数学七年级下册（2024）公式法精练

这是一份数学七年级下册（2024）公式法精练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.计算：75 2﹣25 2=（ ）
A . 50 B . 500 C . 5000 D . 7100
2.下列分解因式中，正确的是（ ）
A .3m2−6m=3m(m−3)
B .a2b+ab+a=a(ab+b)
C .x2+y2=(x+y)2
D .−x2+2xy−y2=−(x−y)2
3.x 2+ mx+16是一个完全平方式，则 m的值为（ ）
A . 4 B . 8 C . 4或﹣4 D . 8或﹣8
4.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 ABCD的底边 BC取中点E，以E为圆心，线段 DE为半径作圆，其与底边 BC的延长线交于点F，这样就把正方形 ABCD延伸为矩形 ABFG ， 称其为黄金矩形．若 CF=4a ， 则 AB=（ ）
A . 5−1a B . 25−2a C . 5+1a D .25+2a
5.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A .a(x+y)=ax+ay
B .x2−4x+4=x(x−4)+4
C .x4−16=(x2+4)(x2−4)
D .10x2−5x=5x(2x−1)
6.因式分解3y 2﹣6y+3，结果正确的是（ ）
A . 3（y﹣1）2
B . 3（y2﹣2y+1）
C . （3y﹣3）2
D .3y-12
7.下列多项式能分解因式的是（ ）
A . x2+y2 B . ﹣x2﹣y2 C . 2xy﹣x2﹣y2 D . x2﹣xy+ 12y2
8.计算(a-4)· 16-a2a2-8a+16的结果是（ ）
A . a+4 B . a-4 C . -a+4 D . -a-4
9.下列各式不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A . ﹣x2+y2 B . ﹣x2﹣y2 C . x2﹣y2 D . y2﹣x2
二、填空题
1.如图，四边形 ABCD中， ∠BAD=∠BCD=60° ， BD⊥CD ， 若 AB=33,AC=37 ， 则 AD的长为 ________ ．
2.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为 ________ ，确定 ________ 的值，当 时，把a，b，c的值代入公式，x 1 ， x 2= ________ ，求得方程的解．
3.若a-3是多项式a 2-a+k的一个因式，则常数k的值为 ________ .
4.已知 312−1可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ________ ．
5.若多项式 P=a2+2b2+2a+4b+2012 ， 则P的最小值是 ________ ．
6.一元二次方程x 2﹣3x﹣2=0的解是 ________
三、计算题
1.按要求作答．
（1） 计算： −12024−1−2+12−1×(π−3.14)0−83 ．
（2） 计算： 5m(m−1)−(3m−1)(3m+1)+(2m−1)2 ．
（3） 分解因式： x2(a−b)+9y2(b−a) ．
（4） 解分式方程： x−2x+2−16x2−4=1 ．
2.【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程．
【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根 x1、 x2满足：
① x1+x2=−3 ， x1⋅x2=2 ， 方程：__________；
② x1+x2=A ， x1⋅x2=B ， 方程：__________．
【应用】 m=2+2 ， n=2−2 ， 若 3m2−12m+a⋅4n2−16n−7=30 ， 求 a的值．
【推广】若实数 a、 b、 c满足 a+b+c=0 ， abc=2 ， 求正数 c的最小值．
3.完成下列各题：
（1） 计算： 2cs30°−12+−12−2−tan45°；
（2） 解方程① x2−6x+3=0；② 2xx−2=x−3 ．
4.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
①已知 x2+y2−2x+4y+5=0 ， 求 x+y的值．
解：原方程可化为x2−2x+1+y2+4y+4=0
即(x−1)2+(y+2)2=0
∵ (x−1)2≥0 ，(y+2)2≥0
∴ x=1 ，y=−2
∴x+y=-1
②求 a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8
＝ a2+6a+9−1＝(a+3)2−1 ，
∵ (a+3)2≥0 ，
∴ (a+3)2−1≥-1 ，
即 a2+6a+8的最小值为 −1 ．
请根据上述材料解决下列问题：
（1） 在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： a2+4a+________．
（2） 用配方法因式分解： a2−6a+8 ．
（3） 求 −x2+4x+5的最大值．
5.（1）化简再求值： (3a+b)2−(3a+b)(3a−b)−6b2÷2b ， 其中 a,b满足 3a−2b=2024；
（2）已知 amn=a2,22m÷22n=26 ． 求 m2+n2−mn的值．
四、综合题
1.在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1:y=mx−2m+6(m>0)与反比例函数 y=kx(k>0)的图象相交于 A(2,a) ， B两点，与 x轴和 y轴分别相交于 C ， D两点．经过点 A的直线 l2与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点 E ， 且满足 l1⊥l2 ， 连接 BE ．
（1） 求反比例函数的表达式；
（2） 如图，若直线 BE恰好经过原点 O ， 求 m的值；
（3） 设直线 BE与 y轴负半轴相交于点 F ， 当 △BDF是以 BD为底边的等腰三角形时，求点 E的坐标．
2.如图，直线 y=kx+b交反比例函数 y=mx的图象于点 A−2,4 ， B3,a两点，与 y轴交于点 C ．
（1） 求一次函数和反比例函数表达式；
（2） 已知点 D是 y轴上的一点，且 ∠DAB=45° ， 请求出点 D坐标；
（3） 点 M−4,2 ， 连接 AM ， 在直线 AB上取一点 P ， 连接 MP ， 将 △PAM以点 P为位似中心作位似图 △PA'M' ， 位似比为 3:1 ， 是否存在点 P ， 使 M'恰好落在反比例函数图象上，若存在，请直接写出点 P的横坐标，若不存在，请说明理由．
3.如图（1），大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2 .同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 .把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1） 用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ________ ；
（2） 如图（3）， Rt△ABC 中， ∠C=90° ， CA=3 ， CB=4 ， CH 是斜边 AB 边上的高.用上述“面积法”求 CH 的长；
（3） 如图（4），等腰 △ABC 中， AB=AC ，点O为底边 BC 上任意一点， OM⊥AB ， ON⊥AC ， CH⊥AB ，垂足分别为点M，N，H，连接 AO ，用上述“面积法”，求证： OM+ON=CH .
4.教科书中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式：x2＋2x－3.
原式.=x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
例如：求代数式 2x2+4x−6的最小值.
原式=2x2+4x-6=2(x+1)2-8
∴当 x=−1时， 2x2+4x−6有最小值，最小值是－8.
（1） 请用上述方法分解因式： a2−2a−3= ________ ；
（2） 试说明：x、y取任何实数时，多项式 x2+y2−4x+2y+6的值总为正数；
（3） 当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出 m2−2mn+2n2−4m−4n+25这个最小值.
五、解答题
1.已知反比例函数y＝ 2x与直线l：y＝kx﹣k（k≠0）相交于A、B两点，其中x A＞x B ．
（1）如图1，若k＝1时，点A坐标为 ；点B坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，点C为双曲线y＝ 2x第一象限上一点，若△ABC的面积为3，求点C的坐标；
（3）如图2，点E坐标为（﹣2，0），连接AE，BE，是否存在直线l，使得△ABE是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
2.分解因式
（1）2x2y−8xy+8y
（2）18a2−50
3.给出三个多项式：①2x 2+4x﹣4； ②2x 2+12x+4； ③2x 2﹣4x请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．
4.若一次函数 y=−3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段 AB上（不与点A，B重合），过点P分别作 OA和 OB的垂线，垂足为C，D．若矩形 OCPD的面积为1时，
（1） 求点A、B的坐标．
（2） 求点P的坐标．
5.学习完因式分解后，徐老师在四张卡片上分别写上以下四个多项式： 12x 2+x-1， 12x 2+3x+1， 12x 2-x， 12x 2+x+1.并指定两位同学做游戏，让他们每人抽一张卡片，用卡片上的两个多项式进行加法运算，若运算的结果能因式分解，则把结果因式分解.如果请你和你的同桌也参与游戏，试写出一种结果.
六、阅读理解
1.阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6.步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.
（1） 请你试一试分解因式x 3﹣7x+6.
（2） 请你试一试在实数范围内分解因式x 4﹣5x 2+6.
2.阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式 (x2+4x+1)(x2+4x+7)+9进行因式分解的过程．
解：设 x2+4x=y ， 则原式 =y+1y+7+9（第一步）
＝ y2+8y+16 （第二步）
＝ (y+4)2 （第三步）
故原式 =(x2+4x+4)2 （第四步）．
=(x+2)4； （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1） 初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2） 尝试应用：
请你用换元法对多项式 x2−2xx2−2x−2−3进行因式分解；
（3） 灵活运用：
请你将多项式 x(x+3)(x−1)(x−4)+36进行因式分解