人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.3 二项式定理练习题

第6章　6.3.1

A级——基础过关练

1．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(　　)

A．x4　　 B．x4＋1

C．(x－2)4　　 D．x4＋4

【答案】A　【解析】S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4，故选A．

2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为(　　)

A．－20i　　 B．15i

C．20　　 D．－15

【答案】D　【解析】(1＋i)6展开式中的第3项为Ci2＝－15.

3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A．－840　　 B．840

C．210　　 D．－210

【答案】B　【解析】在通项公式Tk＋1＝C·(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4的系数为C×(－)4＝840.

4．在n的展开式中，若常数项为60，则n等于(　　)

A．3　　 B．6

C．9　　 D．12

【答案】B　【解析】Tk＋1＝C()n－kk＝2kCx.令＝0，得n＝3k.根据题意有2kC＝60，验证知k＝2，故n＝6.

5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为(　　)

A．4　　 B．27

C．36　　 D．108

【答案】D　【解析】Tk＋1＝C(3x)k，由C＝6，得n＝4，从而T4＝C·(3x)3，故第四项的系数为C33＝108.

6.7的展开式中倒数第三项为________．

【答案】　【解析】由于n＝7，可知展开式中共有8项，∴倒数第三项即为第六项，∴T6＝C(2x)2·5＝C·22＝.

7．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________.

【答案】11　【解析】a＝C，b＝C.∵a∶b＝3∶1，∴＝＝，即＝3，解得n＝11.

8．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m的值为________．

【答案】2　【解析】由x10＝[m－(m－x)]10，[m－(m－x)]10的二项展开式的第9项为Cm2(－1)8·(m－x)8，∴a8＝Cm2(－1)8＝180，则m＝±2.又m>0，∴m＝2.

9．若二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值．

解：∵Tk＋1＝Cx6－kk＝(－a)kCx6－，

令6－＝3，则k＝2，得A＝C·a2＝15a2；

令6－＝0，则k＝4，得B＝C·a4＝15a4.

由B＝4A可得a2＝4，又a>0，

∴a＝2.

10．已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：

(1)n的值；

(2)展开式中x5的系数；

(3)含x的整数次幂的项的个数．

解：已知二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－kCx2n－k.

(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，

解得n＝10.

(2)令2×10－k＝5，得k＝(20－5)＝6.

所以x5的系数为(－1)64C＝.

(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1，2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．

B级——能力提升练

11．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　　)

A．－297　　 B．－252

C．297　　 D．207

【答案】D　【解析】x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C＋C(－1)＝207.

12．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A．4　　 B．5

C．6　　 D．7

【答案】B　【解析】由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．

13.n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是(　　)

A．第3项　　 B．第4项

C．第7项　　 D．第8项

【答案】B　【解析】由于第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，可得C－C＝44，解得n＝11或n＝－8(舍去)，由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝C(x)11－rr＝Cx，令＝0，得r＝3，故r＋1＝4.

14．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)

A．x＝4，n＝3　　 B．x＝4，n＝4

C．x＝5，n＝4　　 D．x＝6，n＝5

【答案】C　【解析】Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，检验知C正确．

15．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．

【答案】－5　【解析】6的展开式中，Tr＋1＝Cx6－r·r＝(－1)rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，T4＝(－1)3C＝－C，令6－2r＝－1，得r＝(舍去)，令6－2r＝－2，得r＝4，T5＝(－1)4Cx－2＝C，所以(1＋x＋x2)·6的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5.

16．(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为________．(用数字填写答案)

【答案】－40　【解析】(x2－x－2)4＝(x＋1)4(x－2)4，(x＋1)4的展开式通项为Tr＋1＝Cx4－r，(x－2)4的展开式通项为Tk＋1＝Cx4－k(－2)k，所以(x2－r－2)4的展开式中，x3的系数为C·C(－2)4＋C·C(－2)3＋C·C(－2)2＋C·C(－2)＝－40.

17．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．

(1)求n的值；

(2)写出它展开式中的所有有理项．

解：(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得＋＝2·，

化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，

即n2－37n＋322＝0，

解得n＝14或n＝23，

因为n<15，所以n＝14.

(2)展开式的通项Tr＋1＝C()14－r()r＝Cx，

展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，

所以展开式中的有理项共3项是：

r＝0，T1＝Cx7＝x7；

r＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；

r＝12，T13＝Cx5＝91x5.

C级——探究创新练

18．求5的展开式的常数项．

解：方法一　5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5.

其中为常数项的有C4·中的第3项CC·2·；

C·2·()3中的第2项CC··()3；

展开式的最后一项C·()5.

综上，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.

方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.

求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.