第20章 勾股定理 章末复习-表格式教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

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第九课时《第20章 勾股定理 章末复习》教学设计课型新授课口 复习课☑ 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析本课是勾股定理单元的总结升华课，在整个单元教学中起到梳理知识、整合能力、查漏补缺的核心作用．它承接前序所有课时的内容，将勾股定理的定义、逆定理、证明方法、实际应用及数学文化等知识点系统串联，形成完整的知识网络，帮助学生实现从零散知识到系统认知的转变．本节课既是对单元核心知识的巩固深化，也是对学生逻辑推理、数学建模、动手实践等核心素养的综合提升，为学生后续学习解直角三角形、几何综合证明、立体图形中的边长计算等内容奠定坚实基础．同时，通过章末复习，培养学生归纳总结、数形结合、分类讨论的数学思想，提升学生综合运用知识解决实际问题的能力，完善学生的几何知识体系，凸显数学知识的关联性与实用性．学习者分析学生已系统学习勾股定理的相关知识，掌握了定理的内容、证明方法及简单应用，具备一定的几何推理和计算能力，为本课时复习奠定了知识基础．但学生对知识的整合能力较弱，易混淆勾股定理与逆定理的适用场景，对复杂综合题、实际应用题的解题思路不够清晰，且在知识归纳、方法总结上缺乏系统性．部分学生对数学思想的运用不够灵活，计算粗心、步骤不规范等问题仍存在．不过学生具备一定的自主复习和小组合作能力，可通过梳理归纳、变式训练，逐步完善知识体系，提升综合解题能力．教学目标1．系统梳理本章知识，构建知识网络．2．查漏补缺，提升综合运用勾股定理及逆定理解决问题的能力．教学重点系统梳理勾股定理及逆定理的核心知识，掌握定理的证明方法与应用技巧，能综合运用知识解决各类相关问题．教学难点灵活运用勾股定理及逆定理解决几何综合题、实际应用题，熟练运用数形结合、分类讨论等数学思想，规范解题步骤．学习活动设计教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1：师出示学习目标：1．系统梳理本章知识，构建知识网络．2．查漏补缺，提升综合运用勾股定理及逆定理解决问题的能力．学生活动1：学生齐声读本课的学习目标活动意图说明：明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：知识框图教师活动2：出示知识框图学生活动2：学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明：通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3：请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．1．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？预设：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？预设：主要运用了数形结合思想和割补法，通过将四个全等的直角三角形拼成大正方形，利用大正方形与小正方形的面积关系，推导得出勾股定理．3．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？预设：利用勾股定理的逆定理．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理是如何证明的？预设：采用构造法。先构造一个直角三角形，使它的两条直角边长分别等于已知三角形的两条较短边长，根据勾股定理得出其斜边长；再通过全等三角形的判定（SSS），证明构造的直角三角形与已知三角形全等，从而得出已知三角形是直角三角形。学生活动3：学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4：考点一：有关勾股定理的计算例1：在 Rt△ABC中，∠C=90°．(1)若AB=15，AC=12，求BC的长．(2)若BC=3，∠A=30°，求AC的长．解：（1）∵∠C=90°，AB=15，AC=12，∴BC=AB2−AC2=152−122=9；（2）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=3，∴AB=2BC=6∴在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=62−32=33．例2：如图，在△ABC中，∠C=90°,M是BC的中点，MD⊥AB于点D，试说明：AD2=AC2+BD2．解：连接MA．因为MD⊥AB，所以∠ADM=∠BDM=90°，所以AD2=AM2−MD2，MD2=BM2−BD2，因为∠C=90°，所以AM2=AC2+CM2．因为M为BC中点，所以BM=MC，所以AD2=AM2−MD2=AM2−BM2+BD2=AM2−MC2+BD2=AC2+BD2．归纳：（1）已知两边，求第三边：可直接应用勾股定理求解．（2）已知一边和一个特殊角，求另两边：利用特殊直角三角形的性质先求出一条边，再用勾股定理求出另一条边．（3）已知一边和另两边的关系，求另两边：设未知数，根据勾股定理列方程求解．（4）计算线段长度多用勾股定理，因此解题的关键是把所求线段放入直角三角形中．我们通常用下面两种方法构造垂直关系：一是直接作高；二是通过相等的线段把所求线段转化到一个直角三角形中．考点二：勾股定理的验证与图形面积例3：勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为a，b，且b>a，斜边为c)拼成一个边长为c的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”．(1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理．(2)若b=15，c=17，求中间小正方形(阴影部分)的面积．证明：（1）∵最外面的大正方形的边长为c，∴最外面的大正方形的面积为c2；∵中间小正方形的边长为b−a，∴中间小正方形的面积为b−a2；又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，∴b−a2+4×12ab=c2，∴a2−2ab+b2+2ab=c2，∴a2+b2=c2；（2）∵b=15，c=17，a2+b2=c2，∴a2+152=172，∴a=8或a=−8（舍去），∴中间小正方形的面积为b−a2=15−82=49．归纳：（1）用面积法验证勾股定理的正确性，通常的方法是割补几何图形，把一个图形分成几个图形的面积和，通过恒等变形得到勾股定理．（2）利用勾股定理也可以解决与面积有关的问题．解题的关键是先把图形的面积转化为直角三角形边长的平方，再利用勾股定理所得的三边之间的数量关系得出几何图形面积之间的关系．考点三：勾股定理的逆定理例4：如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，AD=5，BD=9，CD=12，AC=13．(1)求证：CD⊥AB；(2)求BC的长．证明：（1）∵AD=5,CD=12,AC=13，∴AD2+CD2=AC2，∴△ACD为直角三角形，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB；（2）∵CD⊥AB,BD=9,CD=12，∴BC=BD2+CD2=92+122=15．归纳：由三边判定直角三角形的三步法（1）确定——确定三角形的最大边长；（2）计算——算出最大边长的平方及其他两边长的平方和；（3）判断——根据计算后的数量关系判断三角形的形状．考点四：利用勾股定理解决最短路径问题例5：如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？解：如图所示．∵BC＝2cm，棱长为6cm，∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm由勾股定理得，AB＝BD2+AD2=82+62＝10（cm），答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．归纳：解立体图形中最短路径问题的四步骤（1）展开，即将立体图形展开为平面图形；（注意：①只需展开包含相关点的面；②可能存在多种展开法．）（2）定点，即确定相关点的位置；（3）连线，即连接相关点，构造直角三角形；（4）计算，即根据勾股定理求解．考点五：勾股定理及其逆定理的实际应用例6：政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知∠C=90°，AB=200m，AD=150m，BC=70m，CD=240m．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．  解：够用，理由如下：连接BD．∵∠C=90°，BC=70m，CD=240m，∴BD=BC2+CD2=702+2402=250m． ∵AD2+AB2=22500+40000=62500=BD2，∴△ABD是直角三角形，且∠A=90°．∴四边形ABCD的面积为：12×200×150+12×240×70=23400 m2． 所以所需费用为：23400×100=234（万元）．∵234