高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项式定理精练

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对任意实数 x，有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则 a2 的值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 21
答案：B
分析：将 x 转化为 (2+x-2)3，利用二项式展开式的通项公式，可求得 a2 的值。
详解：由于 x3=[2+(x-2)]3，其展开式的通项为 C3r⋅23-r⋅(x-2)r，当 r=2 时，为 C32⋅21⋅(x-2)2=6(x-2)2，故 a2=6。
点睛：本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题。通过观察已知条件，等式左边是 x 三次方的形式，右边含有 x-2 这样的式子，故考虑将 x 转化为 (2+x-2)3，利用二项式展开式的通项来求得 a2 的值。
在 1+3x+3x+1xx8 的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A. 84B. 85C. 127D. 128
答案：D
分析：由题意得 1+3x+3x+1xx8=1+1x8，结合展开式的通项公式即可求解。
详解：由题意知 1+3x+3x+1xx8=1+1x8，
展开式的通项公式为 C8r⋅18-r⋅1xr=C8r⋅x-r2(0≤r≤8,r∈N)，
当 r=0,2,4,6,8 时，C8r⋅x-r2 为有理项，
所以所有有理项的系数之和为 C80+C82+C84+C86+C88=128。
故选：D。
(x-y)(x+2y+z)6 的展开式中，x2y3z2 的系数为
A. -30B. 120C. 240D. 420
答案：B
详解：分析：题中 z2 为独立项，所以 (x-y)(x+2y+z)6 展开式中含 z2 的为 (x-y)C62(x+2y)4z2=C62z2[x(x+2y)4-y(x+2y)4]，其中 x(x+2y)4-y(x+2y)4 中 x2y3 的系数为 (x+2y)4 展开式中 xy3 与 x2y2 的系数差。最后再将两部分系数相乘即得所求。
详析：由 (x-y)(x+2y+z)6=(x-y)[(x+2y)+z]6，
得含 z2 的项为 (x-y)C62(x+2y)4z2=C62z2[x(x+2y)4-y(x+2y)4]，
∵x(x+2y)4-y(x+2y)4 中 x2y3 的项为 xC43x(2y)3-yC42x2(2y)2=8x2y3
∴x2y3z2 系数为 C62×8=15×8=120
故选B。
点睛：本题考查了二项式定理的应用，多项式展开问题要抓住独立项，以此为简化问题的突破点，从而减少计算和分类讨论的难度。
已知多项式 (x+2)3(x-1)4=a1(x+1)7+a2(x+1)6+…+a7(x+1)+a8，则 a7+a8=（ ）
A. 0B. 32C. 16D. -16
答案：B
分析：设 t=x+1，令 t=0 求出 a8，再分别求出 (t+1)3 和 (t-2)4 的展开式中一次项和常数项，得出 a7，即可得出答案。
详解：设 t=x+1，则 (t+1)3(t-2)4=a1t7+a2t6+…+a7t+a8，
令 t=0，则 (0+1)3(0-2)4=16=a8，
(t+1)3 的展开式中一次项为 C32t=3t，常数项为1，
(t-2)4 的展开式中一次项为 C43(-2)3t=-32t，常数项为16，
所以 a7=3×16-32=16，
所以 a7+a8=16+16=32，
故选：B。
（易错）C20221+2C20222+3C20223+4C20224+…+2022C20222022=（ ）
A. 22021-1B. 22024-1C. 1011×22021
D. 1011×22022
答案：D
分析：设 (1+x)n，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+4Cn4x3+…+nCnnxn-1，分别取 x=1 和 n=2022，即可求出结果。
详解：设 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+Cn4x4+…+Cnnxn，
两边求导数，n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+4Cn4x3+…+nCnnxn-1，
令 x=1，得 n⋅2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+4Cn4+…+nCnn，
取 n=2022，得 C20221+2C20222+3C20223+4C20224+…+2022C20222022=2022⋅22021=1011×22022。
故选：D。
二、多选题
若 m3x+x8 展开式中常数项为28，则实数 m 的值可能为（ ）
A. -1B. 1C. 2D. 3
答案：AB
分析：求出展开式的通项公式，利用 x 的幂指数为0求出 m 值。
详解：二项式 m3x+x8 展开式的通项公式 Tr+1=C8rm3x8-r⋅xr=m8-rC8rx4r-83,r≤8,r∈N，
由 4r-83=0，解得 r=2，则 T3=m6C82=28m6，于是 28m6=28，解得 m=±1，
所以实数 m 的值为 -1或1。
故选：AB
三、填空题
1-yx(x+y)8 的展开式中 x2y6 的系数为__（用数字作答）。
答案：-28
分析：因为 1-yx(x+y)8 可化为 (x+y)8-yx(x+y)8，结合二项式展开式的通项公式求解。
详解：因为 1-yx(x+y)8=(x+y)8-yx(x+y)8，
所以 1-yx(x+y)8 的展开式中含 x2y6 的项为 C86x2y6-yxC85x3y5=-28x2y6，
1-yx(x+y)8 的展开式中 x2y6 的系数为-28
故答案为：-28
(1-ax2)(1+x)4 的展开式中 x3 的系数为12，则 a=____。
答案：-2
分析：应用二项式定理写出含 x3 项，结合已知项系数列方程求值即可。
详解：由 (1+x)4 的展开式通项为 Tr+1=C4rxr，
所以，含 x3 项为 C43x3+(-ax2)(C41x)=(C43-aC41)x3，
故 C43-aC41=4-4a=12，可得 a=-2。
故答案为：-2
在二项式 2x-13x8 的展开式中常数项为____。
答案：112
分析：由二项式定理即可求解。
详解：2x-13x8 的展开式中常数项为 C86(2x)2-13x6=28×4=112。
故答案为：112。
已知 n 是正整数，化简：1-17Cn1+172Cn2-173Cn3+…+-17nCnn=____。
答案：67n
分析：利用二项式定理，化简展开式。
详解：1-17Cn1+172Cn2-173Cn3+…+-17nCnn=1-17n=67n。
故答案为：67n
四、解答题
（易错）已知 x-23xn 的展开式中，第四项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为 4:3。
(1) 求 n 的值；
(2) 求展开式中所有有理项。
答案：(1)6；
(2)x3，64x-2。
分析：(1) 利用第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为 4:3，建立方程，可求 n 的值；
(2) 写出通项公式得 r=0，6时，x 的指数为整数，所以展开式中第1，7项是有理项，即得结果。
详解：(1) 第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为 4:3，则 Cn3:Cn2=4:3，
所以 n-23=43，即 n=6。
(2) x-23xn=x-23x6 其通项公式为 Tr+1=C6r⋅(-2)r⋅x18-5r6，
根据 18-5r6∈Z，r∈N，0≤r≤6，可得 r=0，6，
故第1，7项是有理项，即有理项分别为 C60(-2)0x3=x3，C66(-2)6x-2=64x-2。
已知 33x+1xn 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为 1:3。
(1) 求 n 的值；
(2) 求展开式中所有的有理项。
答案：(1)n=7；
(2)T2=105x2，T5=28358x-1，T8=1898x-4，T9=x-7。
分析：(1) 根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解即可；
(2) 根据二项式的通项公式进行求解即可。
详解：(1) 因为 33x+1xn 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为 1:3，
所以 Cn1Cn2=13，即 nn(n-1)2=2n-1=13，
解得 n=7，或 n=0（舍去），即 n=7；
(2) 因为 33x+1xn 的展开式的第 r+1 项为：
Tr+1=C7r(33x)7-r1xr=C7r37-rx7-r3-r2(r=0,1,2,…,7)，
所以当 7-r3-r2∈Z 时，展开式中，有理项分别为：
T2=C71⋅36⋅x2=5103x2，T4=C73⋅34⋅x-1=2835x-1，
T6=C75⋅32⋅x-4=189x-4，T8=C77⋅30⋅x-7=x-7。
（一题多问）已知二项式 2x+1xn(n∈N*) 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 2:5，按要求完成以下问题：
(1) 求 n 的值；
(2) 求展开式中 x3 的系数；
(3) 计算式子 C602​6+C612​5+C622​4+C632​3+C642​2+C652​1+C66 的值。
答案：(1)6
(2)1
(3)729
分析：(1) 由二项式系数及组合数公式可得关于 n 的等式，即可解得 n 的值；
(2) 写出二项式展开通项，令 x 的指数为3，求出 k 的值，代入通项后即可得解；
(3) 在二项式中，令 x=1 求得展开式 (2+1)6 的值，代入通项后即可得解；
详解：(1) 解：由题意可得 Cn1Cn2=nn(n-1)2=2n-1=25，解得 n=6。
(2) 解：2x+1x6 的展开式通项为 Tr+1=C6r(2x)6-r1xr=C6r⋅26-r⋅x6-3r2，
令 6-3r2=3，可得 r=6，因此，展开式中 x3 的系数为 20⋅C66=1。
(3) 解：令 x=1 可得 (2+1)6=C602​6+C612​5+C622​4+C632​3+C642​2+C652​1+C66=729。