图说数学史：数学瑰宝——勾股定理-同步探究学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

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课题 图说数学史：数学瑰宝——勾股定理单元第二十章学科数学年级八年级学习目标1．了解勾股定理的历史发展，感受其在中外数学史上的地位．2．体会数学文化的魅力，增强对数学的兴趣．重点了解勾股定理的中外历史发展历程，掌握关键数学家的贡献及经典证明方法，感受数学文化魅力．难点理解数学史与勾股定理知识的关联，体会历史发展中蕴含的数学思想，提升数学文化素养．探究过程导入新课【引入思考】勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧“浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花．新知探究本节课来研究： 本节我们以数学史为载体，了解勾股定理的发现、证明与传播历程．1．《周髀算经》中记载了勾股定理，商高指出了“勾三股四弦五”这一勾股定理的特殊形式，陈子测日的方法“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股．勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”是对勾股定理一般形式的明确表述．2．约公元前1700年的古巴比伦泥版上，记载了多组由楔形文字表示的勾股数．3．在古印度的《测绳的法规》中，记载着勾股定理与几组勾股数，这些知识用于建造施工时确定直角，勾股定理在其中的表述为：以矩形对角线为边的正方形面积，等于分别以矩形两邻边为边的正方形面积之和．4．《原本》第一卷的命题47即勾股定理：在直角三角形中，直角所对边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和．命题48是勾股定理的逆定理，欧几里得对这两个定理都进行了严格的证明．在各大古代数学文明中熠熠生辉的勾股定理，因其巧妙地将“数”与“形”关联在一起，从而为数学的发展提供了动力．5．在我国古代数学发展的历程中，勾股定理具有很强的应用性．如用于计算圆周率的割圆术，其理论基础就包括勾股定理．6．古希腊时期，数学家证明了边长为1的正方形的对角线不能表示为两个整数的比，证明过程中就用到了勾股定理，这为人类更好地认识数学，促进数学的发展提供了机遇．7．勾股定理是中国古代数学发展的一个出发点．8．在平面解析几何中，通过勾股定理得到任意两点A，B之间的距离d=xBxA2+yByA2，勾股定理成为解析几何发展中必不可少的基础性工具．而在定义一些更高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式．勾股定理的发现离不开人的思考，更离不开人们对数学真理的追求．勾股定理这一数学瑰宝，既是存在于客观世界中的数学真理，也是在人类智慧“浇灌”下，数学领域中绽放出的一朵思维之花．课堂练习【知识技能类练习】必做题：1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ）A．《孙子算经》B．《海岛算经》C．《周髀算经》D．《九章算术》2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①所示是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．如图②所示是由图①放入长方形KLMJ内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为________．  3．勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾股数．(1)如果a,b,c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka,kb,kc（为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数；(2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当a=12m2−n2,b=mn,c=12m2+n2（m,n为正整数，m>n时，a,b,c构成一组勾股数；请证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数．选做题：4．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十，广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”大意：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步，不知该田有几亩（1亩=240平方步）．请帮他算一算，该田有（  ）A．1.5亩B．2亩C．2.5亩D．3亩【综合拓展类练习】5．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．(1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．方法1：S大正方形=______；方法2：S大正方形=______；根据以上信息，可以得到的等式是______；(2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系；(3)在（2）的条件下，若a=3，b=4，求斜边c的值．课堂小结说一说：今天这节课，你都有哪些收获？作业设计【知识技能类作业】必做题：1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（    ）A．121B．110C．100D．902．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°,AB=3,AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为____________3．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”选做题：4．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，它不仅在初等数学中有重要的作用，在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，勾股定理在许多书中都有记载、下列书中没有记载勾股定理的是（    ）A．《九章算术》B．《海岛算经》C．《几何原本》D．《周髀算经》【综合拓展类作业】5．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为a，b，斜边为c的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+(b−a)2，从而得到等式c2=12ab×4+(b−a)2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”．【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，A、B、C、D均为格点(网格线的交点)，则正方形ABCD的面积S正方形ABCD=___________．【方法运用】如图3，对任意符合条件的Rt△BAC，绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△EAD，∠BAE=90°，连接BE，延长DE，BC，交于点F，易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【方法迁移】如图4，在△ABC中，BD是AC边上的高，AB=4，BC=8，AC=10，求线段BD的长度是多少？