初中数学华东师大版（2024）九年级下册实践与探索教学设计

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级下册实践与探索教学设计，共16页。教案主要包含了自学导纲，合作互动，反馈训练，导学归纳，作业等内容，欢迎下载使用。
教学目标
☞知识与技能
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
☞过程与方法
1．通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用，发展数学思维．
2．在转化、建模中，让学生学会合作、交流．
☞情感、态度与价值观
1．通过对实际问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情．
2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．
重点难点
☞重点
利用二次函数性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题．
☞难点
建立二次函数的数学模型．
教学过程
一、自学导纲
求下列的最大值或最小值．
(1)y＝2x2－3x＋2；(2)y＝－x2－3x＋4.
(2)生活中，我们会遇到与二次函数及其图象有关的问题，奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其他方面的运用吗？
二、合作互动
例 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成(如图所示)，若设花园的边BC为xm，花园的面积为ym2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值：若不能，说明理由．
(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x取何值时，花园面积最大？最大面积为多少？
解答：(1)根据题意，得y＝x·，∴y＝－x2＋20x(0＜x≤15)．
(2)不能．理由如下：当y＝200时，即－x2＋20x＝200，
∴x2－40x＋400＝0，解得x＝20＞15.∵0＜x≤15，
∴此花园的面积不能达到200m2.
(3)∵y＝－x2＋20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝20，∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y有最大值，y最大值＝－×152＋20×15＝187.5，即当x＝15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m2.
问题1 如图(1)，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，柱高为1.25m，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
(1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？(精确到0.1m)
说明和建议：
1．教师引导学生分析题意：这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图(2)，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
2．建立直角坐标系后，引导学生求出二次函数的关系式．让学生思考A点坐标是多少，B点坐标是多少，从而求出关系式．
3．在求出函数关系式后，让学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求如图(2)C点的横坐标，问题(2)就是求出此时抛物线的函数关系式，求此二次函数的最大值．
4．学生解答，教师巡视指导，并让学生板演，最后教师讲评．
解：(1)以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C(如图(2))．
由题意得，A(0，1.25)，B(1，2.25)，
因此，设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25.
将A(0，1.25)代入上式，得1.25＝a(0－1)2＋2.25，解得a＝－1.
所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.
当y＝0时，解得x＝－0.5(不合题意，舍去)，x＝2.5，
所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5m.
(2)由于喷出的抛物线形状与(1)相同，可设此抛物线为y＝－(x－h)2＋k.
由抛物线过点(0，1.25)和(3.5，0)，可求得h＝－1.6，k＝3.7.
所以，水流最大高度应达3.7m.
思考：你还有什么方法建立直角坐标系，解答此题？
问题2 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?
说明与建议：
1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．
2．让学生完成解答，教师巡视指导．
3．教师分析存在的问题，书写解答过程．
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．
这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2(a＜0)．
因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)．
因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y＝ax2，得－2.4＝a×0.82，所以a＝－.
因此，函数关系式是y＝－x2.
因为OF＝OC－CF＝2.4－1.5＝0.9m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－0.9)．因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代入y＝－x2，得
－0.9＝－x eq \ \al(2,1)，x1＝±，x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝.
ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×2.449≈0.980(m)．
所以涵洞ED是m，不会超过1m.
思考：你能归纳出用二次函数解决实际问题的步骤吗？
三、反馈训练
1．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x＋，问此运动员把铅球推出多远？
2．青海玉树大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天(含12天)内完成．已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶．由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元．设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)若这批帐篷的订购价格为每顶1 200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该车间捐款给灾区多少钱？
四、导学归纳
本节课你学到了什么，还有什么困惑？
说明：引导学生从二次函数的建模入手总结．
五、作业
必做题
1．《能力培养与测试》同步课时作业．
选做题
2．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的函数关系式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
3．“假日游乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5m的平台(点P在y轴上)．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE＝2m，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG＝m，与点B的水平距离CF＝2m.
(1)求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
(2)求二次函数的关系式及其自变量的取值范围；
(3)小明从点A滑到水面点D处时，试求他所滑过的水平距离d.
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题．
第2课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式
教学目标
☞知识与技能
1．知道二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程解的个数之间的关系．
2．知道二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集．
☞过程与方法
经历探索函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程，体会方程、不等式与函数之间的联系．
☞情感、态度与价值观
通过观察二次函数图象与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想．
重点难点
☞重点
利用图象法求一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集．
☞难点
进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．
教学过程
一、自学导纲
给出三个二次函数：(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝x2－x＋1；(3)y＝x2－2x＋1.它们的图象分别为：
观察图象与x轴的交点个数，分别是________个、________个、________个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
说明：初步感受二次函数与一元二次方程的关系．
二、合作互动
例 已知二次函数y＝x2－6x＋8.
(1)求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)画出二次函数的图象；
(3)利用图象求不等式x2－6x＋8＜0的解集．
分析：抛物线与x轴的交点横坐标就是方程x2－6x＋8＝0的解，不等式x2－6x＋8＜0的解集就是抛物线上y＜0的点对应的x的范围．
解答：(1)令y＝0得x2－6x＋8＝0.解这个方程得x1＝2，x2＝4，所以抛物线与x轴交点为(2，0)，(4，0)；(2)如图所示；(3)从图上看，y＜0时，2＜x＜4，所以不等式x2－6x＋8＜0的解集为2＜x＜4.
问题1 画出函数y＝x2－x－的图象，根据图象回答下列问题．
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；
(2)当x取何值时，y＝0；这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系？
(3)你能从中得到什么启发？
说明与建议：
①先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象．
②教师巡视，与学生合作、交流．
③教师讲评，并画出函数图象，如图所示．
④教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是和.
⑤让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．
⑥对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．
问题2 根据问题1的图象回答下列问题．
(1)当x取何值时，y＜0当x取何值时，y＞0?
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？
说明与建议：
①引导学生观察图象，这个函数图象在x轴上方的部分上的点，它的纵坐标都为正；在x轴下方的部分上的点，它的纵坐标都为负．
②y＞0表示在图象上表示图象在x轴上方的部分点；y＜0表示在图象上表示图象在x轴下方的部分点．
③根据分析写出结论：当x＜－或x＞时，y＞0；当－＜x＜时，y＜0.用含x的不等式表示(1)是：解不等式x2－x－＞0，x2－x－＜0.
④师生归纳出二次函数与一元二次不等式的关系：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点对应的自变量的取值范围；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方的点对应的自变量的取值范围．因此可用画图象法求一元二次不等式的解集．
三、反馈训练
1．画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题．
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
(2)当x取何值时，y＝0；这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？
(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?
2.
已知二次函数y＝x2－3x－4的图象如图，则方程x2－3x－4＝0的解是________，不等式x2－3x－4＞0的解集是________，不等式x2－3x－4＜0的解集是________．
3．抛物线y＝3x2－2x－5与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________．
4．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
四、拓展运用
育才中学初三(3)班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2＝x＋3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋3的图象，如图所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解．
思考：
(1)这两种解法的结果一样吗？
(2)小刘解法的理由是什么？
让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳．
(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？
(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？
(5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？
五、导学归纳
1．本节课你有什么收获？
(1)二次函数与一元二次方程的关系．
(2)二次函数与一元二次方程根的情况的关系．
(3)二次函数与一元二次不等式解集的关系．
(4)怎样用图象法解方程、方程组．
2．对本节课，你还有哪些疑惑？
六、作业
必做题
1．已知二次函数y＝x2＋x－6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
(1)方程x2＋x－6＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0；x取什么值时，函数值小于0?
2．如果二次函数y＝x2－6x＋c的顶点在x轴上，求c的值．
选做题
3．已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)．
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标．
4．如图所示，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y2＝kx＋b(k≠0)的图象交于A(－2，4)、B(8，2)．求能使y1＞y2成立的x的取值范围．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．