抽象出直角三角形模型：找直角、标已知量、设未知量.归纳总结，更容易形成知识 网络 .教学反思通过生活中勾股定理及其逆定理的实际应用引入新课，激发学生的求知 欲，培养学生的学习兴趣.注重引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型， 并进行解释与应用的过程，从而培养学生综合运用的能力.反思，更进一步提升.