北师大版六年级下册数学第一单元《圆柱与圆锥》测试卷及答案

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2025-2026学年六年级数学第一单元测试卷 （圆柱与圆锥） （考试分数：100分；建议用时：90分钟） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置。 2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在答题卡规定的位置上。 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 5．测试范围：第一单元。 一、认真读题，仔细填空（每空1分，共26分） 1．如图，以这个长方形的宽为轴，旋转一周，得到( )体，它的底面半径是( )cm，高是( )cm。 2．把一根长5米的圆柱木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是( )立方米。 3．如图，该圆锥的高是( )cm，底面直径是( )cm，底面面积是( )。 4．圆柱的底面积不变，高扩大到原来的4倍，侧面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 5．0.03＝( )    330mL＝( )L 350＝( )      2000＝( )L     5000mL＝( )＝( ) 6．一个装满巧克力的圆柱形塑料桶的侧面贴着商标纸，圆柱底面直径为30cm，高是10cm这张商标纸展开后是一个长方形，这个长方形的面积是( )。 7．如下图，把一个底面半径为1.5cm，高为6cm的圆柱，竖着切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了( )。 8．把棱长为2分米的正方体木块，削成一个圆柱形木块，这个圆柱形木块的表面积最大是( )，体积最大是( )。 9．将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。 10．已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且它们的体积和是32立方厘米，那么这个圆锥的体积是( )立方厘米。 11．灯笼是我国传统工艺品，制作一个底面周长为188.4cm，高为1m的圆柱形灯笼，这个圆柱形灯笼的底面半径为( )cm。灯笼侧面要糊一层纸，做一个灯笼至少需要( )cm²的纸。 12．一个圆柱体，如果沿直径劈成两个半圆柱体，表面积将增加180平方厘米，如果截成两个小圆柱体，表面积增加56.52平方厘米，那么原圆柱体的表面积是( )平方厘米。 13．把一个高为6cm的圆柱截成两个相等的小圆柱后，表面积增加，把这样的一个小圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )。 14．把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 二、反复比较，正确选择（将正确答案的序号填在括号里，每题2分，共10分） 15．小明正在制作一个圆柱形灯笼，底面半径是2分米，高是5分米。他想知道需要多少平方分米的布料来覆盖这个灯笼的侧面。（    ） A．20π B．30π C．60π D．35π 16．用铁皮做一个高是5dm，底面直径是4dm的无盖圆柱形水桶，至少需要铁皮（    ）。 A．263.76 B．87.92 C．62.8 D．75.36 17．下面运用了“转化”的思想方法的有（    ）。    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．把底面半径是3厘米的圆柱的侧面，沿着一条高展开后是一个正方形，这个圆柱的高是（ ）厘米。 A．3 B．6 C．18.84 D．28.12 19．将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 三、计算题（共26分，10+8+2+2+2+2=26分） 20．口算。（10分） 5－＝      1÷＝        0×＝        ×＝      10÷＝      ×18＝         ÷8＝    ÷＝         ＋＝        ÷6＝ 21．计算下面各题。（8分） （1）     （2）    （3）     （4） 22．求出下面图形的体积。（2分） 23．求下面圆柱的表面积。（2分） 24．求下图的表面积和体积。（单位：厘米）（2分） 25．求下面图形的表面积和体积．(单位：dm)（2分） 四、活学活用，解决问题（共36分,5+5+5+5+5+6+5=36分） 26．如下图所示，李叔叔在院子里用砖和水泥砌一个圆柱形的鱼池，墙厚20厘米（底面利用原来的水泥地）。 （1）这个鱼池墙体的体积是多少立方米？ （2）如果给这个鱼池的内部和外部的所有面都贴上瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ 27．小明家把今年收获的小麦堆成了圆锥形，高3米，底面直径是4米。 （1）如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦重多少千克？ （2）如果把这堆小麦倒入一个底面直径为2米的圆柱形铁桶中刚好装满，那么铁桶高多少米？ 28．在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 29．如下图所示，一个圆柱形蛋糕盒的底面半径是20厘米，高是25厘米。 （1）做这个蛋糕盒，大约需要用多少平方厘米的纸板？（接头处忽略不计） （2）像上图那样，用彩带包扎这个蛋糕盒，至少需要多少厘米长的彩带？（打结处彩带长25厘米） 30．白居易在《种柳三咏》中说“白头种松桂，早晚见成林”，可见我国自古以来就有大量种树保护树木的传承。每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。育苗小学劳动课计划给校园的50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克的石灰水，要求树干刷白的高度为1.2米。这批大树的平均直径是20厘米，请你计算至少需要多少克的石灰水？ 31．一个直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米和10厘米，以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周。 （1）可以得到什么立体图形？ （2）这个立体图形的体积最小是多少？ （3）这个立体图形的体积最大是多少？ 32．一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 题号一二三四总分得分参考答案 一、认真读题，仔细填空（每空1分，共26分） 1．如图，以这个长方形的宽为轴，旋转一周，得到( )体，它的底面半径是( )cm，高是( )cm。 圆柱 6 3 【分析】以长方形一条边为轴旋转一周得到的图形是圆柱，为轴的一条边是圆柱的高，相邻的另一条边是圆柱的底面半径，据此解答。 【详解】如图，以这个长方形的宽为轴，旋转一周，得到圆柱体，它的底面半径是6cm，高是3cm。 【点睛】本题考查了圆柱的特征。 2．把一根长5米的圆柱木料，截成3段，表面积增加了0.24平方米（如图所示）这根木料原来的体积是( )立方米。 0.3 【分析】由题意可知：把这根木料锯成3段，是把这个木头锯了两次，每锯一次增加2个面，总共增加了4个底面，再据表面积增加0.24平方米即可求出这根木料的底面积，从而利用圆柱的体积公式即可求出木料的体积。 【详解】 （立方米） 这根木料原来的体积是0.3立方米。 3．如图，该圆锥的高是( )cm，底面直径是( )cm，底面面积是( )。 6 8 50.24 【分析】圆锥的高是顶点到圆心的距离，即为6厘米，底面直径＝底面半径×2，底面积＝。 【详解】4×2＝8（cm） （cm2） 则圆锥的高是6 cm，底面直径是8 cm，底面面积是50.24 cm2。 4．圆柱的底面积不变，高扩大到原来的4倍，侧面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 4 4 【分析】根据圆柱的侧面积：侧面积＝底面周长×高；圆柱的体积公式：V＝πr2，再根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积也扩大相同的倍数，由此可知，若圆柱的底面积不变，高扩大到原来的4倍，则侧面积和体积都扩大到原来的4倍。 【详解】假设圆柱的底面周长是1，则圆柱的侧面积是：1×4＝4，高扩大到原来的4倍后的体积是： 1×（4×4） ＝1×16 ＝16 16÷4＝4 侧面积扩大到原来的4倍； 假设圆柱的底面积是1，高也是1，则圆柱的体积是：1×1＝1，高扩大到原来的4倍后的体积是： 1×（1×4） ＝1×4 ＝4 4÷1＝4 体积扩大到原来的4倍。 【点睛】此题考查了圆柱体积、侧面积以及因数与积的变化规律的灵活运用。 5．0.03＝( )    330mL＝( )L 350＝( )      2000＝( )L     5000mL＝( )＝( ) 3 0.33 0.35 2 5000 5 【分析】1m2＝100dm2；1L＝1000mL；1L＝1000cm3；1dm3＝1000cm3；1mL＝1cm3；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】0.03m2＝3dm2 330mL＝0.33L 350cm3＝0.35dm3 2000cm3＝2L 5000mL＝5000cm3＝5dm3 【点睛】熟记进率是解答本题的关键。 6．一个装满巧克力的圆柱形塑料桶的侧面贴着商标纸，圆柱底面直径为30cm，高是10cm这张商标纸展开后是一个长方形，这个长方形的面积是( )。 942 【分析】圆柱的底面周长是长方形的长，根据圆周长的计算公式即可求出长方形的长，圆柱的高是长方形的宽，根据圆柱的侧面积底面周长高＝，据此求出这个长方形的面积。 【详解】 （cm2） 则这个长方形的面积942cm2。 7．如下图，把一个底面半径为1.5cm，高为6cm的圆柱，竖着切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了( )。 36 【分析】将圆柱竖着切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加两个长是圆柱的高，宽是底面直径的长方形的面积；据此将数据代入长方形面积公式计算即可。 【详解】6×（1.5×2）×2 ＝6×3×2 ＝36（cm2） 表面积增加了36。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确增加的面与圆柱之间的关系是解题的关键。 8．把棱长为2分米的正方体木块，削成一个圆柱形木块，这个圆柱形木块的表面积最大是( )，体积最大是( )。 18.84平方分米/18.84dm2 6.28立方分米/6.28dm3 【分析】正方体内最大的圆柱的底面直径和高都等于这个正方体的棱长，利用圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh和体积公式：V＝πr2h代入数据计算即可解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×2×2 ＝6.28＋12.56 ＝18.84（平方分米） 3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方分米） 这个圆柱体的表面积是18.84平方分米，体积是6.28立方分米。 【点睛】抓住正方体内最大的圆柱的底面直径和高等于正方体的棱长即可解决此类问题。 9．将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。 25.12 【分析】以6厘米的直角边为轴，旋转一周后得到的立体图形是个圆锥，圆锥的底面半径是2厘米，高是6厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，列式计算即可。 【详解】3.14×22×6× ＝3.14×4×6× ＝25.12（立方厘米） 所得立体图形的体积是25.12立方厘米。 10．已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且它们的体积和是32立方厘米，那么这个圆锥的体积是( )立方厘米。 8 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的倍，用它们的体积和除以，据此解答即可。 【详解】 （立方厘米） 所以这个圆锥的体积8立方厘米。 11．灯笼是我国传统工艺品，制作一个底面周长为188.4cm，高为1m的圆柱形灯笼，这个圆柱形灯笼的底面半径为( )cm。灯笼侧面要糊一层纸，做一个灯笼至少需要( )cm²的纸。 30 18840 【分析】圆柱底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】188.4÷3.14÷2＝30（cm） 1m＝100dm 188.4×100＝18840（cm²） 这个圆柱形灯笼的底面半径为30cm。灯笼侧面要糊一层纸，做一个灯笼至少需要18840cm²的纸。 12．一个圆柱体，如果沿直径劈成两个半圆柱体，表面积将增加180平方厘米，如果截成两个小圆柱体，表面积增加56.52平方厘米，那么原圆柱体的表面积是( )平方厘米。 339.12 【分析】沿着直径劈成两个半圆柱体，则增加两个长为圆柱的高，宽为底面直径的长方形的面积；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积，一个面的面积＝底面直径×高；根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝π×直径；由此可知，用一个截面的面积×π，即可求出圆柱的侧面积；沿横截面截成两段后，会增加2个面的面积，也就等于圆柱的2个底面积；根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面积×2＋侧面积，据此解答。 【详解】180÷2×3.14＋56.52 ＝90×3.14＋56.52 ＝282.6＋56.52 ＝339.12（平方厘米） 原圆柱的表面积是339.12平方厘米。 13．把一个高为6cm的圆柱截成两个相等的小圆柱后，表面积增加，把这样的一个小圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )。 15 【分析】把一个高是的圆柱截成两个相等的小圆柱后，增加的表面积为圆柱底面积的2倍，根据圆柱的体积公式，算出大圆柱的体积；小圆柱的底面积不变，高为原来圆柱高的，根据圆柱的体积公式，先算出小圆柱的体积，再乘即为圆锥的体积，由此即可解答。 【详解】6×（30÷2）×× ＝6×15×× ＝15（） 【点睛】此题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，抓住圆柱的切割特点得出圆柱的底面积是解决本题的关键。 14．把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 226.08立方厘米/226.08cm3 【分析】圆锥沿高切开，会增加两个切面的面积，由于增加了72平方厘米，则一个切面的面积是72÷2＝36（平方厘米），这个等腰直角三角形以斜边为底，则它的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，由于这是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的底是高的2倍，可以设高是r厘米，则底是2r厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，即2r×r÷2＝36，据此即可求出r2＝36，由此即可知道r＝6，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×，把数代入公式即可求解。 【详解】72÷2＝36（平方厘米） 设圆锥的底面半径是r厘米，则高也是r厘米。 2r×r÷2＝36 r2＝36 r＝6 体积：3.14×62×6×＝226.08（立方厘米） 所以圆锥的体积是226.08立方厘米。 【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底，那么它的长度是斜边上的高的2倍。 二、反复比较，正确选择（将正确答案的序号填在括号里，每题2分，共10分） 15．小明正在制作一个圆柱形灯笼，底面半径是2分米，高是5分米。他想知道需要多少平方分米的布料来覆盖这个灯笼的侧面。（    ） A．20π B．30π C．60π D．35π A 【分析】根据题意，求覆盖圆柱形灯笼的侧面需用布料的面积，就是求圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积S侧＝Ch，其中C＝2πr，代入数据计算即可求解。 【详解】2×π×2×5＝20π（平方分米） 需要20π平方分米的布料来覆盖这个灯笼的侧面。 故答案为：A 16．用铁皮做一个高是5dm，底面直径是4dm的无盖圆柱形水桶，至少需要铁皮（    ）。 A．263.76 B．87.92 C．62.8 D．75.36 D 【分析】已知这个水桶无盖，所以需要铁皮的面积等于这个圆柱侧面积加上一个底面的面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×4×5＋3.14×（4÷2）2 ＝12.56×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 答：至少需要铁皮75.36平方分米。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 17．下面运用了“转化”的思想方法的有（    ）。    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 【分析】转化思想是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想。据此分析即可。 【详解】 多边形的内角和，可把多边形“转化”成几个三角形，然后利用三角形的内角和是180°，求出多边形的内角和为：180°×（n－2）。 将圆柱的体积转化为长方体的体积，用到转化思想。 是把异分母分数转化为同分母分数，运用了“转化”思想方法。 将平行四边形的面积转化为长方形的面积，用到转化思想。 运用了“转化”的思想方法的有4个。 故答案为：D 【点睛】此题考查了对“转化”思想方法的运用。 18．把底面半径是3厘米的圆柱的侧面，沿着一条高展开后是一个正方形，这个圆柱的高是（ ）厘米。 A．3 B．6 C．18.84 D．28.12 C 【分析】根据题意可知，把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，说明圆柱体的底面周长和高相等，已知这个圆柱体的底面半径是3厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出圆柱体的底面周长，高也由此得出。 【详解】把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，说明圆柱体的底面周长和高相等。 2×3.14×3＝18.84（厘米） 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解和掌握圆柱体的侧面展开图边长与圆柱体的底面周长和高的关系，再利用圆的周长的计算方法解决问题。 19．将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 B 【分析】当把一个正方体削成一个最大的圆锥时，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，所以圆锥的高为6分米，底面半径为6÷2＝3分米。利用圆锥的体积公式解答即可。 【详解】3.14×（6÷2）²×6× ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方分米） 故答案为：B 【点睛】理解，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长是解答本题的关键。 三、计算题（共26分，10+8+2+2+2+2=26分） 20．口算。（10分） 5－＝      1÷＝        0×＝        ×＝      10÷＝      ×18＝         ÷8＝    ÷＝         ＋＝        ÷6＝ 4；；0；；90； ；；；； 21．计算下面各题。（8分） （1）     （2）    （3）     （4） （1）；（2）；（3）；（4）28 【分析】（1）先计算乘法，再计算减法； （2）按照从左往右的顺序依次计算； （3）先计算小括号里的加法，再计算括号外面的除法； （4）把（）改写成（）形式，再根据乘法分配律进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） 22．求出下面图形的体积。（2分） 23．求下面圆柱的表面积。（2分） 5.338m3 【分析】看图可知，组合体的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【详解】2÷2＝1（m） 3.14×12×1.5＋3.14×12×0.6÷3 ＝3.14×1×1.5＋3.14×1×0.6÷3 ＝4.71＋0.628 ＝5.338（m3） 这个组合体的体积是5.338m3。 23．339.12cm2 【分析】图中圆柱的底面直径为6cm，高为15cm，根据圆柱表面积＝侧面积＋底面积×2，即S＝，可计算出圆柱的表面积。 【详解】圆柱表面积为： （cm2） 圆柱的表面积339.12cm2。 24．求下图的表面积和体积。（单位：厘米）（2分） 表面积是255.84平方厘米，体积是251.2立方厘米。 【分析】由图意知：这是一个圆柱沿直径切开后剩下的一半，表面积是圆柱的表面积的一半加一个长方形横截面的面积，体积是圆柱体积的一半。据此解答。 【详解】表面积：（8÷2）²×3.14＋3.14×8×10÷2＋10×8 ＝50.24＋125.6＋80 ＝175.84＋80 ＝255.84（平方厘米） 体积：（8÷2）²×3.14×10÷2 ＝16×3.14×10÷2 ＝50.24×10÷2 ＝251.2（立方厘米） 答：表面积是255.84平方厘米，体积是251.2立方厘米。 【点睛】理解表面积是圆柱的表面积一半加一个长方形的面积，体积是圆柱体积的一半是解答本题的关键。 25．求下面图形的表面积和体积．(单位：dm)（2分） 表面积：(15×12＋15×8＋12×8)×2＋3.14×6×6＝905.04(dm2) 体积：3.14×(6÷2)2×6＋15×12×8＝1609.56(dm3) 四、活学活用，解决问题（共36分,5+5+5+5+5+6+5=36分） 26．如下图所示，李叔叔在院子里用砖和水泥砌一个圆柱形的鱼池，墙厚20厘米（底面利用原来的水泥地）。 （1）这个鱼池墙体的体积是多少立方米？ （2）如果给这个鱼池的内部和外部的所有面都贴上瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ （1）1.6956立方米 （2）20.096平方米 【分析】（1）根据题意可知，鱼池墙体的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 （2）需要贴瓷砖的面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的底面积＋小圆柱侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面积公式：底面积＝，代入数据，即可解答。 【详解】（1）20厘米＝0.2米 1.6÷2＝0.8（米） 0.8＋0.2＝1（米） 3.14×12×1.5－3.14×0.82×1.5 ＝3.14×1×1.5－3.14×0.64×1.5 ＝3.14×1.5－2.0096×1.5 ＝4.71－3.0144 ＝1.6956（立方米） 答：这个鱼池墙的体积是1.6956立方米。 （2）3.14×1×2×1.5＋3.14×12＋3.14×1.6×1.5 ＝3.14×2×1.5＋3.14×1＋5.024×1.5 ＝6.28×1.5＋3.14＋7.536 ＝9.42＋3.14＋7.536 ＝12.56＋7.356 ＝20.096（平方米） 答：需要贴瓷砖的面积是20.096平方米。 27．小明家把今年收获的小麦堆成了圆锥形，高3米，底面直径是4米。 （1）如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦重多少千克？ （2）如果把这堆小麦倒入一个底面直径为2米的圆柱形铁桶中刚好装满，那么铁桶高多少米？ （1）8792千克 （2）4米 【分析】（1）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出小麦体积，小麦体积×每立方米质量＝这堆小麦的质量； （2）根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【详解】（1）3.14×（4÷2）2×3÷3 ＝3.14×22×3÷3 ＝3.14×4×3÷3 ＝12.56（立方米） 12.56×700＝8792（千克） 答：这堆小麦重8792千克。 （2）12.56÷[3.14×（2÷2）2] ＝12.56÷[3.14×12] ＝12.56÷[3.14×1] ＝12.56÷3.14 ＝4（米） 答：铁桶高4米。 28．在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 27厘米 【分析】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积； 已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。 【详解】水下降部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×302×1 ＝3.14×900×1 ＝2826（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 2826×3÷314 ＝8478÷314 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 29．如下图所示，一个圆柱形蛋糕盒的底面半径是20厘米，高是25厘米。 （1）做这个蛋糕盒，大约需要用多少平方厘米的纸板？（接头处忽略不计） （2）像上图那样，用彩带包扎这个蛋糕盒，至少需要多少厘米长的彩带？（打结处彩带长25厘米） （1）5652平方厘米 （2）285厘米 【分析】（1）求做这样一个蛋糕盒需要纸板的面积，就是求圆柱的表面积；根据圆柱的表面积公式S＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （2）彩带的长度是4条直径的长度，4条高的长度，再加上打结处大约用25厘米的长度。 【详解】（1）3.14×（20×2）×25＋3.14×202×2 ＝3.14×40×25＋3.14×400×2 ＝125.6×25＋1256×2 ＝3140＋2512 ＝5652（平方厘米） 答：大约需要用5652平方厘米的纸板。 （2）20×2×4＋25×4＋25 ＝40×4＋100＋25 ＝160＋100＋25 ＝260＋25 ＝285（厘米） 答：至少需要285厘米长的彩带。 30．白居易在《种柳三咏》中说“白头种松桂，早晚见成林”，可见我国自古以来就有大量种树保护树木的传承。每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。育苗小学劳动课计划给校园的50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克的石灰水，要求树干刷白的高度为1.2米。这批大树的平均直径是20厘米，请你计算至少需要多少克的石灰水？ 15072克 【分析】把树干需要刷白的部分看作是一个底面直径为20厘米，高度是1.2米的圆柱，要求刷白部分的树干的面积也就是求圆柱的侧面积，利用圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入相应数值计算，所得结果即为一棵树干需要刷白的面积；用面积乘400计算出需要的石灰水重量；最后结果再乘50，所得结果即为至少需要的石灰水重量，注意单位的换算。 【详解】20厘米＝0.2米 3.14×0.2×1.2×400×50 ＝0.628×1.2×20000 ＝0.7536×20000 ＝15072（克） 答：刷白这批大树至少需要15072克石灰水。 31．一个直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米和10厘米，以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周。 （1）可以得到什么立体图形？ （2）这个立体图形的体积最小是多少？ （3）这个立体图形的体积最大是多少？ （1）圆锥 （2）301.44立方厘米 （3）401.92立方厘米 【分析】（1）根据圆锥的定义，以一条直角边所在直线旋转一周得到的图形是圆锥； （2）根据圆锥体积=，圆锥体积最小，可选择直角边中较小的一边为半径，即6厘米，高为8厘米，再计算得出答案； （3）圆锥体积最大，可选择直角边中较大的一边为半径，即8厘米，高为6厘米，再计算得出答案。 【详解】（1）直角三角形中，以它的一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的图形是圆锥。 答：可以得到圆锥。 （2）这个立体图形体积最小时，底面半径为6厘米，高为8厘米，体积为： （立方厘米） 答：这个立体图形的体积最小是301.44立方厘米。 （3）这个立体图形体积最大时，底面半径为8厘米，高为6厘米，体积为： （立方厘米） 答：这个立体图形的体积最大是401.92立方厘米。 32．一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ （1）62.8升 （2）502.4升 【分析】（1）根据圆柱的体积计算公式“”即可求出这个圆柱形容器的容积是多少立方分米，再根据“立方分米与升是等量关系二者互化数值不变”转化成升。 （2）如果把这个圆锥沿高剖开，整个圆锥的剖面是一个大三角形，有水部分是一个小三角形，大三角形的高是小三角形高的2倍，则大三角形的底是小三角形底的2倍，即大圆锥的底面半径是小圆锥底面半径的2倍，则大圆锥体积是小圆锥体积的倍，即8倍，即水的体积是整个圆锥容积的。把圆锥的容积看作单位“1”，根据分数除法的意义即可解答。 【详解】（1） （立方分米） 62.8立方分米升 答：这个圆柱形容器的容积是62.8升。 （2）由题意可知，在圆锥底面半径是小圆锥底面半径的2倍，设小圆锥的底面半径为，则大圆锥的底面半径为 水的体积是： 圆锥的容积是： 62.8÷ ＝62.8×8 ＝502.4（升） 答：这个圆锥形容器一共能装502.4升水。 【点睛】（1）根据公式计算即可，不难；（2）关键是求出水的体积占整个圆锥容器的几分之几，这也是解答本题的难点。