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    华师大版九年级数学下26.3 实践与探索(1)教案
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    初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索教案设计

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    这是一份初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索教案设计,共7页。教案主要包含了知识与能力,过程与方法,情感态度价值观,教学重点,教学难点,课堂引入,应用举例,拓展提升等内容,欢迎下载使用。

    【知识与能力】
    会结合二次函数的图象分析问题、解决问题,在运用中体会二次函数的实际意义。
    【过程与方法】
    经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想。
    【情感态度价值观】
    通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识;在转化、建模的过程中,体验解决问题的方法,培养学生合作交流的意识和探索精神。
    教学重难点
    【教学重点】
    探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法。
    【教学难点】
    如何从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型。
    课前准备
    多媒体
    教学过程
    教学
    步骤
    师生活动
    设计意图
    回顾
    (展示问题)
    1.二次函数常见的形式有哪几种?并说明其图象特征.
    2.对二次函数y=ax2+bx+c的图象进行平移时:
    向上平移k(k>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为__________;
    向下平移k(k>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________;
    向左平移h(h>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________;
    向右平移h(h>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________.
    师生活动:教师引导学生回忆知识,学生进行解答,教师做好点评.
    在已有知识的基础上提出新的问题,能为学生营造一个主动思考、探索的氛围,提高学生的学习兴趣.
    活动
    一:
    创设
    情境
    导入
    新课
    【课堂引入】
    (1)欣赏一组石拱桥的图片,观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中,桥拱的形状和抛物线像吗?有关桥拱的问题可以用抛物线的知识来解决吗?
    图26-3-12
    (2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉,喷泉的形状和抛物线像吗?有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗?
    图26-3-13
    本节课,请同学们共同探究尝试解决以下几个问题.
    从学生熟知的拱桥和喷泉引入新课,为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境,激发学生的学习热情,同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料.
    活动
    二:
    实践
    探究
    交流
    新知
    问题1:如图26-3-14是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽4米.若水面下降1米,则水面宽度将增加多少米?
    师生活动:教师进行引导,提出问题:
    对于本题你能联想到应该运用什么知识进行解答? 图26-3-14
    根据问题中的抛物线,由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.
    学生分组讨论,引导学生如何将文字语言转化为数学语言,建立适当的二次函数模型,利用二次函数的性质解决实际问题.
    活动一:针对课堂引入的问题,教师进行提示:
    ①要解答二次函数的问题,必须把抛物线放在平面直角坐标系中,所以必须建立适当的平面直角坐标系;
    ②求水面宽度增加的长度,实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标;
    ③必须先求出函数表达式,才能求出点的坐标;
    ④求函数表达式应该用待定系数法.
    师生活动:学生先独立进行解答,然后小组内交流讨论,教师适时点拨,指导学生写出解题过程.
    解:如图26-3-15,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,根据图象的特征,设抛物线的函数表达式为y=ax2,由抛物线经过点A(2,-2)可得-2=4a,a=-eq \f(1,2),所以抛物线的函数表达式为y=-eq \f(1,2)x2,把 图26-3-15
    y=-3代入函数表达式得x=±eq \r(6),所以CD-AB=(2 eq \r(6)-4)米,所以水面的宽度增加了(2 eq \r(6)-4)米.
    1.通过日常生活中的实际问题,激发学生的兴趣,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.
    活动
    二:
    实践
    探究
    交流
    新知
    活动二:教师指导学生建立不同的坐标系进行解答.
    学生独立完成解题思路,小组内交流比较:建立的坐标系是否相同,计算结果是否一致.
    如解法:设x轴通过AB,y轴通过AB的中点O,则通过画图可得知O为原点, 26-3-16
    抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,由AB=4米,可得B(-2,0),A(2,0),抛物线顶点C的坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(-2,0),解得a=-eq \f(1,2),所以抛物线的函数表达式为y=-eq \f(1,2)x2+2,把y=-1代入上式,解得x=±eq \r(6),
    所以水面的宽度增加了(2 eq \r(6)-4)米.
    问题2:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每件每涨价1元,每星期该商品要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元,设每件涨价x元,每星期获得的利润为y元.
    (1)写出y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
    (2)通过适当涨价,每星期获得的利润能否为6500元?如果能,求出此时的售价;若不能,请说明理由.
    教师提出问题:
    (1)此题能用二次函数知识来解决吗?
    (2)如何根据题意建立函数模型呢?
    (3)能找出题干中的变量之间的关系吗?
    (4)小组讨论如何运用函数知识解决实际问题的一般方法.
    学生活动:学生思考、讨论以上问题,并与同学进行交流,达成共识,完成解答过程.
    教师引导学生进行归纳总结:
    ①建立适当的坐标系; ②根据题意找出题目中点的坐标;
    ③求出抛物线的函数表达式; ④直接利用图象解决实际问题.
    2.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数表达式,但结果是相同的,恰当地选择坐标系可以使得解答简便,明确易懂.
    3.通过总结抛物线类型实际问题的解题步骤,使学生明确问题的解答方法,思路清晰,明确了方向.
    4.通过对实际问题的分析,把问题转化为二次函数的最值问题,体会数学建模思想.
    活动
    三:
    开放
    训练
    体现
    应用
    【应用举例】
    例1 一自动喷灌设备的喷流情况如图26-3-17所示,设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头,一瞬间流出的水流是抛物线形状,喷头B与水流最高点C的连线成45°角,水流最高点C比喷头高2米,求水流落点D到A点的距离.

    图26-3-17 图26-3-18
    活动
    三:
    开放
    训练
    体现
    应用
    解:建立直角坐标系,过C点作CE⊥y轴于点E,过C点作CF⊥x轴于点F,∴B(0,1.5),∴∠CBE=45°,∴EC=EB=2米.∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5,∴C(2,3.5).
    设抛物线的函数表达式为:y=a(x-2)2+3.5,又∵抛物线过点B,
    ∴1.5=a(0-2)2+3.5,∴a=-eq \f(1,2),∴y=-eq \f(1,2)(x-2)2+3.5=-eq \f(1,2)x2+2x+eq \f(3,2),∴所求抛物线的函数表达式为:y=-eq \f(1,2)x2+2x+eq \f(3,2),∵抛物线与x轴相交时y=0,
    即x2-4x-3=0,解得x1=2+eq \r(7),x2=2-eq \r(7)(舍去),∴D(2+eq \r(7),0),∴水流落点D到A点的距离为2+eq \r(7).
    师生活动:学生按要求解答问题,教师做好指导、点拨.
    教师关注:
    (1)学生能否熟练运用二次函数的有关知识解决实际问题;
    (2)学生是否具有探索精神.
    变式训练
    1.从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面eq \f(40,3) m,则水流落地点B离墙的距离OB是(B)
    A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m
    2.如图26-3-19是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中,则两盏景观灯之间的水平距离是(C) 图26-3-19
    A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
    通过抛物线与学生常见情景相联系的题目的展示,拓宽学生视野,提高学生灵活运用知识解决问题的能力
    【拓展提升】
    例2 某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量t(件)与每件的销售价x(元/件)如下表:
    x(元/件)
    38
    36
    34
    32
    30
    28
    26
    t(件)
    4
    8
    12
    16
    20
    24
    28
    假定试销中每天的销售量t(件)与销售价x(元/件)之间满足一次函数关系.
    (1)试求t与x之间的函数表达式;
    (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,每件服装的销售价定为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?(注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价)
    活动
    三:
    开放
    训练
    体现
    应用
    解:(1)设t与x之间的函数表达式为:t=kx+b,因为其图象经过(38,4)和(36,8)两点,
    (2)设每天的毛利润为w元,每件服装销售的毛利润为(x-20)元,每天售出(80-2x)件,
    则w=(x-20)(80-2x)=-2x2+120x-1600
    =-2(x-30)2+200,当x=30时,获得的毛利润最大,最大毛利润为200元.
    例3 如图26-3-20,一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心离地面的高度为3.05 m.
    (1)建立图中所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数表达式;
    (2)若该运动员身高1.8 m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25 m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?
    图26-3-20
    解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5),∴可设抛物线的函数表达式为y=ax2+3.5.
    ∵篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,将它的坐标代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-eq \f(1,5),∴y=-eq \f(1,5)x2+3.5.
    (2)设球出手时,他跳离地面的高度为h m,因为(1)中求得y=-eq \f(1,5)x2+3.5,则球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05)m,∴h+2.05=-0.2×(-2.5)2+3.5,∴h=0.2 m.故球出手时,他跳离地面的高度为0.2 m.
    师生活动:学生独立解答,再合作交流,然后展示成果.教师巡视,观察学生解决问题的过程与方法,并给予学困生以及时的引导和帮助.
    激发学生的学习欲望和兴趣,又让学生切实地感受到数学就在身边的亲切感.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移,让学生体验数学的建模思想,增强应用意识.
    活动
    四:
    教学
    活动
    反思
    【达标测评】
    1.某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管所喷出水柱的最大高度为3米,此时喷水管与最高点的水平距离为eq \f(1,2)米.若水柱是抛物线形,在如图26-3-21所示的坐标系中,这支喷泉最远能喷__eq \f(2+\r(6),4)__米.(结果保留根号)
    图26-3-21
    活动
    四:
    教学
    活动
    反思
    2.如图26-3-22是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数图象,观察图象可知,铅球推出的距离是__10__m.
    图26-3-22
    3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一盏壁灯,两壁灯之间的水平距离为6米,则厂门的高(水泥建筑物厚度不计,精确到0.1米)为__9.1__米.
    图26-3-23
    4.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
    解:设每件提高x元,则列函数表达式为
    y=(30+x-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000(0所以当x=5时,y的最大值为4500.
    学生进行达标测评,完成后,教师进行批阅,点评、讲解.
    针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
    【课堂小结】
    (1)谈一谈你在本节课中有哪些收获?哪些进步?
    (2)学习本节课后,还存在哪些困惑?
    课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
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