初中青岛版（2024）乘法公式课时练习

这是一份初中青岛版（2024）乘法公式课时练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.定义运算： a⊗b=a1−b ． 下面给出了关于这种运算的几种结论：
① 2⊗−2=6 ， ② a⊗b=b⊗a ， ③若 a+b=0 ， 则 a⊗a+b⊗b=−2ab ， ④若 a⊗b=0 ， 则 a=0或 b=1 ，
其中结论正确的序号是（ ）
A . ①④ B . ①③ C . ②③④ D . ①②④
2.下列式子中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A . （m﹣n）（n﹣m）
B . （x2﹣y2）（x2+y2）
C . （﹣a﹣b）（a﹣b）
D . （a2﹣b2）（b2+a2）
3.已知 M是含字母 x的单项式，要使多项式 9x2+M+1是某一个多项式的平方，则 M等于（ ）
A . 6x B . ± 6x C . 3x D .− 6x
4.观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（ ）
A .(x−1)(x−3)+1
B .a+b2=a2+2ab+b2
C .a+b2−a−b2=4ab
D .a+b2+a−b2=2a2+2b2
5.下列代数式中，属于完全平方式的是（ ）
A .a2+2a−1
B .a2+4a+4
C .a2−3a+9
D .a2+2ab+1
6.由下面的图形得到的乘法公式是（ ）
A . （a+b）2=a2+2ab+b2
B . （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C . a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
D . （a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
7.已知a 2+a﹣3=0，那么a 2（a+4）的值是（ ）
A . 9 B . ﹣12 C . ﹣18 D . ﹣15
8.小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a 2﹣10ab+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（ ）
A . 5b B . 5b2 C . 25b2 D . 100b2
9.已知a、b满足等式 x=a2+b2+9 ， y=2(a−3b−2) ， 则x、y的大小关系是（ ）．
A . xy D .x≥y
10.已知实数x、y、z满足x 2+y 2+z 2=4，则（2x﹣y） 2+（2y﹣z） 2+（2z﹣x） 2的最大值是（ ）
A . 12 B . 20 C . 28 D . 36
二、填空题
1.若三角形的三边长 a、 b、 c满足 a+b2−c2=2ab=6 ， 则这个三角形的面积是 ________ ．
2.已知x，y满足方程组 {3x−y=103x+y=8 ，则9x 2﹣y 2的值为 ________ ．
3.计算：﹣24x 6y 3÷ ________ =﹣4x 2y 2 ．
4.若（2a-1） 2=4a 2+ma+1，则 m 的值是 ________ ．
5.如图，点C是线段AB上的一点，分别以 AC、BC为边在 AB的同侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG ， 连接 EG、BG、BE ， 当 BC=1时， △BEG的面积记为 S1 ， 当 BC=2时， △BEG的面积记为 S2 ， …，以此类推，当 BC=n时， △BEG的面积记为 Sn ， 计算： S40−S39+S38−S37+⋯+S2−S1= ________ ．
三、综合题
1.“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决。
（1） 我们知道 m2+n2=0 可以得到 m=0，n=0 。如果 a2+b2+2a−4b+5=0 ，求 a 、 b 的值.
（2） 已知 a=1719x+2019， b=1719x+2107， c=1719x+2018， 试问多项式a 2+b 2+c 2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量 x 的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.
（3） 你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ________ .
（4） 请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
（5） 仔细观察图2，写出 (a+b)2，(a−b)2，4ab 三个代数式之间的等量关系.
（6） 若 x+y=1，x2+y2=25 ，求 x−y 的值.
2.成都东安湖公园内有一块长为 (2a+b)米，宽为 (a+2b)米的长方形地块，如图所示.成都市规划部门计划将阴影部分绿化，中间将修建一座雕像.
（1） 试用含 a ， b的式子表示绿化部分的面积是多少平方米？
（2） 若 x2+7x+12=(x+2)2+a(x+2)+b恒成立，求绿化部分面积.
3.观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
① 12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−12=2−1；
② 13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2；
③ 14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3(4)2−(3)2=4−3；
……
（1） 化简： 12020+2019= ________ .
（2） 化简： 1n+1+n= ________ （n为正整数）.
（3） 利用上面所揭示的规律计算：
11+2+12+3+13+4+⋅⋅⋅+12018+2019+12019+2020+12020+2021
4.已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
⋯
（1） 猜想：（1﹣x）（1+x+x 2+x 3+⋯+x n ﹣1）＝ ________ ；
（2） 应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ________ ；
②（x﹣1）（x222+x2021+x2020+...+x2+x+1）＝ ________ ．
（3） 判断2 100+2 99+2 98+...+2 2+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
5.如下图：
（1） 如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 ________ （写成平方差的形式）
（2） 将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 ________ （写成多项式相乘的形式）
（3） 比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ________ ．
（4） 利用所得公式计算：2（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 124 ）（1+ 128 ）+ 1214 ．
四、解答题
1.一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题．

（1） 如图 1 ， 一个边长为 a的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为______；
（2） 已知 a−b=3 ， a2+b2=17 ， 求 ab的值；
（3） 如图 2 ， 在长方形 ABCD中， AB=8 ， AD=4 ， 点 E ， F分别是 BC ， CD上的点，且 BE=DF=x ， 分别以 FC ， CE为边在长方形 ABCD内作长方形 CEPF ， 在长方形 ABCD外作等腰直角 △CFG和等腰直角 △CEH ， 若长方形 CEPF的面积为 21 ， 求图中阴影部分的面积之和．
2.如图1是一个长为 4b ， 宽为 a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1） 由图2可以直接写出 (a+b)2,(a−b)2,ab之间的一个等量关系是______．
（2） 两个正方形 ABCD，DEFG如图3摆放，边长分别为 x,y ． xy=15 ， AE=2 ， 求图中阴影部分面积和．
3.阅读：若 x满足 80−xx−60=30 ， 求 80−x2+x−602的值．
解：设 80−x=a ， x−60=b ，
则 80−xx−60=ab=30 ， a+b=80−x+x−60=20 ，
∴80−x2+x−602=a2+b2=a+b2−2ab=202−2×30=340 ．
请仿照上述例子解决下列问题：
（1） 若 x满足 20−xx−30=−10 ， 求 20−x2+x−302的值；
（2） 若 x满足 2025−x2+2024−x2=2025 ， 求 2025−x2024−x的值；
（3） 如图，正方形 ABCD的边长为 AE=25 ， CG=40 ， 长方形 EFGD的面积是600，四边形 NGDH和 MEDQ都是正方形，四边形 PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）．
4.如图，已知长方形ABCD的周长为16，面积为15，分别以长方形ABCD的长和宽向外作正方形，求这四个正方形的面积和．
5.如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1） 你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ________ ．
（2） 请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积，
方法① ________ ；方法② ________ ．
（3） 观察图②，你能写出（m+n） 2 ， （m﹣n） 2 ， 4mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4） 根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=4，则求（a﹣b） 2的值．
五、阅读理解
1.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 −1 ， 记为识 i2=−1 ， 这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：2+i+3−4i=5−3i
（1） 填空： i3=___________， i4=___________；
（2） 计算：① 3+i3−i ②3+i2
（3） 若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： x−y+5i=1−x−yi（x，y为实数），求x，y的值．
2.请阅读以下材料，解决问题．
我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i ． 根据材料回答：
（1） 填空：①（2+ i）+（﹣1+3 i）＝ ________ ；
②（2+i）（﹣1+3i）＝ ________ ；
（2） 若 a+ bi是（1+2 i） 2的共轭复数，则（ b﹣ a） 2025＝ ________ ；
（3） 已知（ a+ i）（ b+ i）＝2﹣4 i ， 求 (a−13ab+b)(i+i2+i3+i4+⋯+i2025)的值 ．
（4） 结合上述材料解方程： x 2﹣4 x+6＝0.
3.阅读下列解答过程：
已知： x≠0 ， 且满足 x2−3x=1 ， 求： x2+1x2的值．
解：∵ x2−3x=1 ， ∴ x2−3x−1=0 ，
∴ x−3−1x=0 ， 即 x−1x=3 ，
∴ x2+1x2=x−1x2+2=32+2=11 ．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 a≠0 ， 且满足 2a+12a−1−a+33a−2=4 ，
求：
（1） a+1a的值；
（2） a2+1a2的值．