高中数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理优秀课后作业题

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7月3日，甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石家庄，当天从邢台到石家庄有11个车次，其中有5个车次的发车间为凌晨1点到凌晨5点，有6个车次的发车时间为早上7点到晚上6点。已知甲选择凌晨6点以后出发的车次，乙选择凌晨1点到晚上6点出发的车次，则两人车次的不同选择共有（ ）
A. 11种B. 36种C. 66种D. 121种
【答案】C
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得。
【详解】解：依题意可得甲有6种选择，乙有11种选择，
由分步乘法计数原理可得两人车次的不同选择共有 6×11=66 种。
故选：C
用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案。
A. 243B. 32C. 48D. 1280
【答案】C
【分析】直接由分步乘法计数原理即可求解。
【详解】从左到右依次涂色，第一个图形可以涂3种颜色，第二、三、四、五个图形可以涂2种颜色，
共有 3×2×2×2×2=48 种不同的涂色方案。
故选：C.
现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A. 10种B. 12种C. 20种D. 60种
【答案】B
【分析】分三类计数相加即可得解。
【详解】分三类：
第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有3种；
第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有4种；
第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有5种，
根据分类加法计数原理得共有 3+4+5=12 种不同的选法。
故选：B
（新文化试题）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋。中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字（可纵走如由A到C，也可横走如由A到D），在如图所示的棋盘上，“马”由A点到B点的最短走法有（ ）
A. 4种B. 5种C. 6种D. 7种
【答案】C
【分析】通过列举的方法，即可求解。
【详解】如图，若到B，则先到M和N处，如下图，最少4步，包含如下路线，
D到N处有2种路线，D到M处有2种路线，C到M有2种路线，C到N处没有路线，
综上可知，A到B的最短走4步，有6种。
故选：C
二、多选题
现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A. 56B. 65C. 5×6×5×4×3×22D. 6×5×4×3×2
【答案】BCD
【分析】根据题意，每位同学都有5种选择，结合分步计数原理，即可求解。
【详解】根据题意，每位同学都有5种选择，共有 5×5×5×5×5×5=56（种）不同的选法，
所以A正确，B，C，D错误。
故选：BCD.
（易错）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A. 组成可以有重复数字的四位数有500个
B. 组成无重复数字的四位数有96个
C. 组成无重复数字的四位偶数有66个
D. 组成无重复数字的四位奇数有28个
【答案】AB
【分析】根据题意，由分类分步计数原理依次分析各选项，即可得答案。
【详解】解：对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有 4×5×5×5=500 个，故选项A正确；
对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，有 4×3×2=24 种情况，则组成无重复数字的四位数有 4×24=96 个，故选项B正确；
对C：若0在个位，有 4×3×2=24 个四位偶数，若0不在个位，有 3×3×2×2=36 个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有 24+36=60 个四位偶数，故选项C错误；
对D：组成无重复数字的四位奇数有 3×3×2×2=36 个，故选项D错误；
故选：AB.
三、填空题
某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是__.
【答案】16
【详解】不同的走法可以看作是两步完成的，
第一步是进门共有4种，
第二步是出门，共有4种，
由分布乘法计数原理可知 4×4=16（种）
故答案为：16
若 x, y∈N*，且 x+y≤6，则有序自然数对 (x, y) 有__个.
【答案】15
【分析】按x的取值进行分类计数，然后根据分类加法计数原理可求解。
【详解】按x的取值进行分类：
当x=1时，y=1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；
当x=2时，y=1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
当x=3时，y=1,2,3，共构成3个有序自然数对；
当x=4时，y=1,2，共构成2个有序自然数对；
当x=5时，y=1，共构成1个有序自然数对.
根据分类加法计数原理，共有 5+4+3+2+1=15 个有序自然数对.
故答案为：15
集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是__.
【答案】mn
【分析】根据分步计数原理可得出结果.
【详解】从集合A的m个元素取1个元素，有m种方法，
从集合B的n个元素取1个元素，有n种方法，
根据分步计数原理可知，两个集合中各取1个元素，一共有mn种.
故答案为：mn.
四、解答题
（一题多问）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
(1) 从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
(2) 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】(1) 24 (2) 10
【分析】(1) 利用分步乘法计数原理求不同的取法；
(2) 利用分类加法计数原理求不同的取法.
【详解】(1) 利用分步乘法计数原理求不同的取法：
从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 4×3×2=24.
(2) 分为3类：第1类取两本计算机书，有6种取法；
第2类取两本文艺书，有3种取法；
第3类取两本体育书，有1种取法；
不同取法的种数共有 6+3+1=10.