高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理一课一练，共5页。


1．若(x＋1)n的展开式共有12项，则n＝( )
A．11B．12
C．13D．14
2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于( )
A．－5B．5
C．90D．180
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(7)的展开式中x项的系数是( )
A．－35B．35
C．－21D．21
4．若(1＋eq \r(2))4＝a＋beq \r(2)(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．33B．29
C．23D．19
5．若(ax－1)5的展开式中的x3的系数是80，则实数a的值为( )
A．－2B．2eq \r(3)
C．eq \r(3,4)D．2
6．(x－eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840B．840
C．210D．－210
7.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))eq \s\up12(8)展开式中的常数项为________．
8．在(a＋x)4的展开式中，x3的系数等于8，则实数a＝________．
9．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2\r(x))))eq \s\up12(n)的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于________．
10．已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.
(1)求n.
(2)求展开式中所有的有理项．
[提能力]
11．(1＋2eq \r(x))3(1－eq \r(3,x))5的展开式中x的系数是( )
A．－4B．－2
C．2D．4
12．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )
A．－1B．－2
C．－3D．－4
13．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为________．
14．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
15．设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)＋\f(1,\r(3,3))))eq \s\up12(n)的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．
[战疑难]
16．设整数n>4，(x＋2eq \r(y)－1)n的展开式中xn－4与xy两项的系数相等，则n的值为________．
课时作业(五)
1．解析：由二项式定理知，(x＋1)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝12，即n＝11.故选A.
答案：A
2．解析：因为(1＋x)10＝(－2＋1－x)10，所以a8＝C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) (－2)2＝45×4＝180.故选D.
答案：D
3．解析：在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(7)的展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) (－1)kx7－2k中，令7－2k＝1，得k＝3，即得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(7)的展开式中x项的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ×(－1)3＝－35.故选A.
答案：A
4．解析：∵(1＋ eq \r(2))4＝1＋4 eq \r(2)＋12＋8 eq \r(2)＋4＝17＋12 eq \r(2)，且(1＋ eq \r(2))4＝a＋b eq \r(2)(a，b为有理数)，∴a＝17，b＝12，∴a＋b＝29.故选B.
答案：B
5．解析：(ax－1)5的展开式中含x3的项为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (ax)3·(－1)2＝10a3x3，由已知得10a3＝80，解得a＝2.故选D.
答案：D
6．解析：在通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) (－ eq \r(2)y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－ eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) ×(－ eq \r(2))4＝840.故选B.
答案：B
7．解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3))) eq \s\up12(8)的第k＋1项为
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) (2x)8－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8x3))) eq \s\up12(k)
＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(8)) 28－4kx8－4k，
令8－4k＝0，解得k＝2，
即T3＝T2＋1＝(－1)2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) 20x0＝28.
答案：28
8．解析：∵(a＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) a4－kxk且x3的系数等于8，∴C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) a4－3＝8，∴a＝2.
答案：2
9．解析：展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) xn－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(k)x－ eq \f(k,2)＝Ceq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(k)xn－ eq \f(3k,2)，根据题意，第3项和第5项的二项式系数相等，即C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ，所以n＝6，则常数项为6－ eq \f(3k,2)＝0，得到k＝4，所以常数项C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(4)＝ eq \f(15,16).
答案： eq \f(15,16)
10．解析：(1)依题意有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ∶C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝14∶3，化简，得(n－2)(n－3)＝56，解得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)，所以n的值为10.
(2)通项公式为
Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ( eq \r(3,x))10－k·(－1)k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(3,x)))) eq \s\up12(k)＝(－1)k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(k)C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·x eq \f(10－2k,3)，
由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(10－2k,3)∈Z，,0≤k≤10，,k∈Z，))
解得k＝2，5，8，所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 eq \f(45,4)x2，－ eq \f(63,8)， eq \f(45,256).
11．解析：(1＋2 eq \r(x))3(1－ eq \r(3,x))5＝(1＋6 eq \r(x)＋12x＋8x· eq \r(x))(1－ eq \r(3,x))5，故(1＋2 eq \r(x))3·(1－ eq \r(3,x))5的展开式中含x的项为1×C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ·(－ eq \r(3,x))3＋12xC eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) ＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2，故选C.
答案：C
12．解析：因为(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，所以C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋aC eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＝5，即10＋5a＝5，解得a＝－1，故选A.
答案：A
13．解析：展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＋2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝4＋8＝12.
答案：12
14．解析：方法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) x4·x＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) x5.
所以x5y2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝30.
方法二 (x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积．
∴x5y2可从其中5个因式中，两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝30.
答案：30
15．解析：由二项展开式的通项公式得T7＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) ( eq \r(3,2))n－6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3)))) eq \s\up12(6)，Tn＋1－6＝Tn－5＝C eq \\al(\s\up1(n－6),\s\d1(n)) ( eq \r(3,2))6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3)))) eq \s\up12(n－6)，
由 eq \f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) （\r(3,2)）n－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3))))\s\up12(6),C eq \\al(\s\up1(n－6),\s\d1(n)) （\r(3,2)）6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3))))\s\up12(n－6))＝ eq \f(1,6)，化简得6 eq \f(n,3)－4＝6－1，所以 eq \f(n,3)－4＝－1，所以n＝9.
所以T7＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) ×( eq \r(3,2))9－6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,3)))) eq \s\up12(6)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(9)) ×2× eq \f(1,9)＝ eq \f(56,3).
16．解析：注意到(x＋2 eq \r(y)－1)n＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) xn－k(2 eq \r(y)－1)k.
其中xn－4项仅出现在k＝4时的展开式C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) xn－4(2 eq \r(y) －1)4中，xn－4项系数为(－1)4C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ＝ eq \f(n（n－1）（n－2）（n－3）,24) .
而xy项仅出现在k＝n－1时的展开式C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n)) x(2 eq \r(y) －1)n－1中，xy项系数为C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) 4(－1)n－3＝(－1)n－32n(n－1)·(n－2).
因此有 eq \f(n（n－1）（n－2）（n－3）,24) ＝(－1)n－32n(n－1)(n－2).
注意到n>4，化简得n－3＝(－1)n－348，故n只能为奇数且n－3＝48.解得n＝51.
答案：51