初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课时训练

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课时训练，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，你认为他做对的是（ ）
A .a+b2=a2+b2
B .2ab+b÷b=2a
C .−2ab−1=−2ab−2a
D .aa+1=a2+a
2.若4a 2+kab+9b 2是完全平方式，则常数k的值为（ ）
A . 6 B . 12 C . ±6 D . ±12
3.已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式 a2−2ab+b2−c2的值是（ ）
A . 小于零 B . 等于零 C . 大于零 D . 大小不确定
4.乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（ ）
A .(3a+b)(3a−b)=9a2−b2
B .(3a−b)2=9a2−6ab+b2
C .(3a+b)2=9a2+6ab+b2
D .(3a−b)2=9a2+6ab+b2
5.王老师在数学实践活动课上，给了每人一张正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证（ a+ba-b=a2-b2.下面是4位同学裁剪拼接的过程，其中不能验证的是 （ ）
A .
B .
C .
D .
6.计算10ab 3÷5ab的结果是（ ）
A . 2ab3 B . 2ab2 C . 2b3 D . 2b2
7.观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（ ）
A .(x−1)(x−3)+1
B .a+b2=a2+2ab+b2
C .a+b2−a−b2=4ab
D .a+b2+a−b2=2a2+2b2
8.若多项式a 2+4a+k 2是完全平方式，则常数k的值为（ ）
A . 2 B . 4 C . ±4 D . ±2
9.在下列的计算中正确的是（ ）
A . 2x＋3y＝5xy
B . （a＋2）（a－2）＝a2＋4
C . a2•ab＝a3b
D . （x－3）2＝x2＋6x＋9
二、填空题
1.平方差公式：（a+b）（a﹣b）= ________ ．语言描述：两数的和与这两数差的积等于 ．
2.如果x 2+16x+m 2是一个完全平方式，那么m的值是 ________ ．
3.如果a 2=5，b 2=3，那么（a+b）（a﹣b）= ________
4.已知，2a+b＝11，且2a﹣b＝5，则代数式（2a﹣b）（4a+2b）+1的值是 ________ .
5.若x 2－2（m－1）x＋9是一个完全平方式，则m的值是 ________ ．
6.一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加45cm 2 ， 则这个正方形的边长是 ________ cm
7.如图，点C是线段AB上的一点，分别以 AC、BC为边在 AB的同侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG ， 连接 EG、BG、BE ， 当 BC=1时， △BEG的面积记为 S1 ， 当 BC=2时， △BEG的面积记为 S2 ， …，以此类推，当 BC=n时， △BEG的面积记为 Sn ， 计算： S40−S39+S38−S37+⋯+S2−S1= ________ ．
8.现有甲、乙两种正方形和丙种长方形纸片，边长如图所示，瑶瑶同学要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲种纸片9块，再取乙种纸片4块，还需取丙种纸片 ________ 块．
9.一个三位数 100a+10b+c除以它的各位数字之和 a+b+c ， 商的最大值是 ________ ．
10.计算：5a 3b 2c÷10a 2bc= ________ ．
三、计算题
1.甲、乙两个长方形，其边长如图所示 (m>0) ， 其面面积分别为 S1 ， S2 ．
（1） 比较 S1与 S2的大小．
（2） 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为 S3 ， 试探圥： S3与 2S1+S2的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
2.简便运算
（1） 20242−2023×2025；
（2） 186.72−2×186.7×86.7+86.72 ．
3.（1）解方程： 2x−2+1−x2−x=3
（2）化简： a−b2+a−ba+b−2aa+b ．
4.代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 a=12+3 ， 求 2a2−8a+1的值．分析与解答；
∵ a=12+3=2−3（2+3）（2−3）=2−3 ，
∴ a−2=−3 ，
∴ a−22=3 ， 即 a2−4a+4=3 ，
∴ a2−4a=−1 ，
∴ 2a2−8a+1=2a2−4a+1=2×−1+1＝−1 ．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
（1） 计算 12+1=______；
（2） 若 a=12−1 ， 求 4a2−8a+1值．
四、综合题
1.在下列横线上用含有 a，b 的代数式表示相应图形的面积．
（1） ① ________ ② ________ ③ ________ ； ④ ________ ．
（2） 通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？ 请用数学式子表示： ________ ；
（3） 利用（2）的结论计算 99 2+2×99×1+1 的值．
2.已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
⋯
（1） 猜想：（1﹣x）（1+x+x 2+x 3+⋯+x n ﹣1）＝ ________ ；
（2） 应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ________ ；
②（x﹣1）（x222+x2021+x2020+...+x2+x+1）＝ ________ ．
（3） 判断2 100+2 99+2 98+...+2 2+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
3.“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决。
（1） 我们知道 m2+n2=0 可以得到 m=0，n=0 。如果 a2+b2+2a−4b+5=0 ，求 a 、 b 的值.
（2） 已知 a=1719x+2019， b=1719x+2107， c=1719x+2018， 试问多项式a 2+b 2+c 2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量 x 的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.
（3） 你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ________ .
（4） 请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
（5） 仔细观察图2，写出 (a+b)2，(a−b)2，4ab 三个代数式之间的等量关系.
（6） 若 x+y=1，x2+y2=25 ，求 x−y 的值.
4.沿图1长方形中的虚线平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形 (m>n) .

（1） 图2中的阴影部分的面积为 ________ .
（2） 观察图2，请你写出代数式(m+n) 2、(m-n) 2、mn之间的等量关系式. ________
（3） 根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y=-6，xy=5，则x–y= ________ .
（4） 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3，它表示了(2m+n)(m+n)=2m 2+3mn+n 2.试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m 2+4mn+3n 2.
5. 若我们规定三角“ ”表示为： abc；方框“ ”表示为： (xm+yn).例如： =1×19×3÷(24+31)=3.请根据这个规定解答下列问题：
（1） 计算： = ________ ；
（2） 代数式 为完全平方式，则 k= ________ ；
（3） 当 x为何值时，代数式 有最小值，最小值是多少？
五、解答题
1.小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于 x的多项式 x2−2x+3 ， 由于 x2−2x+3=x−12+2 ， 所以当 x−1取任意一对互为相反数的数时，多项式 x2−2x+3的值是相等的，例如，当 x−1=±1 ， 即 x=2或 0时， x2−2x+3的值均为 3；当 x−1=±2 ， 即 x=3或 −1时， x2−2x+3的值均为 6 ．
于是小明给出一个定义：对于关于 x的多项式，若当 x−t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 x=t对称．例如： x2−2x+3关于 x=1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1） 多项式 x2+4x+5关于 x=______对称；若关于 x的多项式 x2−2bx+3关于 x=6对称，则 b=______；
（2） 关于 x的多项式 x2+ax+c关于 x=−1对称，且当 x=a时，多项式的值为 5 ， 求 x=−4时，多项式 x2+ax+c−4的值．
2.阅读下列材料：
若 x满足 9−xx−4=4 ， 求 9−x2+x−42的值．
解：设 9−x=a, x−4=b ， 则 9−xx−4=ab=4, a+b=9−x+x−4=5 ，
所以 9−x2+x−42=a2+b2=a+b2−2ab=52−2×4=17 ．
请根据材料解答下列问题：
（1） 若 x满足 2025−xx−2026=−2 ， 求 2025−x2+x−20262的值．
（2） 如图，在长方形 ABCD中， AB=20, BC=12 ， E, F分别是 BC, CD上的点，且 BE=DF=x ， 分别以 CF, CE为边在长方形 ABCD外侧作正方形 CFGH和正方形 CEMN ．
①用含 x的代数式表示： CF=______， CE=______；
②若长方形 CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
3.我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225 ，
252=2×3×100+25=625 ，
352=3×4×100+25=1225 ，
…
（1） 根据上述各式反映出的规律填空： 952=_______ =9025 ．
（2） 设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果_______
（3） 这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出 1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出 89×81的简便计算过程和结果．
4.一个单项式加上多项式9（x﹣1） 2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式．
5.教科书中这样写道：“形如 a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式： x2+2x−3 ．
解：原式 =x2+2x+1−1−3=x+12−4=x+1+2x+1−2=x+3x−1；
再如：求代数式 2x2+4x−6的最小值．
解： 2x2+4x−6=2x2+2x−3=2x2+2x+1−1−3=2x+12−4=2x+12−8；
∵x+12≥0 ，
∴原式 ≥−8 ，
即当 x=−1时，原式有最小值 −8 ．
学以致用：
（1） 用配方法分解因式： x2−4x−5；（其他方法不得分）
（2） 当 x为何值时，多项式 −2x2−8x+5有最大值？并求出这个最大值．（用配方法）
（3） 已知 −x2+3x+y+5=0 ， 请直接写出 x+y的最小值．
六、阅读理解
1.[阅读]“若 x满足（10﹣ x）（ x﹣3）＝17，求（10﹣ x） 2+（ x﹣3） 2的值”．
设10﹣x＝a ， x﹣3＝b ，
则（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3）＝7，
（10﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．
（1） [理解]
①若x满足（50﹣x）（x﹣35）＝100，则（50﹣x）2+（x﹣35）2的值为 ；
②若x满足（x﹣1）（3x﹣7）＝ 76 ， 试求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；
（2） [应用]
如图，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x ， AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T ， 使PT＝PQ ， 延长MF至O ， 使FO＝FE ， 过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R ， 求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
2.[阅读 ]“若 x满足 (10−x)(x−3)=17 ， 求 (10−x)2+(x−3)2的值”．
设 10−x=a ， x−3=b ，
则 (10-x)(x-3)=ab=17 ， a+b=(10-x)+(x-3)=7 ，
(10−x)2+(x−3)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=72−2×17=15 ．
（1） [理解]
①若 x满足 (50−x)(x−35)=100 ， 则 (50−x)2+(x−35)2的值为______；
②若 x满足 (x−1)(3x−7)=76 ， 试求 (7−3x)2+9(x−1)2的值；
（2） [应用]
如图，长方形 ABCD中， AD=2CD=2x ， AE=44 ， CG=30 ， 长方形 EFGD的面积是200，四边形 NGDH和 MEDQ都是正方形，四边形 PQDH是长方形．延长 MP至 T ， 使 PT=PQ ， 延长 MF至 O ， 使 FO=FE ， 过点 O、 T作 MO、 MT的垂线，两垂线相交于点 R ， 求四边形 MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
3.请阅读以下材料，解决问题．
我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i ． 根据材料回答：
（1） 填空：①（2+ i）+（﹣1+3 i）＝ ________ ；
②（2+i）（﹣1+3i）＝ ________ ；
（2） 若 a+ bi是（1+2 i） 2的共轭复数，则（ b﹣ a） 2025＝ ________ ；
（3） 已知（ a+ i）（ b+ i）＝2﹣4 i ， 求 (a−13ab+b)(i+i2+i3+i4+⋯+i2025)的值 ．
（4） 结合上述材料解方程： x 2﹣4 x+6＝0.