北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式一课一练

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式一课一练，共9页。
1．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将涂色部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( ).
A．a−b2=a2−2ab+b2B．aa−b=a2−ab
C．a−b2=a2−b2D．a2−b2=a+ba−b
2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为（ ）
A．a2−2ab+b2=a−b2B．a2−ab=aa−b
C．a2−b2=a−b2D．a2−b2=a+ba−b
3．在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a>b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a,b的恒等式为（ ）
A．(a−b)2=a2−2ab+b2B．(a+b)2=a2+2ab+b2
C．a2−b2=(a+b)(a−b)D．a2+ab=a(a+b)
4．如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）（a+2b）=a2﹣4b2B．（a+2b）2=a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）2=a2﹣4ab+b2D．（a+b）2=a2+2ab+b2
5．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2B．a2﹣ab＝a(a﹣b)
C．a2﹣b2＝(a﹣b)2D．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)
6．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
7．(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的个位数字是 ．
8．计算：2024×2022−20232= ．
9．计算
（1）51×49（利用平方差公式计算）
（2）1022（利用完全平方公式计算）
10．运用平方差公式计算：
（1） 51×49；
（2）20015×19945.
11．观察·思考
（1）计算下列各组算式：
7×9= 11×13= 79×81=
8×8= 12×12= 80×80=
（2） 观察上述算式及其结果，你发现了什么规律?
（3）请用字母表示你发现的规律。
二、能力提升
12．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（ ）
A．8B．4C．2D．1
13．四张全等的梯形硬纸板可拼成平行四边形（如图1），也可拼成正方形（如图2），根据两个图形中阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x,y的等式为（ ）
A．x+yx−y=x2−y2B．x2+2xy+y2=x+y2
C．x−y2=x2−2xy+y2D．x2−xy=xx−y
14．在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
15．两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（ ）
A．4a2−4b2B．4abC．a2−b2D．ab
16．如图，两个正方形放置于长方形EFGH内（正方形的两边在长方形的边上），长方形ABCD是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则AB+HG= （用含m、n的代数式表示）．
17．如图，已知正方形ABCD和BEFG，点A，B，E三点共线，AE=12.8，CG=5，则△ABD与△BEF的面积差是 .
18． 已知x2−y2=10，x−y=2，则x+y等于 ．
19．计算：101×1022−101×982= ．
20．观察：2+1=2−12+1=22−1；2+122+1=2−12+122+1=24−1，那么，2+122+124+128+1216+1= ．
21．如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF．
（1）若a−b=3，a2−b2=21，求a+b的值；
（2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；
（3）计算：1+12×1+122×1+124×1+128×⋅⋅⋅×1+1232．
三、拓展提升
22．阅读理解——智慧数．
定义：如果一个正整数能表示成两个正整数x，y的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：16=2×8=5−3×5+3=52−32，所以16就是一个“智慧数”，我们可以利用x2−y2=x+yx−y进行研究．现给出下列结论：
①被4除余2的正整数都不是“智慧数”；
②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；
③所有的正奇数都是“智慧数”．
（1）请判断7，24是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将7，24按“16=52−32”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写：
（2）题中给出的结论，其中正确的结论是 ；（填序号）
（3）把你认为是正确结论的进行说明理由．
23．在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．
（1）观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____；
（2）请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____；
（3）画出一个几何图形，使它的面积表示a+ca+2b=a2+2ab+ac+2bc，其中a≠b≠c．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】5．
8．【答案】−1
9．【答案】（1）解：51×49
=50+1×50−1
=502−12
=2499；
（2）解：1022=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10404．
10．【答案】（1）解：原式=( 50 + 1 ) ( 50 − 1 )=( 50 )2 − ( 1 )2 = 2500 − 1=2499
（2）解：原式=( 200 +15 ) ( 200 −15 ) = 2002 − (15 )2 = 40000 − 125
=39999 2445
11．【答案】（1）解：根据题意可得：
7×9=63 11×13= 143 79×81=6399
8×8=64 12×12=144 80×80=6400
（2）解：连续的两个奇数的乘积等于这两个连续奇数中间的这个数的平方减1.
（3）解：根据（2）可得：（n-1）（n+1）=n2-1.
12．【答案】B
13．【答案】A
14．【答案】C
15．【答案】B
16．【答案】4nm
17．【答案】32
18．【答案】5
19．【答案】80800
20．【答案】232−1
21．【答案】（1）解：由平方差公式可得：a2−b2=a+ba−b=21，
又∵a−b=3，
∴a+b=7；​​​​​​
（2）解：如图，过点E作EH⊥AB于点H，
则AH=BF=a−b，HB=b
∵图中阴影部分面积为S正方形ABCD−S正方形CGEF=a2−b2，
图中阴影部分面积还可以表示为：S长方形AHGD+S长方形BFEH=aa−b+ba−b=a+ba−b，
∴a+ba−b=a2−b2；
（3）解：原式=121+12×1+122×1+124×1+128×⋅⋅⋅×1+1232×2
=1−121+12×1+122×1+124×1+128×⋅⋅⋅×1+1232×2
=1−122×1+122×1+124×1+128×⋅⋅⋅×1+1232×2
=1−124×1+124×1+128×⋅⋅⋅×1+1232×2
=1−1232×1+1232×2
=1−1264×2
=2−1263．
22．【答案】（1）解：7，24是“智慧数”，7=42−32；24=72−52.
（2）①②
（3）解：①假设存在正整数x、y，使得x2−y2=x+yx−y是被4除余2的正整数，即x2−y2=4k+2（k为整数），又x2−y2=x+yx−y，即两数乘积是偶数，由此知道x+y、x−y均是偶数，
那么x+yx−y就能被4整除，这与被4除余2相矛盾，
因此，被4除余2的正整数都不是“智慧数”；
②设能被4整除的正整数为4k（k为正整数且k≠1），
由于x2−y2=x+yx−y，不妨令x+y=2kx−y=2，
从而有x+y+x−y=2k+2⇒2x=2k+2．
解得x=k+1，所以y=k−1，
又因为k为正整数且k≠1，
所以x,y为正整数，
因此，除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”．
23．【答案】（1）a2−b2=a+ba−b​​​​​​​
（2）2a+ba+2b=2a2+2b2+5ab
（3）解：如图所示，