初中数学华东师大版（2024）九年级下册圆的认识教案

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级下册圆的认识教案，共24页。教案主要包含了自学导纲，合作互动，反馈训练，导学归纳，作业等内容，欢迎下载使用。
教学目标
☞知识与技能
1．通过观察实验操作，使学生明确圆的定义．
2．结合图形理解圆的基本元素弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角等有关概念．
☞过程与方法
通过实验观察，让学生深刻认识圆的基本概念．
☞情感、态度与价值观
结合本课教学重点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透．
重点难点
☞重点
圆中基本概念的认识．
☞难点
对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解．
教学过程
一、自学导纲
在现实生活中有大量的物体呈现圆形，如在浩瀚的大海上，一轮红日冉冉升起；优美的圆形工艺品、优美的圆形图案等．古希腊数学认为“一切平面图形中最美的圆形”，它的完美来自于中心对称，无论在哪个位置，都具有同一形状，它最谐调、最匀称．
想一想与圆对称有关联的还有哪些性质？为什么车轮要做成圆形的？
(通过问题，引出新课)
二、合作互动
例 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，试比较a，b，c的大小．
分析：线段BC、EF、NH分别是矩形ABOC、DEOF、HMNO的一条对角线，而矩形的另一条对角线都是半径，根据矩形的特征和“同圆的半径相等”可识别a，b，c的大小关系．
解答：∵四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，∴BC＝OA，EF＝OD，NH＝OM.又∵点A、D、M都在半圆O上，∴OA＝OD＝OM，∴BC＝FE＝NH，即a＝b＝c.
问题1 圆的画法
(1)据统计，某个学校的同学上学方式是：有50%的同学步行上学，有30%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有20%.请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式．
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，下图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图．
(2)根据你画圆的过程，阐述圆是如何形成的？
(如图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形．固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O为圆心的圆记做“⊙O”，读做“圆O”．)
(3)由以上的画圆的过程，思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？
(圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定．)
(4)同圆的半径之间有什么关系？直径和半径之间有什么关系？
(同圆的半径相等，直径是半径的2倍．)
说明：明确圆的画法、记法，圆心、半径、直径的概念；同圆的半径相等；圆的确定要素．
问题2 圆的基本概念
(1)弦：连接圆上两点间的线段叫做圆的弦，你能指出下图中的圆的弦吗？
(2)弧：①天边的一道彩虹，一轮红日从地平线下缓缓升起，此时，你所看到的是一个完整的圆吗？
(不是，它是圆的一部分．)
②如上图所示曲线AB，BC，BAC都是⊙O的弧，分别记作、、；其中像、这样小于半圆周的弧叫劣弧，像这样大于半圆周的弧叫优弧，优弧一般用三个字母表示(其中中间的字母可以是弧上的任意一点)；而线段AB、BC、AC都是⊙O的弦．
(3)在上图中，∠AOB、∠BOC有何共同特点？你能试着给它起一个合适的名字吗？
(顶点都在圆心上，顶点在圆心上的角叫做圆心角．)
说明：明确弦、弧、优弧、劣弧、圆心角的概念及记法．
三、反馈训练
1．判断题：
①同一个圆的直径的长是半径的2倍．( )
②直径是弦．( )
③弦是直径．( )
④过圆心的线段是直径．( )
2．如图1所示，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在同一直线上，则图中弦的条数有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
图1
图2
3．如图2所示，点A、O、C以及B、O、E分别在一条直线上，请用字母表示出所有的弦，并列举一条直径、四条半径、三个圆心角、三条劣弧、三条优弧．
4．如图所示，AB、AC为⊙O的两条弦，且AB＝AC，求证：∠BAO＝∠CAO.
四、导学归纳
通过本节课学习，你有什么收获或疑惑？
五、作业
1．《能力培养与测试》同步课时作业．
2．下列说法正确的是( )
A．弦是直径
B．过圆心的直线是直径
C．两个半径相等的圆是等圆
D．弧是半圆
3．如图所示，有________条直径，________条弦，以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条．
4．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF.
求证：OE＝OF.
课后反思：
教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现的圆的有关的性质．
27．1.2 圆的对称性
第1课时 圆的对称性
教学目标
☞知识与技能
知道圆是中心对称图形和轴对称图形，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系及它们在解题中的应用．
☞过程与方法
经历圆心角、弧、弦之间的关系的探索过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
☞情感、态度与价值观
激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法．
重点难点
☞重点
在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系及其应用．
☞难点
探索在同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系及其应用．
教学过程
一、自学导纲
1．前面我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？
2．圆是一个特殊的图形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？
二、合作互动
1．实验发现
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图所示)，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
说明：教师叙述，学生操作．
思考：(1)通过上面的实验，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．
学生回答：①由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；②由两圆半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′＝∠O′B′A′；③由△AOB≌△A′O′B′，可得AB＝A′B′；④由旋转可得＝.
说明：在学生回答的基础上师生共同分析——我们在上述实验的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′.这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即＝，AB＝A′B′.
(2)通过上面的操作与思考，你能得出什么结论？
在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
说明：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(3)如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(学生互相交流、讨论回答，最后教师归纳．)
结论：在同一个圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
在同一个圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
教师归纳：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的另两组量也相等．
2．典型例题
例1 如图，⊙O的弦AB＝CD，求证：AD＝BC.
分析：根据圆心角、弧、弦之间的关系只要知道其中一组量相等，我们就可以判定其它各组量相等，从而问题得以解决．
解答：∵AB＝CD，∴＝，∴－＝－，∴＝，∴AD＝BC.
总结反思：在等圆中证两条弦相等，常利用相对应的两条弦心距相等，两条弧相等或两个圆心角相等来证明．
例2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.
(1)求半径OD；
(2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
解答：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝24m，
∴ED＝CD＝12m.
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，
∴OD＝13m.
(2)∵OE＝＝＝5(m)．
∴将水排干需：5÷0.5＝10(小时)．
总结反思：在解决圆中有关弦的问题时，经常过圆心作弦的垂线段，从而利用垂径定理解题．另外，经常利用圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形．
三、反馈训练
1．请说明下面的说法是否正确？为什么？
如图所示，因为∠AOB＝∠COD，所以＝.
2.在⊙O中，若＝所对的圆心角分别为80°、70°，则所对的圆心角为多少度？
3．如图所示，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，找出与线段OA相等的所有线段；与弧相等的所有的弧．
四、导学归纳
本节课你有什么收获？
在学生归纳总结的基础上，教师提出注意的问题：
(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然同心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，圆心角相等的弦相等”等．
五、作业
1．《能力培养与测试》同步课时作业．
2．在⊙O和⊙O′中，若∠AOB＝∠A′O′B′，则有( )
A.＝ B.＞
C.＜ D.与的大小无法确定
课后反思：
圆的对称性是圆的重要性质之一，在圆的有关内容中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与直线的位置关系和数量关系的基础．在课堂教学过程中能根据教学内容的特点，采用提问、组织实践探究、学生亲身经历感受、电脑动画演示、练习等多种教学方法达到目标的完成．
第2课时 垂径定理
教学目标
1．探索垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
教学重点
垂径定理、推论及其应用．
教学难点
发现并证明垂径定理．
教学过程
一、创设情境 明确目标
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．
二、自主学习 指向目标
1．自读教材．
2．学习至此：请完成学生用书“基础练·巩固新知”部分．
三、合作探究 达成目标
探究点一 垂径定理及其推论的推导
阅读教材第38页上半部分内容．解决问题：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的________．
符号语言：如图，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴________＝________，
________＝________，
________＝________．
(2)垂径定理的推论：
________弦( )的直径垂直于弦，并且________弦所对的两条孤．
符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE＝DE.
∵AB是直径，CE＝DE，
∴________，________，________．
思考：为什么要在垂径定理的推论中，加上“(不是直径)”这一限制条件？
【点拨升华】学习垂径定理要注意：(1)条件中的“弦”可以是直径．(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
探究点二 垂径定理的应用
阅读教材第39页内容．
思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出它，分析已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？
【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式__R__2＝__d__2＋__()__2.
四、总结梳理 内化目标
1．垂直于弦的直径
2．一种辅助线和一种数学思想方法．
五、达标检测 反思目标
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC＝__10__.
2．若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是__1__cm.
3．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是__6__．
第3题图
第4题图
4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是( D )
A．7cm B．1cm
C．7cm或4cm D．7cm或1cm
课后自测
见学生用书的“综合练·能力提升”部分．
课后反思：
垂径定理是一个很重要的定理，由于它涉及到的条件结论比较多，学生容易搞混肴．
27．1.3 圆周角
教学目标
☞知识与技能
1．理解圆周角的定义．
2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直径所对的圆周角是直角．
3．能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算．
☞过程与方法
1．通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知的能力．
2．通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；培养学生的归纳和逻辑推理能力．
☞情感、态度与价值观
1．经历探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力．
2．通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验．
重点难点
☞重点
圆周角定理及运用．
☞难点
运用数学分类的思想证明圆周角定理．
教学过程
一、情景导入
如图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？(顶点在圆心)，今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角．
二、合作互动
探究1 圆周角
(1)究竟什么样的角是圆周角呢？像上图(3)中的角就叫做圆周角，而上图中(2)、(4)、(5)中的角都不是圆周角．上图(3)中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角．
师生讨论归纳，得出结论：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角叫圆周角．
(2)针对练习1 找出下图中的圆周角．
探究2 直径上圆周角的性质
(1)画⊙O与其直径AB，任意画一个圆周角∠ACB，互相交流一下，你们所画的图形完全一样吗？这说明了什么？(不一样，说明一条弦所对的圆周角有无数个．)
(2)用量角器量量看，∠ACB的度数如何？(90°)
(3)由此你能猜想出什么结论？
(通过测量，让学生初步认识到直径所对的圆周角等于90°(或直角)．)
(4)请用逻辑推理的方法，说明你的猜想正确．
证明：如图，因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处(除点A、B)，∠ACB总等于90°.
归纳：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)．反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
(5)针对练习2 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°.求∠ABC的度数．
探究3 同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
(1)如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？
(∠ADB、∠ACB分别是⊙O的圆周角；∠AOB是圆心角；它们都是弧所对的角．)
(2)分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下．再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化．你发现其中有什么规律吗？
(3)分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
(圆周角的度数没有变化．并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半．)
(4)由此你能猜想出什么结论？
在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
(5)如右图所示，你能为你的猜想结论说明理由吗？
因为OA＝OC，所以∠A＝∠C，
又由于∠AOB是△OAC的外角，所以∠AOB＝∠A＋∠C，所以∠C＝∠AOB.
(6)如上图中的圆心角和圆周角都有一边过圆心，这只是一种特殊情况：想一想，并画画看，还可以画出哪些不同的图形？
学生小组合作交流，得出如图(1)、图(2)两种情况．
(7)你能证明这种情况下猜想成立吗？
教师指出这两种情况仍然成立，为此只需过C作⊙O的直径即可，具体让学生证明．
结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
例 如图，△ABC的三个顶点A、B、C均在⊙O的圆周上，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径．求证：AB·AC＝AD·AE.
分析：将结论转化为比例式，然后观察这些线段所在的三角形是否相似，根据需要可添加辅助线构造相似三角形．
解答：证明：连结CE，∵AE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B，∠E所对的弧都是.∴∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB∶AE＝AD∶AC，∴AB·AC＝AE·AD.
总结反思：利用圆周角定理寻找相等的角，是解决圆的有关计算和证明常用的方法．
三、反馈训练
1． 试分别求出下图中∠x的度数．
(1)
2． 已知，如图(1)，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.
求证：＝.
3．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，若∠ABD＝40°，则∠BCD＝________．
说明：第1题让学生独立完成，然后统一答案讲评；第2题引导学生分析出要证＝，只需证明它们所对的圆周角相等即可，为此需连接AD，证明∠BAD＝∠CAD，然后让学生完成证明过程．
四、导学归纳
本节课你有什么收获？
知识总结：本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题．
方法归纳：在探索一个新的结论或事物的时候，往往要遵循从感性到理性、从特殊到一般的思想．
五、作业
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC＝100°，则∠ABC等于( )
A．140° B．110° C．120° D．130°
2．半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为________．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，∠ACD＝60°，∠ADC＝70°，求∠ABC的度数．
4．思考：(1)用尽量多的方法找出图中所示圆的圆心．
(2)在同一个圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弦相等吗，为什么？
课后反思：
教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟悉掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周角定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．